Lezione n. 11 (4 ore)

Lezione n. 11 ^{(4 ore)}

Carlo Pagani

Dipartimento di Fisica – Laboratorio LASA

Via F.lli Cervi 201, 20090 Segrate (Milano) web page: http://wwwsrf.mi.infn.it/Members/pagani

Università degli Studi di Milano

Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali

Corsi di Laurea in: Informatica ed Informatica per le Telecomunicazioni Anno accademico 2010/11, Laurea Triennale, Edizione diurna

FISICA

Gianluca Colò

Dipartimento di Fisica – sede

Via Celoria 16, 20133 Milano web page: http://www.mi.infn.it/~colo

Trasformazioni Termodinamiche

Limitandoci a considerare un sistema gassoso, in cui tipo e quantità di gas non cambiano (sistema chiuso), notiamo che:

lo stato del sistema è determinato dalla conoscenza delle grandezze pressione, volume e temperatura.

Queste grandezze:

p , V

T

Una trasformazione termodinamica rappresenta l’evoluzione del

sistema da uno stato iniziale ad uno stato finale, attraverso il passaggio da infiniti stati intermedi contigui. Vari sono i modi di passare da uno stato iniziale ad uno stato finale

Come in meccanica abbiamo definito il Diagramma Orario per mettere in forma di grafico le caratteristiche principali del moto di un corpo,

così in termodinamica si usa generalmente il Diagramma

pV

volume del sistema, V, in ascisse (asse delle x) e la pressione, p, in ordinate (asse delle y) - per mettere in forma grafica una trasformazione termodinamica, cioè l’evoluzione degli stati da cui passa un sistema da uno stato iniziale a uno stato finale

Esempi di trasformazioni

Alcuni esempi di trasformazioni sono riportati qui sotto sul diagramma pV, con l’indicazione del lavoro compiuto dal sistema.

Nota: si suppone che le trasformazioni avvengano molto lentamente, passando per stati di equilibrio.

dL = r

F⋅ drs = (pA)(ds) = (p)(Ads) = p dV → L = dL = p dV

V_i V_f

∫

∫

Trasformazioni particolari

Trasformazione adiabatica: il sistema è completamente isolato e non si verifica nessun trasferimento di calore con l’ambiente esterno.

Trasformazione a volume costante o isocora: durante la trasformazione il volume del sistema non cambia.

Trasformazione isoterma: durante la trasformazione la temperatura del sistema non cambia. Per trattarla non basta il 1° Principio.

Trasformazione ciclica: sono trasformazioni nelle quali, dopo alcuni scambi di calore e lavoro si ripristina lo stato iniziale del sistema.

Trasformazione di espansione libera: è l’espansione di un gas da un recipiente a un ambiente in cui ci sia il vuoto. E’ anomala perché non passa da stati di equilibrio però possiamo scrivere.

int

L

E = − Δ

L Q =

Q E = Δ

0

0 Δ

0 ⇒

= ⇒ Δ =

=

= L E T

Q

Espansione libera

L’espansione libera è un processo irreversibile, che non passa per stati di equilibrio. Risulta anche molto difficile da realizzare perché come il gas entra nella seconda camera la condizione di vuoto non è più rispettata.

Questo processo ideale risulta però molto utile concettualmente perché, non cambiando la temperatura, le variabili termodinamiche che

definiscono il sistema nel suo stato finale sono facilmente calcolabili.

Legge dei gas perfetti (ideali)

In tutti i gas, monoatomici o molecolari, le variabili di stato sono legate tra di loro da una legge fondamentale che, nel caso dei gas ideali, è:

pV = nRT [J].

Questa legge, Legge dei gas perfetti, vale in ottima approssimazione se le densità non sono troppo elevate e si è lontani dalla transizione di fase.

– p [Pa] è la pressione – [Pa] = [N m^-2] = [kg m s^-2] [m^-2] = [kg m^-1s^-2] = [J m^-3] – V [m³] è il suo volume

– n [mol] è il numero di moli di cui è composto

– R [J mol^-1K^-1] è la costante dei gas – R = 8.31 [J mol^-1K^-1] – T [K] è la temperatura di equilibrio del sistema

p

·V

= n

·R

·T

La costante dei gas R deriva da due costanti molto importanti nella fisica:

R = k N

N_A = numero di Avogadro = 6.02 · 10²³ [mol-1]

k = costante di Boltzmann = 1.38 · 10^-23 [J/K]

