FISICA GENERALE
MODULO A
CORSO H – BARI
Dinamica del corpo rigido
Dott. Giannuzzi Giuseppe
Argomenti della lezione
Dinamica del corpo rigido:
- Definizione e proprietà dei corpi rigidi.
- Densità di massa, posizione del centro di massa.
- Moto di un corpo rigido.
Corpo rigido
Se il sistema di punti discreto diventa continuo allora i punti materiali sono elementi infinitesimi del corpo.
Un sistema di punti continuo per il quale le distanze tra tutte le possibili coppie di punti non variano nel tempo viene chiamato corpo rigido.
Il corpo rigido in fisica è una idealizzazione, un corpo indeformabile, tuttavia è un corpo esteso, soggetto a forze esterne applicate in punti diversi del corpo. Possiamo quindi calcolarne 𝑅 𝐸 e 𝑀 𝐸 .
Nel caso dei corpi rigidi essendo le mutue distanze tra i punti bloccate, allora anche il lavoro delle forze interne risulta nullo (le forze interne non hanno alcun ruolo nella dinamica dei corpi rigidi), per cui le leggi fondamentali della dinamica dei corpi rigidi diventano:
𝑅 𝐸 = 𝑀 𝑎𝐶𝑀 𝐼 𝑒𝑞. 𝑐𝑎𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙𝑒 𝑀 𝐸 = 𝑑𝐿
𝑑𝑡 𝐼𝐼 𝑒𝑞. 𝑐𝑎𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙𝑒
ℒ 𝐸 = ∆𝐸𝑘 𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑙𝑙′𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑐𝑖𝑛𝑒𝑡𝑖𝑐𝑎 Quindi, per i corpi rigidi quindi trascureremo l’apice 𝐸
Corpo rigido
Lo studio del moto del corpo rigido viene fatto generalmente in un sistema di riferimento inerziale (xyz).
Un altro sistema di riferimento utilizzato è quello del centro di massa del corpo rigido, in generale non inerziale, con gli assi (x'y'z') paralleli a quelli del sistema inerziale.
In tale sistema di riferimento, poiché le distanze dei punti non variano rispetto al CM, il CM vede i punti del corpo solido fermi o in moto lunghi archi di circonferenza.
Infine, nel sistema (x*y*z*) gli assi sono solidali al corpo rigido, quindi tutti i punti del corpo rigido risulteranno fermi in questo sistema di riferimento.
Posizione del Centro di Massa
Il singolo punto materiale, nel caso di un corpo rigido, si può pensare come un elemento infinitesimo di volume dV e di massa dm (piccolo dal punto di vista macroscopico, grande per quello microscopico).
Si passa dalla definizione del sistema (discreto) di punti materiali al continuo di punti adeguando il calcolo analitico (da sommatorie ad integrali).
Il C.M. allora è calcolato risolvendo i seguenti integrali (di volume) di tutti gli elementini di massa dm la cui posizione è individuata dal raggio vettore 𝑟 (o dalle relative coordinate) rispetto ad un S.d.R.:
Ԧ𝑟𝐶𝑀 = 𝑉 𝑟 𝑑𝑚
𝑉 𝑑𝑚
= 𝑉 𝑟 𝑑𝑚
𝑀 = 1
𝑀 න
𝑉
𝑟 𝑑𝑚
𝑥𝐶𝑀 = 1 𝑀 න
𝑉
𝑥 𝑑𝑚
𝑦𝐶𝑀 = 1 𝑀 න
𝑉
𝑦 𝑑𝑚 𝑧𝐶𝑀 = 1
𝑀 න
𝑉
𝑧 𝑑𝑚
Densità
Il calcolo di questi integrali è riconducibile a più semplici integrali introducendo la densità di massa volumetrica che fornisce indicazione su come la massa è distribuita all’interno del corpo rigido. Essa è data dal rapporto tra la massa infinitesima ed il volume da essa occupato:
𝜌 = 𝑑𝑚
𝑑𝑉 [Kg/m3].
Nota la densità di massa, che può essere variabile 𝜌(x,y,z), integrando sul volume si ha 𝑑𝑚 = 𝜌 𝑑𝑉 ⇒ 𝑀 = න
𝑉
𝜌 𝑑𝑉
Quando la densità del corpo non cambia punto per punto (densità costante) il corpo si dice omogeneo 𝜌 = 𝑑𝑚
𝑑𝑉 = 𝑀
𝑉
Viceversa si dice non omogeneo, introducendo una densità media < 𝜌 > = 𝑀
𝑉
Vari corpi però possono avere una distribuzione di massa particolare quali dischi, fili ecc. Per rappresentare la distribuzione di massa in modo più corretto, in questi casi si può utilizzare la densità superficiale o la densità lineare
𝜌𝑆 = 𝑑𝑚
𝑑𝑆 [Kg/m2] ⇒ 𝑀 = න
𝑆
𝜌𝑆 𝑑𝑆 𝜌𝑙 = 𝑑𝑚
𝑑𝑙 [Kg/m] ⇒ 𝑀 = න
𝐿
𝜌𝑙 𝑑𝑙 Il reciproco della grandezza densità 𝑑𝑉
𝑑𝑚 si chiama volume specifico.
