Destinazione Matematica

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D esti n azio n e M at em

atica

Geometria e misura

2 _Geometria

e misura

2 Anna Montemurro

AnnaMontemurro

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apprendo...

GEOMETRIA E MISURA UNITÀ 11 Le aree dei poligoni

FIGURE PIANE EQUIVALENTI

Consideriamo la figura A.

Essa, come tutte le figure piane, occupa una cer- ta parte di piano: in pratica ha una certa esten- sione o superficie.

Osserviamo ora le figure B e C.

È facile verificare con il metodo della sovrapposizione che B e C sono tra loro congruenti e che, quindi, hanno la stessa estensione.

Per questo motivo sono chiamate equivalenti o equiestese.

Due figure piane congruenti sono equivalentio equiestese.

Se osserviamo le figure D ed E, ci accorgiamo subito che non sono congruenti perché non sono sovrapponibili. Però, se le osserviamo attentamente, notiamo che hanno la stessa estensione perché entrambe occupano una stessa superficie di 12 quadretti. Deduciamo, quindi, che sebbene esse abbiano forma diversa, sono equivalenti.

In simboli si scrive: D ⬟ E e si legge: “D è equivalente a E”.

Due figure piane di forma diversa si dicono equivalenti(o equieste- se) se occupano la stessa superficie.

Ora ci chiediamo:

a.due figure equivalenti sono necessariamente isoperimetriche, cioè hanno lo stesso perimetro?

b. due figure isoperimetriche sono anche equivalenti?

Per rispondere, osserviamo le figure L ed M: sono equivalenti perché occupano entrambe una superficie di 6 quadretti, ma non sono isoperimetriche.

Invece, le figure R ed S sono isoperimetriche ma non equivalenti. Infatti, come puoi osservare, entrambe hanno il perimetro di 20 unità, ma la prima figura è formata da 16 quadretti, mentre la seconda da 9 quadretti.

11. 1

Sul terrazzo di casa Zufoli ci sono due tovaglie ad asciugare.

Le due tovaglie sono equivalenti?

•

Sì, perché occupano la stessa superficie di 16 riquadri, cioè hanno la stessa estensione.

A

B C

D

E

Le figure B e C sono congruenti e, quindi, equivalenti.

Le figure D ed E sono

equivalenti ma non congruenti.

L M

3 u

2 u 6 u

1 u u

R S

8 u

2 u 9 u 1 u u

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apprendo...

AREA DEL RETTANGOLO

Disegniamo un rettangolo con la base di 3 cm e l’altezza di 2 cm.

Per calcolare l’area del rettangolo procediamo così:

suddividiamo la base e l’altezza, rispettiva- mente, in 3 e 2 parti congruenti, ciascuna di 1 cm;

conduciamo dai punti di divisione le parallele ai lati del rettangolo;

contiamo i quadrati congruenti in cui rima- ne diviso il rettangolo: 6.

L’esperimento ci consente di affermare che l’a- rea del rettangolo è 6 rispetto all’unità di misura di 1 cm², ovvero è di 6 cm². Osserviamo che 6 cm² è il prodotto della misura della base (3 cm) per la misura dell’altezza (2 cm).

Indicando con A l’area, con b la misura della base e con h la misura dell’altezza, la formula per il calcolo dell’area del rettangolo è:

A = b ⋅ h formula diretta

L’area del rettangolo si ottiene moltiplicando la misura della base per la misura dell’altezza.

Dato che la divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione, dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse, che consentono di calcolare la misu- ra della base essendo note l’area e la misura dell’altezza, oppure la misura dell’altezza essendo note l’area e la misura della base:

formule inverse

ESEMPI 1. Calcola l’area del rettangolo ABCD a fianco, sapendo che ha la base di 9 cm e l’altezza di 7 cm.

A = b · h = 9 · 7 = 63 (cm²)

2. Determina la misura della base di un rettangolo avente l’area di 84 cm² e l’altezza di 6 cm.

b A

= h = 84 =

6 14 (cm) h A

= b b A

= h

11. 4

Luca afferma che l’area del tappeto è 6 ⋅ 4 = 24 (dm²) perché è lavorato in modo da avere 6 righe e 4 colonne con riquadri uguali, di 1 dm² ciascuno. È corretto il suo ragionamento?