Note sulla legge dei gas perfetti

Si può esprimere utilizzando

k

N= n·N

molecole di cui è composto il sistema termodinamico in oggetto) e si ottiene

p V = N k T

In una trasformazione isoterma (T= costante) si ha, quindi:

p V = n R T = cost ⇒ ^{p V = cost}

Notiamo che in una trasformazione isoterma

è necessario uno scambio di energia con l’ambiente esterno. Infatti se il sistema si espande da V_i a

V_f > V_i , esso compie un lavoro che, a T = cost, deve essere compensato da un apporto

esterno di energia: ΔE_int = 0 = Q – ΔL

In una trasformazione isocora (V= costante) si ha

V = (nRT)/p = cost ⇒ (nRT)/p = cost

In una trasformazione isobara (p= costante) si ha

p = (nRT)/V = cost ⇒ (nRT)/V = cost

Esercizio: Lavoro isoterma

Una mole di ossigeno O₂ (supposto gas ideale) si espande a temperatura

ambiente di 310 K da un volume V_i di 12 litri a un volume V_f di 19 litri. Determinare il lavoro svolto dal gas e la quantità di energia termica che l’ambiente deve fornire al sistema perché la trasformazione risulti isoterma. Ricordiamo che la trasformazione deve essere sufficientemente lenta !

Il lavoro si ottiene integrando la pressione rispetto al volume del gas:

[ ]

[ ] [ ] [ ] ^1180J

12 ln 19 310 31

. 8 1

ln ln

1 ) (

1 costante 1

costante

ma

1

1 ⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

=

⇒

=

=

⇒

=

=

⇒

=

=

=

−

−

∫

∫

∫

K K

mol J mol

V nRT V V

nRT L

V nRT dV V dV

nRT L

V T V

R n p

T R n V p dV

p L

i f V

V

V V V

V V V

f i

f i f

i f i

Nella Figura la linea verde rappresenta nel diagramma pV la trasformazione isoterma. Il lavoro compiuto dal gas durante l’espansione è rappresentato dall’area colorata sottesa dall’isoterma tra i punti V_ie V_f:

Il calore apportato dal mondo esterno al sistema durante la trasformazione deve compensare il lavoro svolto.

Δ ⇒ Q = L = 1180 J = 0.28 Cal

Teoria cinetica dei gas - I

Supponiamo che un gas ideale sia confinato entro un recipiente cubico di lato L.

Dato il gran numero di molecole possiamo supporre che il loro comportamento sia puramente statistico: 1/3 si muovono

lungo x, 1/3 lungo y e 1/3 lungo z. Inoltre la loro velocità media sarà la stessa nelle tre direzioni: v_x = v_y = v_z = v

Consideriamo una molecola in moto lungo l’asse x con velocità media v.

Se la molecola parte a t=0 da una parete, urta quella opposta dopo un tempo L/v e ritorna alla partenza dopo Δt = 2L/v.

Supponiamo l’urto elastico. L’impulso ceduto è Δp = (-mv)+(-mv) = - 2mv. La forza esercitata dalla parete sulla molecola è

Quella della molecola sulla parete è uguale e opposta !

F = Δp

Δt = −2mv

2L / v = − mv

L

Teoria cinetica dei gas - II

La forza che ogni molecola esercita sulla parete è quindi:

Mentre la forza esercitata dalle N/3 molecole in moto lungo l’asse x, è data da:

Passando alla pressione si ha:

• Usando la legge dei gas si trova:

F = mv

L

〉

〈

〉 =

= 〈

〉

= 〈

= K

V N V

v N m

L v m N L

p F

3 2 2

1 3

2 3

2 3

2 2

L v m

F

= N 〈

〉 3

Velocità quadratica media

Energia cinetica media

PV = nRT = N

N

kN

T = NkT

T k K

dove K

N T

k N T

R n V

p 2

3 3

2 〈 〉 〈 〉 =

=

=

=

P e T dalla teoria cinetica

Abbiamo quindi visto che la temperatura è una variabile termodinamica

(statistica) legata all’energia cinetica media delle molecole del sistema, cioè in ultima analisi alla loro velocità quadratica media.

Anche la pressione di un gas è una variabile termodinamica conseguenza della velocità media delle molecole in quanto è determinata dalle forze impulsive sulle pareti.

Abbiamo infine capito il significato dell’importantissima costante di Boltzmann, k [J/K] che rappresenta proprio un’unità elementare di energia per grado di

temperatura dato che l’energia cinetica media delle molecole è:

Questa è, nel caso del gas ideale, l’energia interna per molecola !