Calcolo del CM per corpi rigidi
Sostituendo 𝑑𝑚 = 𝜌 𝑑𝑉 negli integrali si ottiene (per un corpo omogeneo 𝜌 = 𝑀
𝑉 ):
𝑟𝐶𝑀 = 𝑉 𝑟 𝑑𝑚
𝑀 = 𝑉 𝜌 𝑟 𝑑𝑉
𝑀 = 𝜌
𝑀න
𝑉
𝑟 𝑑𝑉 = 1 𝑉න
𝑉
𝑟 𝑑𝑉 Che proiettata sugli assi diventa:
𝑥𝐶𝑀 = 1 𝑉 න
𝑉
𝑥 𝑑𝑉 𝑦𝐶𝑀 = 1 𝑉 න
𝑉
𝑦 𝑑𝑉 𝑧𝐶𝑀 = 1 𝑉 න
𝑉
𝑧 𝑑𝑉
Questo risultato è importante perché stabilisce che quando un corpo è omogeneo il centro di massa dipende solo dal volume, ossia dalla sua forma geometrica. Il CM coincide con il centro di simmetria del corpo oppure è un punto dell’asse o del piano di simmetria del corpo rigido. Ad esempio per la sfera il CM è il suo centro, per un cilindro il CM si troverà sull’asse del cilindro e a metà di esso ecc.
Centro di massa e forza peso
La forza peso agisce come un sistema di forze parallele 𝑑𝑃 = 𝑑𝑚 𝑔 e abbiamo già visto che il centro di massa 𝑟𝐶𝑀 coincide con il baricentro 𝑟𝐶. La dimostrazione è identica a quella già vista per i sistemi di punti materiali.
( 𝑟𝐶 = σ𝑖𝑟𝑖 𝐹𝑖
σ𝑖𝐹𝑖 per un sistema di punti materiali) 𝑟𝐶 = 𝑉 𝑟 𝑔 𝑑𝑚
𝑉 𝑔 𝑑𝑚
= 𝑔 𝑉 𝑟 𝑑𝑚 𝑔 𝑉 𝑑𝑚
= 𝑉 𝑟 𝑑𝑚
𝑉 𝑑𝑚
= 1 𝑀න
𝑉
𝑟 𝑑𝑚 = 𝑟𝐶𝑀
Nel CM sarà applicata la risultante di tutte le forze parallele dovute alla forza peso:
න
𝑉
𝑔 𝑑𝑚 = 𝑔 න
𝑉
𝑑𝑚 = 𝑀𝑔 = 𝑃
Per quanto riguarda il momento risultante della forza peso rispetto ad un polo O (origine del sistema di riferimento):
𝑀 = න
𝑉
𝑟 × 𝑔 𝑑𝑚 = න
𝑉
𝑟 𝑑𝑚 × 𝑔 = 𝑀 𝑟𝐶𝑀 × 𝑔 = 𝑟𝐶𝑀 × 𝑀𝑔 = 𝑟𝐶𝑀 × 𝑃 Per la forza peso, l’energia potenziale (assumiamo 𝑔 = −𝑔 ො𝑢𝑧 diretta lungo l’asse z):
𝐸𝑝 = − 𝑑𝐹 ∙ 𝑑𝑠 𝐸𝑝 = 𝑉 𝑔 𝑧 𝑑𝑚 = 𝑔 𝑉 𝑧 𝑑𝑚 = 𝑀 𝑔 𝑧𝐶𝑀
l’energia potenziale del corpo rigido dipende dalla coordinata z (verticale) del CM.
Moto di un corpo rigido
Abbiamo visto come il generico moto di un sistema di punto materiali sia una traslazione del CM sovrapposta ad una rotazione. Vediamo per i corpi rigidi cosa comporta partendo dalle traslazioni.
Traslazione di un corpo rigido
Nelle traslazioni si ha 𝐿′ = 0 e 𝐸𝑘′ = 0 rispetto al CM (𝑟′𝐶𝑀 = 0, 𝑣′𝐶𝑀 = 0, 𝑎′𝐶𝑀 = 0).
