RISOLUZIONE 1. Sia f (x) definita in un intervallo I tale che f (x) ! +1 per x ! x0

RISOLUZIONE

1. Sia f (x) definita in un intervallo I tale che f (x) ! +1 per x ! x 0 eccetto eventualmente che in x ₀ 2 I. Allora A `e vera in quanto f(x) < [f(x)] + 1 per definizione di parte intera e dunque [f (x)] > f (x) 1. Dato che f (x) ! +1 per x ! x 0 ne concludiamo che per ogni M > 0 esiste

> 0 tale che se x 2 I, 0 < |x x ₀ | < allora [f(x)] > f(x) 1 > M essendo > 0 tale che se x 2 I, 0 < |x x ₀ | < allora f(x) > M + 1.

B `e falsa, considerata la funzione f (x) = _x ¹

4 abbiamo infatti che `e definita in R \ {0} e che f (x) ! +1 per x ! 0 ma per |x| > ¹ ₂ si ha x ² > ¹ ₄ da cui _x ¹

< 4 e pertanto f (x) = _x ¹

4 < 0.

Dunque esistono degli x 2 R con 0 < |x| < 1 per i quali f(x) 6> 0.

C `e vera infatti dalla definizione di limite abbiamo che preso M = 1 esiste > 0 tale che se x 2 I e 0 < |x x ₀ | < 1 allora f(x) > 1.

2. Siano f (x) e g(x) funzioni definite e positive in un intervallo I eccetto eventualmente che in x ₀ 2 I tali che f(x) ⇠ g(x) per x ! x 0 . Allora A `e vera, infatti per definizione di asintotico abbiamo che

x lim !x

f (x) g(x) = 1

e dunque, dalla definizione di limite, preso " = ¹ ₂ abbiamo che esiste > 0 tale per ogni x 2 I con 0 < |x x ₀ | < si ha

1

2 < ^{f (x)} _g(x) 1 < ¹ ₂ , ¹ ₂ < ^{f (x)} _g(x) < ³ ₂ da cui, essendo g(x) positiva, ne deduciamo che ¹ ₂ g(x) < f (x) < ³ ₂ g(x).

B `e invece falsa. Consideriamo per esempio le funzioni f (x) = 1 + x e g(x) = 1 + x ² . Per x ! 0 abbiamo che f (x) ⇠ g(x) (sono entrambe funzioni convergenti a 1) ma che, dai limiti notevoli, log(f (x)) = log(1 + x) ⇠ x mentre log(g(x)) = log(1 + x ² ) ⇠ x ² e pertanto log(f (x)) 6⇠ log(g(x)) dato che x 6⇠ x ² .

Anche C `e falsa, si pensi per esempio alle funzioni f (x) = _x ¹

+ _x ¹ e g(x) = _x ¹

p 1

x . Per x ! 0 si ha che f (x) = _x ¹

+ ¹ _x ⇠ _x ¹

(essendo

1 x2

+

1 x2

= x + 1 ! 1) e in modo analogo g(x) = _x ¹

p 1 x ⇠ _x ¹

(dato che

1 x2

p1x 1 x2

= 1 p

x ² ! 1). Quindi, dalla propriet`a di transitivit`a, risulta f(x) ⇠ g(x) per x ! 0 ma f(x) g(x) = ¹ _x + p ¹

x ! +1.

3. Calcoliamo il limite lim

x !0

log(cos x)

sin ² x utilizzando i limiti notevoli visti e la relazione di asintotico.