Le relazioni che abbiamo ottenuto permettono di stimare la velocità quadratica media, nota la temperatura T

3 3

2 3 2

1 ^{2 2}

M T v R

T R v

M T

k v

m _qm = → _qm = → _qm = ^vqm = velocità quadratica media

M= massa molare (massa di 1 mol)

〈K〉 = 3

2 kT

Esempio

L’aria è una miscela di azoto (N_2’ (M(N₂) = 28.0 u)) ossigeno (O₂, (M(O₂) = 32.0 u)) ed argon (Ar, (M(Ar) = 39.9 u)). Alla temperatura di 20 °C (293 K) la velocità quadratica media di ciascun gas sarà:

Ci vogliono argomenti più sofisticati per mostrare che la distribuzione di velocità è la cosiddetta distribuzione di Maxwell

s m m

Ar kT v

s m m

O kT v

s m m

N kT v

m v kT

qm

qm qm

qm

/ 10 428

66 . 1

* 9 . 39

293

* 10 38 . 1

* 3 ) 3

(

/ 10 478

66 . 1

* 32

293

* 10 38 . 1

* 3 ) 3

( /

10 511 66 . 1

* 28

293

* 10 38 . 1

* 3 ) 3

( 3

27 23

27 23 27 2

23 2

⋅ =

= ⋅

=

↔

⋅ =

= ⋅

=

↔

⋅ =

= ⋅

=

=

−

−

−

−

−

−

Calori specifici molari dei gas - 1

Per quello che abbiamo visto risulta chiaro che, nel caso dei gas, il calore specifico si definirà per mole invece che per unità di massa. Da cui il nome di calore specifico molare.

Un’altra cosa che succede con i gas è che il calore specifico molare, cioè la

quantità di calore necessaria per far aumentare la temperatura di una mole di gas di un grado kelvin, dipende dalle condizioni in cui facciamo variare la temperatura:

a volume costante o a pressione costante.

Ricordando che l’espressione dell’energia cinetica media delle molecole è proporzionale alla temperatura e che l’energia interna è la somma delle

energie cinetiche medie delle molecole che lo compongono, possiamo scrivere:

Fornendo calore al sistema a volume costante, il sistema non compie lavoro:

Il C_V ottenuto è il calore specifico molare a volume costante di un gas monoatomico. Nel caso dei gas biatomici (N₂, O₂, H₂, aria. Ecc.) si ha:

(

)

(

) ( )

E T

k

K = ₂³ ⇒ _int = _A = _{A 2}³ = ₂³

K)]

[J/(mol

5 . 12

ma

2 3 2

3 int int

int int

=

=

⇒ Δ

= Δ Δ

= Δ

= Δ

⇒ Δ

= Δ

=

⇒

−

= Δ

R C

T R n T E

n E T

n C Q

T C

n E

Q L

Q E

V V

V

K)]

[J/(mol

8 . 20

⁵

5 Δ ⇒ = =

=

ΔE n R T C R gas biatomico

Per quanto riguarda il calore specifico molare a pressione costante, C_p,

notiamo che, se si mantiene la pressione costante al variare della temperatura, il volume del sistema deve variare, poiché pV_∝T e p= costante.

Ne consegue che il lavoro compiuto dal sistema è diverso da zero: L≠ ^{0. In} sostanza, dalla solita formula si ha: Q=ΔE_int+L. Dalle formule già ricavate:

2 int 3 2

3 int

int

R C

C R

C C

T C

n E

R C

T R n E

T R n V p L L

Q E

T C

n Q

V p

p V

V V

p

+

=

⇒

−

=

Δ

= Δ

= Δ

= Δ

Δ

=

=

−

= Δ

Δ

=

Calori specifici molari dei gas - 2

In tabella sono riportati i calori

specifici molari a volume costante di alcuni gas, monoatomici,

biatomici e poliatomici. Si noti come per i gas monoatomici reali il valore sia molto simile a quello ottenuto per i gas ideali. Lo stesso vale per i

biatomici.

R C

C

=

+

gas mono- e poli-atomici

Trasformazioni adiabatiche - I

Grazie alla legge del gas ideale possiamo rappresentare le principali trasformazioni subite dal gas sul piano p-V:

• Trasformazione isoterma: pV = costante, iperbole

• Trasformazione isobara: p = costante, tratto orizzontale

• Trasformazione isocora: V = costante, tratto verticale

Possiamo rappresentare sul piano p-V anche le trasformazioni

adiabatiche, ovvero quelle caratterizzate da uno scambio nullo di energia con l’esterno: ΔQ = 0. Questo è tipicamente verificato nel caso di

trasformazioni sufficientemente rapide (propagazione delle onde sonore) oppure eseguite in un ambiente ben isolato.

