Esercizi di Algebra Lineare Determinanti
Anna M. Bigatti 3-6 dicembre 2012
Calcolo del determinante
Proposizione 1. Alcune propriet`a dei determinanti:
(a) Il determinante del prodotto `e il prodotto dei determinanti (Teor. di Binet)
(b) Il determinante di una matrice triangolare `e il prodotto degli elementi sulla diagonale (c) Il determinante di una matrice di scambio `e -1
Esercizio 2. Calcolare il determinante di A =
0 1 2 3 4 5 1 1 2
.
SoluzionePortiamo A in forma triangolare superiore con il metodo di Gauss Use K ::= QQ;
A := Mat(K, [[ 0, 1, 2], [ 3, 4, 5], [ 1, 1, 2] ]);
I := IdentityMat(QQ,3);
-- riduco la prima colonna E1 := Esc(I,1,2); E1*A;
E2 := Epr(I,1, 1/3); E2*E1*A;
E3 := Eso(I,3,1,-1); E3*E2*E1*A;
-- [1, 4/3, 5/3], -- [0, 1, 2], -- [0, -1/3, 1/3]
-- riduco la seconda colonna
E4 := Eso(I,3,2, 1/3); E4*E3*E2*E1*A;
-- [1, 4/3, 5/3], -- [0, 1, 2], -- [0, 0, 1]
Dato che `e una matrice triangolare abbiamo che il determinante `e il prodotto degli elementi sulla diagonale, quindi det(E4· E3· E2· E1· A) = 1 .
Allora det(E4) · det(E3) · det(E2) · det(E1) · det(A) = 1 quindi 1 · 1 · 1/3 · (−1) · det(A) = 1 .
Il determinante di A `e -3. ut
Possiamo risolvere l’esercizio precedente senza usare le matrici di prodotto.
Soluzione
-- riduco la prima colonna E1 := Esc(I,1,2); E1*A;
E2 := Eso(I,3,1, -1/3); E2*E1*A;
-- [3, 4, 5], -- [0, 1, 2], -- [0, -1/3, 1/3]
-- riduco la seconda colonna
E3 := Eso(I,3,2, 1/3); E3*E2*E1*A;
-- [3, 4, 5], -- [0, 1, 2], -- [0, 0, 1]
Dato che `e una matrice triangolare abbiamo che il determinante `e il prodotto degli elementi sulla diagonale, quindi det(E3· E2· E1· A) = 3 .
Allora det(E3) · det(E2) · det(E1) · det(A) = 3 , quindi − det(A) = 3 .
Il determinante di A `e -3. ut
Esercizio 3. Calcolare il determinante di A =
1 2 3 2 4 6 1 1 1
.
Soluzione
A := Mat([ [ 1, 2, 3], [ 2, 4, 6], [ 1, 1, 1] ]);
I := IdentityMat(QQ,3);
-- riduco la prima colonna E1 := Eso(I,2,1, -2); E1*A;
-- [1, 2, 3], -- [0, 0, 0], -- [1, 1, 1]
Dato che ha una riga nulla il determinante del prodotto `e 0, allora 0 = det(E1· A) = det(E1) · det(A) = det(A)
Quindi il determinante di A `e 0. ut
Esercizio 4. Calcolare il determinante di A =
1 2 3 2 t 3 1 t 1
al variare del parametro t ∈ R .
