. Il punto x = 1 ` e un punto di minimo relativo (stretto) per la funzione y = y(x). ]

(1)

(1) Data l’ equazione G(x, y) = xy + log(xy) − 2x + 1 = 0 , mostrare che tale equazione definisce implicitamente in un intorno del punto P = (1, 1) un’ unica funzione y = y(x), definita in un intorno I di 1 in R, , con y(1) = 1, e tale che x = 1 `e un punto critico di y(x).

Determinare la natura di tale punto critico.

[ y

⁰⁰

(0) =

¹₂

. Il punto x = 1 ` e un punto di minimo relativo (stretto) per la funzione y = y(x). ]

(2) Data l’ equazione G(x, y) = sin(y) cos(x) + y − e

^x

+ x

²

+ 1 = 0 Mostrare che tale equazione definisce implicitamente in un intorno del punto P = (0, 0) un’ unica funzione y = y(x), definita in un intorno I di 0 in R, con y(0) = 0.

Calcolare derivate prima e seconda di y(x) nel punto x = 0.

Calcolare il lim

_x→0 ^y(x)−

1 2x sin(x) log(1+x)

[ y

⁰

(0) =

¹₂

. y

⁰⁰

(0) = −

¹₂

. lim

_x→0 ^y(x)−

1 2x

sin(x) log(1+x)

= −

¹₄

] (3) Data l’ equazione

G(x, y) = R

y

0

e

^t²

dt − e

^x

+ xy

²

+ x + 1 + 2 R

x

0

arctan(t) e

^t

dt = 0 Mostrare che tale equazione definisce implicitamente in un intorno del punto P = (0, 0) un’ unica funzione y = y(x), definita in un intorno I di 0 in R, con y(0) = 0 e tale che x = 0 `e un punto critico di y(x).

Determinare la natura di tale punto critico.

[ y

⁰⁰

(0) = −1. Il punto x = 0 ` e un punto di massimo relativo (stretto) per la funzione y = y(x). ]

(4) Data l’ equazione G(x, y, z) = y

³

− x

²

− z

²

+ e

^xz

= 0

a) Mostrare che tale equazione definisce implicitamente in un intorno del punto P = (0, 0, 1) un’ unica funzione z = z(x, y), definita in un intorno I di (0, 0) in R

²

, con z(0, 0) = 1.

Calcolare il gradiente e la matrice hessiana della funzione z(x, y) nel punto (0, 0).

b) Dire se il Teorema di Dini ` e applicabile per esplicitare localmente y = y(x, z) in un intorno del punto Q = (0, 0, 1).

c) Dire se si pu` o esplicitare localmente y = y(x, z) in un intorno del punto Q = (0, 0, 1).

[ a) z

_x

(0, 0) =

¹₂

, z

_y

(0, 0) = 0, z

_xx

(0, 0) = −

¹₄

, z

_xy

(0, 0) = z

_yx

(0, 0) = z

_yy

(0, 0) = 0 ,

b) No.

c) S`ı, y = √

³

x

²

+ z

²

− e

^xz

]

1

(2)

2

(5) Data l’ equazione

G(x, y, z) = x y z + e

^x+y+z

+ sin[

^π₂

(x − y − z)] − e

^3z

= 0 mostrare che tale equazione definisce implicitamente in un intorno del punto P = (1, 1, 1) un’ unica funzione z = z(x, y), definita in un intorno I di (1, 1) in R

²

, con z(1, 1) = 1. Calcola- re le derivate parziali z

_x

(1, 1), z

_y

(1, 1) e scrivere l’ equazione del piano tangente al grafico di z = z(x, y) nel punto P = (1, 1, 1)

[ z

_x

(1, 1) =

_2e^1+e3−1³

, z

_y

(0, 0) =

_2e^1+e3−1³

. Il piano tangente ha equazione

(1 + e

³

)x + (1 + e

³

)y + (1 − 2e

³

)z − 3 = 0. ]

(6) Dato il sistema

( G

₁

(x, y, z) = x

²

+ y

²

+ z

²

− 2 = 0 G

₂

(x, y, z) = x

²

+ y

²

− z

²

− 2x = 0

mostrare che tale sistema definisce implicitamente in un intorno del punto P = (0, 1, 1) due funzioni y = y(x), z = z(x), definite in un intorno I di 0 in R, con y(0) = z(0) = 1.

