7 Funzioni continue di una variabile

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Funzioni continue di una variabile

7.1 Definizioni e prime propriet`a

Sia f (x) definita nell’insieme E e sia x₀ ∈DE. La definizione di limite per x → x₀ esprime una certa proprietà dei valori f (x) assunti dalla funzione in punti x ∈ E, diversi da x₀. Nel caso che sia x₀ ∈ E, può darsi che il limite suddetto risulti uguale a f (x₀). Il verificarsi di questa circostanza introduce il concetto di funzione continua, che formalizziamo come segue, utilizzando la frase “x₀ è un punto non isolato di E” per esprimere che x₀ ∈ E ∩DE. Si hanno le due definizioni:

a) Il punto x₀ sia un punto non isolato di E. La funzione f (x) si dice continua nel punto x₀ quando si ha

lim

x→x0

f (x) = f (x₀). (7.1)

b) La funzione f (x) si dice continua nell’insieme E quando `e continua in ogni punto x₀ non isolato di E.

Dunque, per la continuità di f (x) nel punto x₀ ∈ E ∩DE debbono verificarsi questi due fatti: 1) deve essere finito il limite della funzione per x → x₀; 2) tale limite deve essere uguale a f (x₀). Quindi non si ha continuità della f (x) nel punto x₀ nelle seguenti due eventualità:

1) il limite della funzione per x → x₀ non esiste oppure `e infinito; 2) il suddetto limite esiste finito ma non `e uguale a f (x₀).

Osserviamo ancora che la definizione (7.1) di continuit`a si pu`o ovviamente anche mettere nella forma

lim

x→x0

f (x) = f lim

x→x0

x

!

;

questa ci mostra che la continuit`a di una funzione esprime che il simbolo di funzione ed il simbolo di passaggio al limite sono permutabili fra loro (ovviamente, se hanno senso entrambi i termini di questa uguaglianza).

Vediamo ora due immediate conseguenze della definizione di funzione continua, con l’avvertenza che, da qui in avanti, parlando di continuità in un punto x₀, sarà sottinteso che x₀ è un punto non isolato nell’insieme E dove è definita la funzione.

7.1.I (Teorema della permanenza del segno) La funzione f (x) sia continua nel punto x₀ e sia f (x₀) 6= 0. Esiste allora un intorno I(x₀) del punto x₀ tale che, in tutti i punti x ∈ E ∩ I(x₀), la f (x) ha lo stesso segno di f (x₀).

7.1.II Se f (x) `e continua nell’insieme E essa `e continua in ogni insieme G ⊂ E.

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Capitolo 7. Funzioni continue di una variabile

Di quest’ultimo risultato non `e vero, in generale, il viceversa: la f (x) pu`o essere continua in G, senza esserlo in E.

Vediamo ora un modo alternativo di formulare la definizione di continuit`a; nel contempo introdurremo due locuzioni di cui faremo largo uso nel seguito.

Sia E un insieme di punti sull’asse reale e x₀ ∈ E; diremo che il numero reale ∆x `e un incremento di x₀ sull’insieme E quando x₀+ ∆x ∈ E.

Se y = f (x) è una funzione definita in E, la differenza f (x₀ + ∆x) − f (x₀) si chiamerà l’incremento della funzione f (x) nel passaggio dal punto x₀ al punto x₀+ ∆x e si indicherà col simbolo ∆f oppure ∆y.

Con queste premesse, riformuliamo la definizione a) di continuit`a in un punto come segue:

la f (x) `e continua nel punto x₀ quando, ∀ε > 0, esiste in corrispondenza un numero δ_ε > 0 tale che per ogni incremento ∆x di x₀ su E che verifichi la |∆x| < δ_ε, si abbia un incremento

∆f della funzione che verifica la |∆f | < ε.