Per le trasformazioni adiabatiche vale che:

V f p

f i

i

C

V C p V

p pV

=

=

=

γ

γ γ

γ

;

costante

Trasformazioni adiabatiche - II

Il fatto che nelle trasformazioni adiabatiche valga la relazione:

si dimostra facilmente dalla proprietà dQ = 0 e dall’espressione che abbiamo ricavato per la variazione dell’Energia interna. Infatti si ha:

costante V

p cost.

V T cost.

V T

V dV V

dV V

dV T

ovvero dT V

dV V

dV V

dV T

dT

dT R n dE

dE aria...) ,

N , O , (H atomico -

bi gas

dT R n dE

dE Ar...) (He,

atomico -

mono gas

V T dV R n dV

p dL

dE dQ

int 2

2 2

int

=

⇒

=

⇒ +

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

=

=

⇒

=

=

=

=

⇒

=

=

−

=

−

=

−

=

⇒

=

− γ

γ γ

γ γ

γ γ

1 int int

int

ln ) 1 ( ln

) 1 ( 5)

1 7 5 (

) 2 1

( 3)

1 5 3 (

2

40 . 5 1 7 2

5

67 . 3 1 5 2

3 0

: abbiamo casi

i entrambi in

quindi

costante

pV

=

V p C

γ C 5/3 = 1.67 per gas mono-atomico

7/5 = 1.40 per gas bi-atomico

Esercizi Lezione 11

Un bollitore viene riempito con un litro d’acqua a 20 °C. Supponendo che non ci sia scambio termico con l’ambiente esterno, sapendo che la resistenza R che riscalda l’acqua consuma 1200 W e che la tensione fornita dalla rete elettrica è 220 V,

determinare: a) il valore della resistenza R, b) il tempo necessario per portare l’acqua alla temperatura di ebollizione, c) il tempo che sarebbe necessario per far evaporare tutta l’acqua contenuta nel bollitore, una volta raggiunta la temperatura di ebollizione,

lasciando accesa la resistenza riscaldante. L_V = 2256 kJ/kg. [ a) R = 40.3Ω, b) t_ebol.= 279 s, c) t_evap.= 1880 s ]

In un bicchiere viene versata una lattina di CocaCola (330 cc) alla temperatura ambiente di 27 °C. Determinare la temperatura alla quale si porta la bibita se vengono versati nel bicchiere 100 g di cubetti di giaccio a 0° C. [ T_fin = 2.0 °C ]

Esercizi da: John R. Gordon, Ralph V. McGrew, Raymond A. Serway, John W.

Jewett Jr. Esercizi di Fisica. Guida ragionata alla soluzione (EdiSES).

17-8: Un sistema formato da una mole di gas idrogeno è riscaldato a pressione costante da 300 K a 420 K. Calcolare: a) l’energia trasferita al gas come calore, b) l’incremento dell’energia interna del gas, c) il lavoro svolto sul gas. [a) Q = n C_pΔT = 3.46 kJ, b) ΔE_int = n C_V ΔT = 2.45 kJ, c) L_{sul gas}= - L_{dal gas} = ΔE_int– Q = - 1.01 kJ ]

Esercizi Lezione 11 - segue

17-7: Due moli di elio gassoso, inizialmente alla temperatura di 300 K e alla pressione di 0.400 atm, subiscono una compressione isoterma fino alla pressione di 1.2 atm.

Assumendo che il gas si comporti come un gas ideale, determinare: a) il volume finale del gas, b) il lavoro compiuto dal gas, c) la variazione dell’energia interna del gas, d) il calore che il gas riceve dall’ambiente. 1 atm = 1.013 x 10⁵ Pa. [ a) 0.0410 m³, b) L = -5.48 kJ, c) ΔE_int= 0, d) Q = -5.58 kJ ]

17-4: Un gas ideale si espande al doppio del suo volume iniziale di 1.00 m3, seguendo una trasformazione quasi-statica data dalla relazione p =αV², dove α= 5.00 atm/m⁶. Determinare il lavoro che il gas compie durante la trasformazione.[ L = 1.18 x 10⁶J ]

16-8: Dato un sistema termodinamico formato dal gas elio contenuto in un pallone del diametro di 30.0 cm, alla temperatura di 20 °C e alla pressione di 1 atm, determinare: a) da quante moli di gas elio è composto il sistema, b) da quanti atomi, c) la massa dell’elio, d) la massa di un atomo di elio, e) il valore dell’energia cinetica media degli atomi. f) il valore della velocità quadratica media degli atomi. Il valore della massa atomica dell’elio è M = 4.00 g/mol. [ V = 1.41 x 10^-2m³, a) n = 0.588 mol, b) N = 3.54 x 10²³, c) 2.35 g, d) 6.65 x 10^-27 kg, e) 6.07 x 10^-21 J, f) 1.35 x 10³m/s ]