•

^Sì.

D

base = 3 cm A

C

B

altezza = 2 cm

D

A

C

B

D

b = 9 cm A

C

B

h = 7 cm

I quadrati congruenti contenuti nel rettangolo sono 3 ⋅ 2 = 6.

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AREA DEL ROMBO

Sappiamo che il rombo è un parallelogrammo particolare avente i lati congruenti. Quindi, per calcolare la sua area basta moltiplicare la misura della base per la misura dell’altezza:

A = b ⋅ h.

Se sono note le misure delle diagonali di un rombo, l’area può essere calcolata me- diante un altro metodo, che ora descriviamo.

Disegniamo un rombo ABCD e le sue diagonali. Conduciamo poi le parallele alle diagonali passanti per i vertici, ottenendo il rettangolo EFGI con i lati congruenti alle diagonali del rombo. Notiamo che ta- le rettangolo è scomposto in otto triangoli congruenti e che quattro di essi formano il rombo. Ne segue che il rombo è equivalente alla metà del rettangolo.

Indicando con d₁e d₂le misure delle diagonali, l’area del rombo è data dalla formula:

formula diretta

Un romboè equivalente alla metà di un rettangolo la cui base e la cui altezza sono congruenti alle diagonali del rombo.

L’area del romboè data dal prodotto delle misure delle sue diago- nali diviso per 2.

Le formule inverse si ottengono raddoppiando l’area del rombo in modo da rico- struire il rettangolo e dividendo la doppia area così ottenuta per la misura di una delle due diagonali:

formule inverse

ESEMPIO Quanto misura la diagonale maggiore di un rombo se l’area è 52 cm²e la diagonale minore misura 8 cm?

Ricordando che il quadrato è un particolare rombo che ha le diagonali congruenti, ricaviamo così un’altra regola per determinare la sua area.

L’area di un quadrato è data dalla mi- sura della diagonale elevata al qua- drato e divisa per 2.

La relativa formula e la sua inversa, indicando con d la misura della diagonale, sono:

d= 2A A d d d

= ⋅ =

2 2

2

d A

1 d

2

2 2 52

8 13

= = ⋅ = ( )cm

d A

2 d

1

= 2

d A

1 d

2

= 2 A d d

= 1⋅ 2

2

11. 9

Le mattonelle della mia cucina hanno la forma di rombi. Quali elementi devo misurare per calcolare l’area di ognuna?

•

La base e l’altezza oppure le due diagonali.

A B

D C h b

A F

B G C

I

E D

A B

D C

d

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1

Se consideriamo il rombo come un parallelogrammo di base b e altezza h, qual è la formula che esprime la sua area?

2

Disegna un rombo con la base di 9 cm e l’altezza relativa di 2 cm e calcolane l’area.

3

Illustra con un disegno che il rombo è equivalente alla metà di un rettangolo con le dimensioni congruenti alle diagonali del rombo. Da quanti triangoli congruenti è formato il rombo?

E il rettangolo?

4

Disegna i rombi equivalenti alla metà dei seguenti rettangoli.

5

Disegna i rettangoli equivalenti al doppio dei seguenti rombi.

6

Calcola l’area dei seguenti rombi, esprimendola in centimetri quadrati.

7

Scrivi le formule che consentono di calcolare la misura di una delle diagonali di un rombo, essendo note l’area e la misura dell’altra diagonale.

8

L’area di un rombo è 1040 dm²e una diagonale misura 32 dm. Verifica che la misura dell’altra diagonale è 65 dm.

9

Completa la seguente tabella, relativa a un insieme di rombi.

d₁(cm) d₂(cm) A (cm²)

16 9 . . . .

24 . . . . 132

. . . . 15 210

RISOLVI I SEGUENTI PROBLEMI

10

Qual è l’area di un quadrato, sapendo che la sua diagonale misura 6 cm? [18 cm²]

11

Qual è la misura della diagonale di un quadrato di area 32 cm²? [8 cm]

19

... v erifico

ESERCIZI p. 54

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apprendo...