Si vede immediatamente l’equivalenza con la definizione precedente. Infatti, ponendo x = x₀+ ∆x, la (7.1) si trasforma nella

lim

∆x→0

f (x₀+ ∆x) = f (x₀), ossia nella

lim

∆x→0

[f (x₀+ ∆x) − f (x₀)] = 0, che pu`o anche scriversi

lim

∆x→0

∆f = 0. (7.2)

Vediamo ora alcuni esempi di funzioni continue. Uno, di notevole generalit`a, `e espresso come segue:

7.1.III La funzione f (x) sia definita in un dato intervallo [a, b]. Siano verificate le seguenti due ipotesi: α) f (x) `e monotona in [a, b]; β) al variare di x in [a, b], la f (x) assume tutti i valori compresi fra f (a) e f (b). Allora la f (x) `e continua in [a, b].

Consideriamo ora le funzioni elementari

x^α, a^x, log_ax, sin x, cos x, tan x, cot x, arcsin x, arccos x, arctan x. (7.3)

Tenendo conto di quanto detto su di esse nel capitolo 4, è facile convincersi che, se x₀ è un punto in cui una delle funzioni (7.3) è definita, tale punto si può sempre pensare contenuto in un intervallo [a, b] nel quale la funzione considerata gode delle due proprietà α), β) enunciate nel 7.1.III. Si ha pertanto:

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7.1.IV Ciascuna delle funzioni (7.3) è continua in ogni punto dell’insieme in cui essa è definita, ossia è continua nel suo insieme di definizione.

Osserviamo che l’insieme di definizione di ciascuna delle (7.3) è sempre costituito da uno o più intervalli (limitati o no, con o senza gli estremi). Mentre x descrive uno di questi intervalli I, la proprietà di continuità, pensata espressa dalla (7.2), ci dice che ad incrementi di x sufficientemente piccoli corrispondono incrementi arbitrariamente piccoli della funzione.

Da ciò deriva che, in corrispondenza ai punti x ∈ I, il grafico della funzione può essere disegnato con moto continuo della punta scrivente, cioè senza mai sollevare tale punta dal foglio. Ciò non significa che tutto il grafico della funzione possa essere descritto in tal modo, ma che la cosa è possibile in corrispondenza ad ogni intervallo facente parte dell’insieme E di definizione della funzione.

Passando da un intervallo all’altro si hanno salti bruschi del grafico; ci`o avviene passando attraverso punti x che non appartengono ad E, ma che sono tuttavia punti di accumulazione di E.

Quest’ultimo fatto conduce al concetto generale di punto singolare di cui ci occuperemo nel seguito.

7.2 Punti singolari di una funzione. Continuit`a a sinistra o a destra

Sia f (x) definita in un qualunque insieme E. Abbiamo già accennato in precedenza al fatto che possono esistere dei punti x₀ (non isolati di E) in cui la funzione non è continua ed abbiamo sottolineato la particolare importanza che hanno i punti di accumulazione di E che non appartengono ad E. Tutti questi punti saranno chiamati punti singolari della f (x). La loro definizione precisa è la seguente: un punto x₀ si dice singolare per la funzione f (x) definita nell’insieme E quando si verifica uno di questi fatti: α) x₀ ∈ E ∩DE e la f(x) non

è continua in x₀ [sia perché non esiste il limite di f (x) per x → x₀, sia perché tale limite è infinito, sia perché tale limite è finito e diverso da f (x₀)]; β) x₀ ∈DE − E.

Alcune volte ci sono dei punti singolari che sono del tutto artificiali e provengono soltanto da una non felice definizione della funzione Ciò avviene nei due casi seguenti: 1) x₀ ∈ E ∩DE, esiste finito, pari a l, il limite di f (x) per x → x₀ ma è l 6= f (x₀). 2) x₀ ∈DE − E ed esiste finito il limite di f (x) per x → x₀. In questi due casi la singolarità può essere eliminata: nel caso 1) basta ovviamente modificare il valore della funzione nel punto x₀ ponendo f (x₀) = l;

nel caso 2) basta definire la funzione anche nel punto x₀, ponendo f (x₀) = l, perché x₀ non sia più punto singolare. In questo caso si parla di punti singolari (o singolarità) eliminabili.

Un punto singolare x₀ si dice punto di discontinuit`a di 1^a specie per la funzione f (x) quando esistono finiti entrambi i limiti

lim

x→x0 −

f (x) = l₁, lim

x→x0 +

f (x) = l₂ con l₁ 6= l₂.