Soluzione R ::= QQ[t];
K := NewFractionField(R);
Use K;
A := Mat([ [ 1, 2, 3], [2,t,3], [1,t,1]]); A;
I := IdentityMat(K,3);
E1 := Eso(I,2,1, -2); E1*A;
E2 := Eso(I,3,1, -1); E2*E1*A;
-- [1, 2, 3], -- [0, t - 4, -3], -- [0, t -2, -2]
-- caso t != 4 ==> posso dividere per t-4 E3 := Eso(I,3,2, -(t-2)/(t-4)); E3*E2*E1*A;
-- [1, 2, 3], -- [0, t -4, -3],
-- [0, 0, (t +2)/(t -4)]
-- Conclusione:
-- det(E3*E2*E1*A) = det(A) = t+2 per t!=-4
-- Osserviamo che, per definizione, det(A) e’ un polinomio nelle sue entrate -- quindi per continuita’ abbiamo che det(A) = t+2
u t
Esercizio 5. Calcolare il determinante di A =
−2 −4/5 −5/4 3
−3/2 −2/5 1/3 0
5/2 2 −5/2 −4/5
2/5 1/2 −2/3 2
Esercizio 6. Calcolare il determinante di A =
−2 −4/5 −5/4 3
−3/2 −2/5 1/3 0
5/2 t −5/2 −4/5
2/5 1/2 t 2
al variare
del parametro t ∈ R .
Complemento algebrico
Ora calcoliamo determinante e inversa di una matrice usando i complementi algebrici.
Questo metodo richiede in generale un numero di operazioni sulle entrate della matrice molto superiore rispetto alla riduzione di Gauss, ma `e importante quando la matrice che vogliamo trattare ha una forma molto particolare, o per dimostrazioni teoriche.
Definizione 7. Sia A ∈ Matn(K) , il complemento algebrico dell’entrata aij `e Aij := (−1)i+j· det(B) ∈ K
dove B `e la matrice che si ottiene da A cancellando la i -ma riga e la j -ma colonna.
Esercizio 8. Data la matrice A =
0 1 2 3 4 5 1 1 2
calcolare i complementi algebrici delle entrate della prima riga.
Definizione 9. Sia A ∈ Matn(K) . Dal primo teorema di Laplace segue che lo sviluppo del determinante secondo la r -ma riga `e la formula
det(A) =
n
X
j=1
arjArj
lo sviluppo del determinante secondo la c -ma colonna `e la formula
det(A) =
n
X
i=1
aicAic
Esercizio 10. Data la matrice dell’esercizio precedente calcolarne il determinante con lo sviluppo secondo la prima riga, e anche secondo la terza colonna.
Definizione 11. Sia A ∈ Matn(K) . L’aggiunta di A `e A?= Btr ∈ Matn(K)
dove B `e la matrice che ha come entrate i complementi algebrici Aij.
Dal secondo teorema di Laplace segue che l’inversa si pu`o calcolare con la formula A−1= 1
det(A)· A?
Esercizio 12. Calcolare il determinante delle seguenti matrici al variare del paramentro t ∈ R :
(a)
t 1 0 0
1 t 0 0
0 0 t + 1 0 0 0 0 t + 1
(b)
1 1 t 1 t 0 t 0 0
(c)
0 1 0 1 t2 t 0 0 1
(d)
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 t 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
(e)
1 0 0 0 t 1 t 0 0
(f)
1 0 t 0 t 0 1 0 t 0 t 0 1 0 t 0 t 0 1 0 t 0 t 0 1
Calcolo della caratteristica
Esercizio 13. Calcolare la caratteristica di A =
0 1 2 1 3 4 5 1 1 1 2 0
.
Soluzione
Portiamo A in forma triangolare superiore con il metodo di Gauss Use K ::= QQ;
A := Mat(K, [[ 0, 1, 2, 1],
[ 3, 4, 5, 1], [ 1, 1, 2, 0] ]);
-- riduco la prima colonna I := IdentityMat(K,3);
E1 := Esc(I,1,2); E1*A;
E2 := Eso(I,3,1, -1/3); E2*E1*A;
-- [3, 4, 5, 1], -- [0, 1, 2, 1],
-- [0, -1/3, 1/3, -1/3]
-- riduco la seconda colonna
E3 := Eso(I,3,2, 1/3); E3*E2*E1*A;
-- [3, 4, 5, 1], -- [0, 1, 2, 1], -- [0, 0, 1, 0]
La matrice ridotta ottenuta da A ha 3 righe non nulle, allora la sua caratteristica, e quindi
quella di A , `e 3. ut
Possiamo risolvere l’esercizio precedente studiando i minori e ricordando questo importante risultato:
Teorema di Kronecker Sia A una matrice m × n . Se esiste un minore di ordine t di A che
`e non nullo ma che orlato in tutti i modi possibili con l’aggiunta di una riga e una colonna di A `e nullo, allora si ha ρ(A) = t .