Ricordiamo che per x ! 0 risulta sin x ⇠ x e quindi che sin ² x ⇠ x ²

Abbiamo poi che log(1 + y) ⇠ y per y ! 0, posto allora y = cos x 1, dato che cos x 1 ! 0 per x ! 0 otteniamo

log(cos x) = log(1 + (cos x 1)) = log(1 + y) ⇠ y = cos x 1 e poich´e 1 cos x ⇠ ^x ₂

per x ! 0, si ha

log(cos x) ⇠ cos x 1 ⇠ ^x ₂

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Possiamo allora concludere che per x ! 0 risulta log(cos x)

sin ² x ⇠

x

2

x ² = ¹ ₂ e dunque che lim

x !0

log(cos x)

sin

x = ¹ ₂ . 4. Calcoliamo lim

x !0

e ^{tan x} 1 p

cos x 1 log(1 + sin x) usando i limiti notevoli e la relazione di asintotico.

Per x ! 0 abbiamo

e ^{tan x} 1 ⇠ tan x ⇠ x, log(1 + sin x) ⇠ sin x ⇠ x e p

cos x 1 ⇠ ¹ ₃ (cos x 1) ⇠ ¹ ₆ x ² quindi

e ^{tan x} 1 p

cos x 1 log(1 + sin x) ⇠ x

1

6 x ² · x = 6 e dunque lim

x !0

e ^{tan x} 1 p

cos x 1 log(1 + sin x) = 6.

5. Per calcolare il limite lim

x !0

(cos x)

possiamo scrivere (cos x)

= e

^{log(cos x)} e studiare il comportamento dell’esponente ^{log(cos x)} _{tan x} per x ! 0. Per x ! 0 abbiamo

tan x ⇠ x e log(cos x) ⇠ (cos x 1) ⇠ ^x ₂

e dunque

log(cos x)

tan x ⇠ ^x ₂

· ¹ _x = ^x ₂ ! 0 Ne deduciamo quindi che (cos x)

= e

^{log(cos x)} ! 1 per x ! 0.

6. Calcoliamo il limite lim

x !+1

e

1 p

x ² + 2 p

x ² + 1 . Osserviamo che, essendo ¹ _x ! 0 per x ! +1 risulta

e

1 ⇠ ¹ _x mentre ^(e)

p

x ² + 2 p

x ² + 1 = p

x ² + 1

✓ q

x

+2 x

+1 1

◆

= p

x ² + 1 ⇣

4

q

1 + _x

¹ ₊₁ 1 ⌘

⇠ p

x · ¹ _{4 x}

¹ +1

⇠ _4x ^{p x}

= ¹

4x

Ne deduciamo allora che per x ! +1 si ha e

1 p

x ² + 2 p

x ² + 1 ⇠

1 x 1 4x

= 4 p x

e dunque che lim

x !+1

e

1 p

x ² + 2 p

x ² + 1 = + 1.

(e)

osserviamo che essendo x ! +1 possiamo supporre x > 0 e che per tali valori si ha p

x

= p x

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7. Per calcolare il limite lim

x!0

sin(⇡ cos x)

x sin x osserviamo innanzitutto che posto y = ⇡(cos x 1) per x ! 0 si ha y ! 0 e quindi

sin(⇡ cos x) = sin(⇡ cos x ⇡ + ⇡) = sin(y + ⇡) = sin y ⇠ y = ⇡(1 cos x) ⇠ ^⇡ ₂ x ² mentre

x sin x ⇠ x ² Otteniamo allora che

sin(⇡ cos x) x sin x ⇠

⇡ 2 x ²

x ² = ^⇡ ₂ da cui lim

x !0

sin(⇡ cos x) x sin x = ^⇡ ₂ . 8. Calcoliamo il limite lim

x !0

sin(↵x ³ ) log( p

1 + x ³ ) al variare di ↵ 2 R. Per ogni ↵ 2 R, se x ! 0 ⁺ abbiamo sin(↵x ³ ) ⇠ ↵x ³

e

log( p

1 + x ³ ) = log(( p

1 + x ³ 1) + 1) ⇠ p

1 + x ³ 1 ⇠ ^x ₃

da cui

sin(↵x ³ ) log( p

1 + x ³ ) ⇠ ↵x ³

x

3

= 3↵

Ne segue allora che lim

x !0

sin(↵x ³ ) log( p

1 + x ³ ) = 3↵ per ogni ↵ 2 R.