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Un punto x₀ si dice punto d’infinito per la f (x) quando si ha lim

x→x₀f (x) = ±∞

oppure quando esistono entrambi i limiti lim

x→x0 −

f (x), lim

x→x0 +

f (x)

ed uno almeno di essi è infinito. In ogni altro caso il punto singolare viene chiamato punto di discontinuità di 2â specie.

Una funzione si dice generalmente continua quando, in ogni intervallo limitato, essa ha un numero finito di punti singolari.

Se x₀ `e un punto singolare di f (x) del tipo α) definito in precedenza, pu`o accadere che sia

x→xlim

0 −

f (x) = f (x₀), ovvero lim

x→x0 +

f (x) = f (x₀);

nel primo caso, nel punto x₀ la funzione si dice continua a sinistra, nel secondo caso si dice continua a destra.

7.3 Operazioni sulle funzioni continue

Siano f (x), g(x) due funzioni continue in un dato insieme E. Per ogni punto x₀ ∈ E ∩DE si ha

x→xlim₀f (x) = f (x₀), lim

x→x₀g(x) = g(x₀) e quindi, per il 6.4.VI:

x→xlim₀[f (x) + g(x)] = f (x₀) + g(x₀), lim

x→x₀ f (x)g(x) = f (x₀)g(x₀), vale a dire:

7.3.I La somma ed il prodotto di due funzioni continue sono funzioni continue.

Supponiamo ora che la g(x) non sia identicamente nulla in E; allora, per ogni punto x₀ ∈ E ∩DE in cui sia g(x₀) 6= 0, si ha

x→xlim₀ f (x)

g(x) = f (x₀) g(x₀) e quindi:

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7.3.II Il quoziente di due funzioni f (x), g(x) continue in E (di cui la seconda non identicamente nulla) `e una funzione continua nell’insieme E⁰ ottenuto da E togliendogli i punti in cui si annulla il denominatore g(x).

Analogamente, sempre sfruttando il 6.4.VI, si vede che:

7.3.III Se f (x) è continua nell’insieme E, anche la funzione e^{f (x)} è continua in E e, se è sempre f (x) > 0, sono anche continue le funzioni log f (x), [f (x)]^α, qualunque sia il numero reale α.

Da 7.3.I segue allora, per esempio, che ogni polinomio `e una funzione continua su tutto l’asse reale; da 7.3.II segue che ogni funzione razionale `e una funzione continua nell’insieme ottenuto dall’asse reale togliendogli gli eventuali punti in cui si annulla il polinomio denominatore.

Osserviamo anche che 7.3.III `e un caso particolare di un risultato assai pi`u generale.

Infatti, utilizzando definizione e propriet`a delle funzioni composte formulate nel capitolo 4, si vede facilmente che:

7.3.IV Ogni funzione composta mediante funzioni continue `e una funzione continua.

7.4 Teoremi fondamentali sulle funzioni continue

Daremo qui alcuni importanti risultati sulle funzioni continue. Il primo riguarda i concetti di minimo assoluto e di massimo assoluto di una funzione f (x) in un dato insieme E.

7.4.I (Teorema di Weierstrass) Ogni funzione f (x) continua in un insieme E chiuso e limitato `e dotata in E di minimo e massimo assoluti.

Il teorema di Weirstrass ha due immediate conseguenze:

7.4.II Ogni funzione f (x) continua in un insieme E chiuso e limitato `e ivi limitata.

7.4.III Se f (x) continua nell’insieme chiuso e limitato E `e ivi sempre positiva, essa ha in E un minimo positivo.

Diamo ora la seguente definizione. Una funzione f (x) definita in un insieme E, si dice uniformemente continua in E quando, comunque si fissi ε > 0, esiste un δ_ε > 0 tale che per due punti qualsiansi x⁰, x⁰⁰∈ E, per i quali sia |x⁰− x⁰⁰| < δ_ε, risulti |f (x⁰) − f (x⁰⁰)| < ε. In sostanza, si possono trovare valori f (x⁰), f (x⁰⁰) vicini quanto si vuole, giocando esclusivamente sulla distanza tra i due punti x⁰, x⁰⁰.