AREA DI UN QUADRILATERO

CON LE DIAGONALI PERPENDICOLARI

Disegniamo una coppia di segmenti perpendicolari e costruiamo il quadrilatero ABCD avente tali segmenti come diagonali.

Conduciamo ora le parallele alle diagonali passanti per i vertici del quadrilatero e otteniamo il rettangolo EFGI, i cui lati sono congruenti alle diagonali.

Osserviamo che il rettangolo è formato da otto triangoli congruenti a due a due (congruenza evidenziata dalla colorazione). Il quadrilatero ABCD è composto da quattro di tali triangoli, uno per ogni coppia di triangoli congruenti. Il quadrilatero è perciò equivalente alla metà del rettangolo e la sua area si calcola moltiplicando le misure delle diagonali e dividendo il prodotto per 2.

Indicando con d₁e d₂le misure delle diagonali del quadrilatero, l’a- rea si ottiene con la seguente formula (analoga a quella del rombo):

formula diretta

L’area di un quadrilatero con le diagonali perpendico- larisi ottiene moltiplicando le misure delle diagonali e dividendo il prodotto per 2.

Dalla formula diretta si ricavano quelle inverse:

formule inverse

ESEMPIO Un aquilone ha le diagonali perpendicolari e una di esse misura 12 dm. Se la sua area è 48 dm², quanto misura l’altra

diagonale?

d A

1 d

2

2 2 48

12

96 12 8

= = ⋅ = = ( )dm

d A

2 d

1

= 2

d A

1 d

2

= 2 A d d

= 1⋅ 2

2

11. 10

A D

C

B

A D

C

B

E

I G

F

L’aquilone che ha costruito Marianna ha le diagonali lunghe 70 cm e 90 cm.

Qual è la sua area?

•

=3150 (cm ) 31,5 (dm )² = ² A= ⋅

= ⋅ =

d d₁ ₂ 2

70 90 2

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1

Traccia l’apotema di ciascuno dei seguenti poligoni regolari e individua il numero di triangoli che si otterrebbero se si tracciassero i raggi del poligono. Come sono tali triangoli?

Tenendo conto del loro numero, in che modo puoi ottenere l’area di ciascun poligono?

2

Osserva le figure e rispondi alle domande.

a.Da quanti triangoli congruenti è formata la figura A?

b.Le figure A e B sono equivalenti? Motiva la risposta.

c. Come puoi ottenere l’area della figura A? E l’area della figura B?

3

Calcola l’area del seguente ottagono regolare, sapendo che l’area del triangolo colorato è 12 cm².

4

Scrivi la formula dell’area di un poligono regolare e ricavane le formule inverse.

5

Determina l’area dei seguenti poligoni regolari.

6

Vero o falso?

a.Per calcolare il perimetro di un poligono regolare, di cui si conoscono l’area e la misura dell’apotema, si moltiplica l’area per 2 e si divide il prodotto per l’apotema.

b.Non è possibile calcolare la misura dell’apotema di un poligono regolare conoscendone il perimetro e l’area.

c. Per calcolare la misura dell’apotema di un poligono regolare si divide il doppio prodotto dell’area per il perimetro.

7

Calcola l’area di un pentagono regolare, sapendo che il lato è di 6 cm e l’apotema misura 4,12 cm. Verifica che il risultato è 61,80 cm².

RISOLVI I SEGUENTI PROBLEMI

F V

8

Quanto misura l’apotema di un poligono regolare di otto lati che ha il perimetro di 32 cm e l’area di 76,80 cm²? [4,8 cm]

9

Qual è il perimetro di un esagono regolare la cui area è 1623,75 m²e il cui apotema

misura 21,65 m? [150 m]

25

... v erifico

ESERCIZI p. 62

O

.

^O

.

^O

.

O

.

A

l = 6 cm a = 5,2 cm

l = 10,5 cm a = 7,224 cm

l = 12 dm a = 10,39 dm

l = 32 m a = 38,6 m B

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