Tutti i punti descrivono traiettorie uguali (curvilinee) con velocità = 𝑣𝐶𝑀
Traslazione di un corpo rigido
La dinamica traslazionale del corpo rigido diventa in questo caso quella del CM e le grandezze significative sono:
quantità di moto 𝑃 = 𝑀 𝑣𝐶𝑀
dinamica del CM 𝑅 𝐸 = 𝑀 𝑎𝐶𝑀 = 𝑑𝑃
𝑑𝑡
I teorema di König 𝐿 = 𝐿′ + 𝐿𝐶𝑀 = 𝑟𝐶𝑀 × 𝑃 II teorema di König 𝐸𝑘 = 𝐸𝑘′ + 𝐸𝑘,𝐶𝑀 = 1
2 𝑀 𝑣𝐶𝑀2
Ne consegue che l’espressione di 𝐿 dipende direttamente da 𝑃 per cui la seconda equazione della dinamica non aggiunge alcuna ulteriore conoscenza (cioè è equivalente a quella del momento angolare) e si può dimostrare che
𝑀 = 𝑑𝐿
𝑑𝑡 = 𝑑
𝑑𝑡 𝑟𝐶𝑀 × 𝑃 = 𝑟𝐶𝑀 × 𝑅
per cui non si ottiene una equazione differente dalla conoscenza di 𝑅 , pertanto nelle traslazioni si usa solo la legge della dinamica del CM.
Rotazione di un corpo rigido
Nel caso delle rotazioni, tutti i punti descrivono un moto circolare (archi di circonferenza rispetto all’asse di rotazione), e tutti con la stessa velocità angolare 𝜔 parallela all’asse di rotazione (𝑣𝑖 = 𝜔 𝑅𝑖). In generale però 𝜔 può essere variabile nel tempo (modulo, verso e direzione - asse di rotazione variabile).
L’equazione dinamica che descrive il moto di rotazione è:
𝑀 = 𝑑𝐿 𝑑𝑡 (calcoleremo 𝐿 in seguito)
Moto rototraslatorio di un corpo rigido
Il moto generale di un corpo rigido è una rototraslazione: si può dimostrare che ogni spostamento infinitesimo può considerarsi come una sovrapposizione (ovvero una somma vettoriale) di una traslazione ed una rotazione, individuate da 𝑣 e 𝜔 variabili nel tempo.
Calcolo del CM per un’asta rigida
Se l’oggetto è omogeneo (la densità non cambia punto per punto) il CM coincide con il centro geometrico (di simmetria) dell’oggetto.
Se l’oggetto ha una forma geometrica semplice quindi si può evitare qualunque calcolo.
A titolo di esempio è mostrato di seguito il calcolo per un’asta rigida omogenea.
Supponiamo che l’asta sia orientata secondo l’asse x e che si possano trascurare le altre dimensioni. Per simmetria ci aspettiamo che il CM deve trovarsi al centro.
Verifichiamo:
𝑥𝐶𝑀 = 1 𝑉 න
𝑉
𝑥 𝑑𝑉 Inoltre abbiamo che
𝑑𝑉 = 𝑑𝑥 · 𝑆 con S la sezione della barretta allora
𝑥𝐶𝑀 = 𝑆 𝑉 න
𝑂 𝐿
𝑥 𝑑𝑥 = 𝑆 𝑉
𝐿2 2 e poiché 𝑉 = 𝑆 · 𝐿, si ottiene
𝑥𝐶𝑀 = 𝑆 𝑆 𝐿
𝐿2
2 = 𝐿 2
𝐿
Calcolo del CM per un’asta rigida
Oppure
𝑥𝐶𝑀 = 1 𝑀 න
𝑉
𝑥 𝑑𝑚 Inoltre abbiamo che
𝑑𝑚 = 𝜌𝑙 𝑑𝑥 con 𝜌𝑙 la densità lineare della barretta, allora
𝑥𝐶𝑀 = 1 𝑀 න
0 𝐿
𝑥 𝜌𝑙 𝑑𝑥 = 𝜌𝑙 𝑀
𝐿2 2 e poiché
𝑀 = 𝜌𝑙 · 𝐿 si ottiene
𝑥𝐶𝑀 = 𝜌𝑙 𝜌𝑙 · 𝐿
𝐿2
2 = 𝐿 2
Calcolo del CM per un’asta rigida non omogenea
Calcolo del CM per un’asta rigida non omogenea
Calcolo del CM per un semianello
Semianello rigido di massa e raggio R Ԧ𝑟𝐶𝑀 = 1
𝑀න
𝑉
𝑟 𝑑𝑚