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Si vede immediatamente che se f (x) è uniformemente continua in E, essa è anche continua in E. Non è però vero il viceversa, cioè una funzione può essere continua in E senza essere uniformemente continua in E. Sorge quindi la questione di esaminare se, aggiungen- do qualche ulteriore condizione, dalla continuità di f (x) in E si possa dedurre l’uniforme continuità. A ciò risponde il seguente risultato.

7.4.IV (Teorema di Heine-Cantor) Se f (x) `e continua in un insieme E chiuso e limitato, essa `e uniformemente continua in E.

Supponiamo ora che f (x) sia continua nell’intervallo [a, b] (chiuso e limitato) e che negli estremi a, b essa assuma valori di segno opposto. Sussiste allora il seguente risultato.

7.4.V La funzione f (x) sia continua nell’insieme chiuso e limitato [a, b] ed assuma, agli estremi di questo, valori di segno opposto. Esiste allora, nell’interno di [a, b], almeno uno zero della f (x), cio`e almeno un punto ξ in cui risulta f (ξ) = 0.

Da questo risultato segue immediatamente l’altro:

7.4.VI Se la funzione f (x) `e continua in [a, b], essa non pu`o assumere due valori distinti u, v senza assumere ogni valore w compreso fra u e v.

Riunendo 7.4.VI e 7.4.I si pu`o enunciare quanto segue.

7.4.VII Se f (x) `e continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b], essa `e ivi dotata di minimo assoluto m e di massimo assoluto M ed assume come valori tutti e soli i valori dell’intervallo [m, M ].

7.5 Funzioni inverse

Consideriamo una funzione y = f (x) definita in un intervallo [a, b] e supponiamo che tale funzione sia continua. Ad ogni valore della x, preso in [a, b], corrisponde uno ed un solo valore della y. Sappiamo (7.4.VII) che l’insieme dei valori assunti da y è un intervallo [m, M ], ma non è detto che un valore y di [m, M ] provenga da un solo valore x di [a, b] (in generale esso proverrà da più valori, anche infiniti, x⁰, x⁰⁰, . . . , di x). Possiamo dire che in generale il grafico della funzione non è incontrato in un solo punto dalle parallele all’asse x uscenti dai punti di [m, M ].

Evidentemente, affinch´e tale grafico sia incontrato in un solo punto dalle predette parallele all’asse x, occorre e basta che, mentre x descrive l’intervallo [a, b], y descriva l’intervallo [m, M ] sempre nello stesso verso, vale a dire occorre e basta che la y = f (x) sia crescente oppure decrescente nell’intervallo [a, b]. Si ha allora m = f (a), M = f (b), oppure m = f (b), M = f (a). Quindi ogni punto y di [m, M ] proviene da uno ed un solo punto x di [a, b]

e si ha pertanto una legge che ad ogni punto y di [m, M ] associa un numero x di [a, b].

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Possiamo dunque guardare la x come funzione della y e scrivere x = g(y); questa funzione si chiama la funzione inversa della y = f (x). Si ha evidentemente

f [g(y)] = y, g[f (x)] = x. (7.4)

Si ha dunque il seguente risultato:

7.5.I Se la funzione y = f (x) `e continua nell’intervallo [a, b], ed ivi crescente (oppure decrescente), essa `e dotata di funzione inversa x = g(y), anch’essa continua, definita nel- l’intervallo [m, M ] descritto da y = f (x) al variare di x in [a, b]. Valgono le formule (7.4).

Tutto quanto detto sopra pu`o ovviamente estendersi al caso di una f (x) continua e crescente (oppure decrescente) in un intervallo A limitato ma non chiuso, ovvero illimitato, con la sola differenza che non `e detto che esista il minimo m ed il massimo M della funzione.

Rimane per`o il fatto che, al variare di x in A, il punto y descrive sempre nello stesso verso un intervallo B, onde ogni punto y ∈ B proviene da un solo punto x ∈ A.

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