Calcolare le derivate y

⁰

(0), z

⁰

(0) .

Detta γ la curva cartesiana in R

³

definita dal sistema ( asso- ciata al grafico di questa funzione (y(x), z(x)) : I ⊆ R → R

²

), scrivere le equazioni parametriche della tangente alla curva nel punto P .

[ y

⁰

(0) =

¹₂

, z

⁰

(0) = −

¹₂

; x = t , y = 1 +

¹₂

t , z = 1 −

¹₂

t ] (7) Dato il sistema

( G

₁

(x, y, u, v) = (x + y)

²

+ u

²

y + 2v − 6 = 0 G

₂

(x, y, u, v) = (x − y)

²

+ u

²

v − 2xy − 3 = 0

mostrare che tale sistema definisce implicitamente in un intorno del punto P = (0, 1, 1, 2) due funzioni u = (x, y), v = v(x, y), definite in un intorno I di (0, 1) in R

²

, con u(0, 1) = 1, v(0, 1) = 2. Calcolare la matrice jacobiana dell’ applicazione (u(x, y), v(x, y)) : I → R

²

nel punto (0, 1) .

[ u

_x

(0, 1) =

⁵₃

, v

_x

(0, 1) = −

⁸₃

, u

_y

(0, 1) = −

¹₆

, v

_y

(0, 1) =

−

⁴₃

. ]

(8) (Carattere locale del teorema della funzione inversa in dimensione maggiore di 1)

Sia g(x, y) = (e

^x

cos(y), e

^x

sin(y)) : R

²

→ R

²

. Calcolare la ma-

trice jacobiana di g in un punto generico del piano e mostrare

che in ogni punto (x, y) ∈ R

²

sono verificate le ipotesi del teore-

ma della funzione inversa; dedurne che la restrizione di g a un

intorno aperto di ogni punto del piano ` e un diffeomorfismo su

(3)

3

un aperto del piano, quindi che g ` e localmente invertibile con inversa locale di classe C

¹

ed ` e un’ applicazione aperta.

Mostrare che nonostante questo l’ applicazione g non ` e inietti- va in R

²

, non ` e quindi globalmente invertibile come applicazione R

²

→ R

²

.

(9) (Operatore di Laplace ∆ =

_∂x^∂²2

+

_∂y^∂²2

in coordinate polari) Se u = u(x, y) ` e una funzione di classe C

²

(A), A aperto di R

²

, il laplaciano di u ` e definito da

∆u(x, y) =

^∂_∂x²^u2

(x, y) +

^∂_∂y²^u2

(x, y) = u

_xx

(x, y) + u

_yy

(x, y).

Consideriamo il diffeomorfismo di classe C

²

definito dalla trasformazione in coordinate polari tra U = (0, +∞) × (0, 2π) e V = R

²

\ {(x, y) ∈ R

²

: y = 0 , x ≥ 0}

(o analoga trasformazione tra U

⁰

= (0, +∞) × (a, a + 2π) e V

⁰

= R

²

\ S dove S `e una semiretta del piano) :

x = ρ cos(ϑ) , y = ρ sin(ϑ) , (ρ, ϑ) ∈ U = (0, +∞) × (0, 2π) ,

(x, y) ∈ V = R

²

\ {(x, y) ∈ R

²

: y = 0 , x ≥ 0}.

Sia u = u(x, y) ∈ C

²

(V ) , e siano

˜

u(ρ, ϑ) = u(ρ cos(ϑ), ρ sin(ϑ))

la stessa funzione espressa in coordinate polari, e

∆u(ρ, ϑ) = ∆u(ρ cos(ϑ), ρ sin(ϑ)) ˜

il laplaciano di u espresso in coordinate polari.