9. Calcoliamo lim

x !0

p 1 + x ^↵ 1 (cosh x 1) log(1 + p

x) al variare di ↵ 2 R. Osserviamo innanzitutto che per x ! 0 ⁺ abbiamo che (cosh x 1) log(1 + p

x) ! 0 ⁺ e che se ↵ < 0 allora x ^↵ ! +1 da cui p 1 + x ^↵ 1 ! +1. Il limite in questo caso non presenta una forma indeterminata e

x lim !0

p 1 + x ^↵ 1 (cosh x 1) log(1 + p

x) = + 1 per ogni ↵ < 0 Allo stesso modo, se ↵ = 0 abbiamo che p

1 + x ^↵ 1 = p

2 1 > 0 e dunque

x!0 lim

p 1 + x ^↵ 1 (cosh x 1) log(1 + p

x) = + 1 per ↵ = 0 Se invece ↵ > 0 allora p

1 + x ^↵ 1 ! 0 per x ! 0 ⁺ e il limite presenta una forma indeterminata del tipo ⁰ ₀ . Dai limiti notevoli, per x ! 0 ⁺ abbiamo che

p 1 + x ^↵ 1 ⇠ ¹ ₂ x ^↵

mentre

(cosh x 1) log(1 + p

x) ⇠ ¹ ₂ x ² · p

x = ¹ ₂ x

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e dunque che p

1 + x ^↵ 1 (cosh x 1) log(1 + p

x) ⇠ x ^↵

da cui possiamo concludere che se ↵ > 0 si ha

x lim !0

p 1 + x ^↵ 1 (cosh x 1) log(1 + p

x) = lim

x !0

x ^↵

= 8 >

<

> :

0 se ↵ > ⁵ ₂ 1 se ↵ = ⁵ ₂ + 1 se ↵ < ⁵ ₂

10. Per calcolare lim

x !1

cos( ^⇡ ₂ x)

(x 1) ^↵ al variare di ↵ 2 R, operiamo la sostituzione y = x 1 e osserviamo che se x ! 1 ⁺ allora y ! 0 ⁺ e il limite diviene

x!1 lim

cos( ^⇡ ₂ x)

(x 1) ^↵ = lim

y!0

cos( ^⇡ ₂ (y + 1)) y ^↵ Per y ! 0 ⁺ risulta

cos( ^⇡ ₂ (y + 1)) = cos( ^⇡ ₂ y + ^⇡ ₂ ) = sin( ^⇡ ₂ y) ⇠ ^⇡ ₂ y ! 0

Osserviamo poi che se ↵ < 0 per y ! 0 ⁺ risulta y ^↵ ! +1 e quindi, dall’algebra dei limiti, otteniamo che

cos( ^⇡ ₂ (y + 1))

y ^↵ ! 0

Allo stesso modo, se ↵ = 0 allora y ^↵ = 1 e anche in questo caso ^cos(

⇡ 2

(y+1))

y

! 0 per y ! 0 ⁺ . Se invece ↵ > 0 allora per y ! 0 ⁺ risulta y ^↵ ! 0 e il limite presenta una forma indeterminata del tipo ⁰ ₀ . Dallo sviluppo sopra abbiamo per` o che

cos( ^⇡ ₂ (y + 1))

y ^↵ ⇠

⇡ 2 y

y ^↵ = ^⇡ ₂ y ^{1 ↵} ! 8 >

<

> :

0 se 0 < ↵ < 1

⇡

2 se ↵ = 1 1 se ↵ > 1 Riunendo quanto ottenuto possiamo concludere che

x lim !1

cos( ^⇡ ₂ x)

(x 1) ^↵ = lim

y !0

cos( ^⇡ ₂ (y + 1))

y ^↵ =

8 >

<

> :

0 se ↵ < 1

⇡

2 se ↵ = 1 1 se ↵ > 1

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