Soluzione
Considero la sottomatrice di A data dalle prime due righe e due colonne: B =
0 1 3 4
il suo determinante `e det(B) = 3 6= 0 , quindi ρ(A) ≥ 2 .
Orlo B aggiungendo la terza riga e la quarta colonna e ottengo C =
0 1 1 3 4 1 1 1 0
e calcolo il determinante sviluppando rispetto alla prima riga:
−1 · det
3 1 1 0
+ 1 · det
3 4 1 1
= 1 + (−1) = 0
Non posso concludere che il rango sia 2. Devo provare orlando B con la terza riga e terza colonna: D :=
0 1 2 3 4 5 1 1 2
e calcolo il determinante sviluppando rispetto alla prima colonna:
−3 · det
1 2 1 2
+ 1 · det
1 2 4 5
= 0 + (−3) = −3
Quindi ρ(A) = 3 . ut
Esercizio 14. Calcolare la caratteristica delle seguenti matrici al variare del paramentro t ∈ R :
(a)
1 2 1 4 2 3 1 6 3 4 0 7 4 5 1 10 5 6 1 t
(b)
t 1 0 0
1 t 0 0
0 0 t + 1 0 0 0 0 t + 1
(c)
1 1 t 0 0 1 t 0 t 0 t 0 0 1 t
(d)
0 1 0 1 t2 t 1 0 0 0 0 1
(e)
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 t 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
(f)
0 1 0 t 0 1 0 t 0 1 0 t 0 1 0
(g)
1 0 t 0 t 0 1 0 t 0 t 0 1 0 t 0 t 0 1 0 t 0 t 0 1
Esercizio 15. Trovare una matrice in Mat2(R) con un parametro a tale che il rango per a = 0 sia 0 , per a = 1 sia 1, e per a = 2 sia 2.
Esercizio 16. Dire per quali t ∈ R il sistema associato alla seguente matrice completa ammette soluzioni
R ::= QQ[t]; K := NewFractionField(R);
Use K;
C := Mat(K, [[1, 2, 1, 0, 3], [0, 1/2, 3, 4, 2], [t, 1, 2, 0, 1], [2, 1, 0, 3, 4] ]);
Soluzione
-- prima colonna
I := IdentityMat(K,4);
E1 := Eso(I,3,1, -t); E1*C;
E2 := Eso(I,4,1, -2); E2*E1*C;
-- [1, 2, 1, 0, 3], -- [0, 1/2, 3, 4, 2],
-- [0, -2*t +1, -t +2, 0, -3*t +1], -- [0, -3, -2, 3, -2]
-- seconda colonna
E3 := Eso(I,3,2, 2*(2*t-1)); E3*E2*E1*C;
E4 := Eso(I,4,2, 6); E4*E3*E2*E1*C;
-- terza colonna
E5 := Esc(I,3,4); E5*E4*E3*E2*E1*C;
E6 := Eso(I,4,3, -(1/16)*(11*t -4)); E6*E5*E4*E3*E2*E1*C;
-- [1, 2, 1, 0, 3], -- [0, 1/2, 3, 4, 2], -- [0, 0, 16, 27, 10],
-- [0, 0, 0, (-41*t -20)/16, (-15*t -4)/8]
Considero il sistema ottenuto, equivalente al sistema iniziale. Per il Teorema di Rouch´e-Capelli:
- se t 6= −2041 allora la matrice dei coefficienti e la matrice completa hanno rango massimo (=4), quindi il sistema ha soluzione. In particolare esiste un’unica soluzione perch´e la matrice dei coefficienti `e invertibile (teorema di Cramer).
- se t = −2041 allora la matrice dei coefficienti ha rango 3, mentre la matrice completa ha rango 4 perch´e −15w − 4 6= 0 . Quindi il sistema non ha soluzioni. ut