Mostrare che

∆u(ρ, ϑ) = ∆u(ρ cos(ϑ), ρ sin(ϑ)) = ˜

˜

u

_ρρ

(ρ, ϑ) +

¹_ρ

u ˜

_ρ

(ρ, ϑ) +

_ρ¹2

u ˜

_ϑϑ

[ Usando la regola di derivazione delle funzioni composte mostrare che

˜

u

_ρ

(ρ, ϑ) = u

_x

(ρ cos(ϑ), ρ sin(ϑ)) cos(ϑ)+u

_y

(ρ cos(ϑ), ρ sin(ϑ)) sin(ϑ)

˜

u

ϑ

(ρ, ϑ) = u

x

(ρ cos(ϑ), ρ sin(ϑ)) (−ρ sin(ϑ))+u

y

(ρ cos(ϑ), ρ sin(ϑ)) (ρ cos(ϑ)) che sottintendendo i punti in cui le funzioni sono calcolate si

scrivono pi` u brevemente come

˜

u

_ρ

= u

_x

cos(ϑ) + u

_y

sin(ϑ)

˜

u

_ϑ

(ρ, ϑ) = −u

_x

ρ sin(ϑ) + u

_y

ρ cos(ϑ)

Derivando ancora la prima rispetto a ρ, la seconda rispetto a ϑ mostrare che

˜

u

_ρρ

(ρ, ϑ) = u

_xx

cos

²

(ϑ) + 2u

_xy

sin(ϑ) cos(ϑ) + u

_yy

sin

²

(ϑ)

˜

u

_ϑϑ

(ρ, ϑ) = u

_xx

ρ

²

sin

²

(ϑ) − 2u

_xy

ρ

²

sin(ϑ) cos(ϑ) + u

_yy

ρ

²

cos

²

(ϑ)

−u

_x

ρ cos(ϑ) − u

_y

ρ sin(ϑ)

e quindi ˜ u

_ρρ

(ρ, ϑ) +

¹_ρ

u ˜

_ρ

(ρ, ϑ) +

_ρ¹2

u ˜

_ϑϑ

= . . .

Alternativa pi` u sistematica, utile per calcoli simili in coordi-

nate cilindriche o sferiche in R

³

: si scrive la matrice jacobiana

(4)

4

J

_T

(ρ, ϑ) =

^∂(x,y)_∂(ρ,ϑ)

(ρ, ϑ) = x

ρ

x

_ϑ

y

_ρ

y

_ϑ

= cos(ϑ) −ρ sin(ϑ) sin(ϑ) ρ cos(ϑ)

e si scrive la sua inversa, ma sempre in funzione di ρ, ϑ, cio` e se T = T (ρ, ϑ) = (x(ρ, ϑ), y(ρ, ϑ)), T

⁻¹

= T

⁻¹

(x, y) = (ρ(x, y), ϑ(x, y)) si scrive J

_T⁻¹

(x(ρ, ϑ) , y(ρ, ϑ)) = J

_T⁻¹

(T (ρ, ϑ)):

∂(ρ,ϑ)

∂(x,y)

(ρ, ϑ) = ρ

_x

ρ

_y

ϑ

_x

ϑ

_y

=

cos(ϑ) sin(ϑ)

−ρ

⁻¹

sin(ϑ) ρ

⁻¹

cos(ϑ)

e poi si deriva invece con la regola della catena u(x, y) = ˜ u(ρ(x, y), ϑ(x, y)) che scriveremo brevemente come u invece che ˜ u:

u

_x

= u

_ρ

ρ

_x

+ u

_ϑ

ϑ

_x

= u

_ρ

cos(ϑ) − u

_ϑ

ρ

⁻¹

sin(ϑ) u

_y

= u

_ρ

ρ

_y

+ u

_ϑ

ϑ

_y

= u

_ρ

sin(ϑ) + u

_ϑ

ρ

⁻¹

cos(ϑ) Derivando ancora si ottiene

u

xx

= u

ρρ

cos

²

(ϑ) + u

ϑϑ

ρ

⁻²

sin

²

(ϑ) − 2u

ρϑ

ρ

⁻¹

sin(ϑ) cos(ϑ) + u

_ρ

ρ

⁻¹

sin

²

(ϑ) + 2u

_ϑ

ρ

⁻²

sin(ϑ) cos(ϑ)

Analogamente

u

_yy

= u

_ρρ

sin

²

(ϑ) + u

_ϑϑ

ρ

⁻²

cos

²

(ϑ) + 2u

_ρϑ

ρ

⁻¹

sin(ϑ) cos(ϑ) +

u

_ρ

ρ

⁻¹

cos

²

(ϑ) − 2u

_ϑ

ρ

⁻²

sin(ϑ) cos(ϑ) . Sommando si ottiene

. . . ]