1
Sottoinsiemi di R
Def.
Un punto x0 si dice interno ad A se esiste un suo intorno I(x0, ) con >0 contenuto in A.
Si dice esterno ad A se è interno al CA (AC) Si dice di frontiera per A se non è né interno né esterno ad A
A °
Insieme dei punti interni ad A
, FA
A Insieme dei punti di frontiera di A Es. se A=(1,3], A=(1,3) °
Es. se A=(1,3], i punti di frontiera sono i punti x =1
Sottoinsiemi di R
se x0
se x
0
(esterno)A x
se
0 Osservazioni
(frontiera)
, può essere x0 A oppure x0 A, in ogni caso per I(x0, ) contiene sia punti di A sia punti di CA.
° A
x0 A
x
0A
A
°
Sottoinsiemi di R
Def.
x0 è un punto di accumulazione per A se in I(x0, ) esiste un punto di A diverso da x0. (Cioè in ogni intorno di x0 infiniti elementi di A )
Es. se A=(-2,3], x=-2 è di accumulazione per A, ma anche x=3, x=0, x=1,..etc, cioè è di
accumulazione per A, qualunque 𝑥 ∈ [2,3]
Sottoinsiemi di R
Se x0DA allora può aversi x0A oppure x0A
Se x0 DA allora x0 si dice isolato Se x0A x ° 0DA
DA = A’ = derivato di A è l’insieme dei punti di accumulazione per A.
Es. x=1 e x=3 sono entrambi punti di accumulazione per l’intervallo (1,3], x=3 appartiene all’intervallo dato, x=1 NO.
Se DA = A si dice discreto Es. A = {1,2,3,4}
Se DA = A A si dice perfetto Es.: A = [a,b]
Sottoinsiemi di R
Sottoinsiemi di R
Def.
A R si dice aperto se ogni xA è un punto interno, cioè se A = A
Es. (a,b)
A si dice chiuso se AC è aperto.
Es. [a,b]
n.b. R e sono gli unici insiemi sia aperti che chiusi.
°
Sottoinsiemi di R
Def.
Dato A R si definisce chiusura di A e si indica con , l’insieme :
A è chiuso
A A
A
A
A A
Es. se A=(2,5], allora A
2,5Sottoinsiemi di R
Teorema di Bolzano Weierstrass
Ogni A Rn limitato e infinito possiede almeno un punto di accumulazione.
Un insieme chiuso e limitato in Rn ammette massimo e minimo assoluto
Es. A=[1,4], max( A)=4, min(A)= 1
: 2 1
x R x
A max( A)=1, min(A)= -1
FUNZIONI DI UNA VARIABILE
FUNZIONI DI UNA VARIABILE
Def.
Dati A e B R una funzione di A in B è una legge (o relazione, o mappa) che ad ogni elemento x di A associa uno ed un solo elemento y di B.
f: A B oppure y = f(x) xA e y = f(x)B
A = dominio o insieme di definizione di f.
B = codominio di f
FUNZIONI DI UNA VARIABILE
A
B
Il grafico di f è un insieme di punti del piano (generalmente una curva) che è sottoinsieme del prodotto cartesiano AxB costituito da (x, f(x)) con xA, f(x) B
FUNZIONI DI UNA VARIABILE
Def.
L’immagine di A tramite f, f(A), è l’insieme degli y tale che xA tale che f(x)B
FUNZIONI DI UNA VARIABILE
Es. Se f: A B, f(x)= x2 A=R, f(A) = [0, +)
FUNZIONI DI UNA VARIABILE
A
B
Def.
Si dice che f: A B è suriettiva se f(A) = B (cioè fissato y ϵ B xA : y = f(x))
FUNZIONI DI UNA VARIABILE
A
B
Def.
Si dice che f: A B è iniettiva se x1 x2f(x1) f(x2)
FUNZIONI DI UNA VARIABILE
A
B
Def.
Se f è sia suriettiva che iniettiva allora si dice biiettiva (cioè si ha una corrispondenza biunivoca tra A e B)
FUNZIONI DI UNA VARIABILE
Def.
f è pari se xA : f(x) = f(-x) quindi il grafico di f è simmetrico rispetto all’asse Y (es. y = x2)
FUNZIONI DI UNA VARIABILE
Def.
f è dispari se xA : f(x) = -f(-x) quindi il grafico di f è simmetrico rispetto all’origine (es. y = x3)
-x x
FUNZIONI DI UNA VARIABILE
Def.
Una funzione f: A B è periodica di periodo T > 0, se xA, x+TA e f(x+T) = f(x)
Es. Funzioni trigonometriche
Def. Data la funzione f: A B, FUNZIONI DI UNA VARIABILE
f si dice limitata superiormente se
MR: f(x) M ∀𝑥 ∈ 𝐴
(il grafico di f sta sotto la retta orizzontale y=M) Analogamente, f si dirà limitata inferiormente se
mR: f(x) ≥ m ∀𝑥 ∈ 𝐴
(il grafico di f sta sopra la retta orizzontale y=m.
La funzione f si dirà limitata se è limitata sia inferiormente che superiormente.
FUNZIONI DI UNA VARIABILE
Def.
Date f: A B e g : B C
Si definisce funzione composta di f e g : y = g(f(x))
la funzione h: A C h = g ᵒ f
Esempio f = x2, g(x) = 3x+2, (AB C R)
FUNZIONI DI UNA VARIABILE
Esempio f = x2, g(x) = 3x+2
g ᵒ f = 3x2+2
A {0,1,2,3}
B {0,1,4,9}
C
{2,5,14,29}
f g
FUNZIONI DI UNA VARIABILE
Esempio f = x2, g(x) = 3x+2
f ᵒ g = (3x+2)2
A {0,1,2,3}
B
{2,5,8,11}
C
{4,25,64,121}
g f
L’operazione di composizione non è commutativa (g ᵒ f ≠ f ᵒg )
La composizione di due funzioni biiettive è biiettiva
FUNZIONI DI UNA VARIABILE
FUNZIONI DI UNA VARIABILE
Def.
Date f: A B biiettiva, si definisce funzione inversa di f:
f -1 : B A tale che f -1 ᵒ f = IA f ᵒ f -1 = IB
f
I grafici di f e f -1 sono simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante
FUNZIONI DI UNA VARIABILE
Es f: [0, +) [0, +), y=x2, f (nel dominio indicato) è biiettiva la sua funzione inversa è
FUNZIONI DI UNA VARIABILE
x y
Nota. La funzione y = x 2 (f: R R) non è biiettiva ma è stata "resa" biiettiva, quindi invertibile, restringendo il suo dominio (per l’iniettività) e codominio (per la suriettività).
Nell’esempio il dominio è stato «rimpicciolito»
in modo tale da avere una funzione strettamente crescente e quindi iniettiva. Il codominio è stato
«rimpicciolito» all’intervallo massimale [0, +) e la funzione è diventata anche suriettiva
FUNZIONI DI UNA VARIABILE
FUNZIONI DI UNA VARIABILE
Def.
Sia f: A B, f si dice monotona in A se verifica una delle seguenti condizioni ( x1, x2A)
1) f strett. crescente se x1< x2, f(x1) < f(x2) 2) f crescente se x1< x2, f(x1) f(x2) 3) f strett. decrescente se x1< x2, f(x1) > f(x2)
Se si verificano la 1 e 3 allora la funzione f(x) è strettamente monotona.
FUNZIONI DI UNA VARIABILE
Teorema. Una funzione f: A R strettamente monotona in A, è invertibile in A. Inoltre la sua inversa è ancora strettamente monotona.
FUNZIONI E RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA
Esempio
