Effetto fionda gravitazionale

Effetto fionda gravitazionale

Figure 1:

L’effetto fionda gravitazionale `e stato usato per accelerare le sonde dirette ai confini del sistema solare sfruttando l’attrazione di gravit`a dei pianeti cui passano vicino e risparmiando cos`ı carburante.

Si vuole accelerare una sonda attraverso un passaggio ravvicinato su Giove. Si consideri il sistema Giove-sonda come un sistema isolato. Si consideri inoltre trascurabile la massa della sonda rispetto a quella di Giove.

Si cominci con lo studiare il problema nel sistema di riferimento solidale con Giove, prendendo l’asse x coincidente con l’asse di simmetria della triettoria iperbolica della sonda. Sia ~v₀ la velocit`a iniziale (t = −∞) della sonda e b il suo parametro di impatto (Fig. 1a).

Si ricorda che, con questa scelta dell’asse x, l’angolo minimo θm della traiettoria iperbolica, corrispondente a t = +∞ (con la scelta fatta per la direzione di percorrenza in Fig.1a, l’angolo polare varia da θ(t = −∞) = π − θm a θ(t = +∞) = θm), `e legato a b e v0 da:

tan θm= bv₀²

GM (1)

1. Si scriva l’espressione delle grandezze fisiche conservate in funzione di v0 e b.

1

2. Si trovi la distanza minima della sonda da Giove.

3. Supponendo v0 fissata, qual il minimo valore di b per cui la sonda non precipita su Giove?

Si consideri ora il sistema di coordinate solidale con il sole (Fig. 1b) con asse x diretto lungo la direzione del moto di Giove, che si pu`o considerare rettilineo uniforme per il tempo della interazione (~V<sub>G</sub> = V<sub>G</sub>eˆx = cost) e sia θ l’angolo fra la direzione della velocit`a iniziale della sonda e l’asse x (θ > π/2).

Si scelgano, inoltre, i parametri iniziali della traiettoria in modo che gli assi x dei due sistemi di riferimento (solidale con Giove e solidale con il Sole) coincidano.

In questa ipotesi:

4. si scrivano le componenti della velocit`a finale della sonda in funzione delle componenti della velocit`a iniziale v0x e v0y e di VG;

5. per quale valore di θ si ottiene la massima velocit`a finale della sonda?

Quanto vale questa velocit`a nel caso particolare in cui v₁= V_G?

Soluzione 1

Si tratta di un moto in campo di forza centrale, per cui il moto avviene in un piano e si conservano l’energia meccanica ed il momento angolare rispetto all’origine, coincidente con il centro di forza. Il loro valore `e:

E = ¹₂mv₀²

L = mbv0 (2)

dove L = |~L|, con il momento angolare diretto perpendicolarmente al piano del moto con direzione definita dalla regola della mano destra (nell’esempio disegnato in Fig.1a ~L = −Lˆez).

Soluzione 2

Nel punto di massimo avvicinamento la traiettoria `e perpendicolare al vettore posizione, per cui:

L = mDv = mbv₀

da cui si ricava la velocit`a in funzione della distanza D:

v = b Dv₀ 2

Sostituendo nella conservazione dell’energia:

1

2mv₀²= m b²

2D²mv₀²− GmM

D (3)

da cui si ottiene l’equazione di secondo grado:

D²+2GM

v₀² D − b² = 0 (4)

la cui unica soluzione accettabile `e:

D = GM v₀²



−1 + s

1 + bv²₀ GM

2

 (5)

Soluzione 3

La condizione limite `e data da D = RG, cio`e distanza minima uguale al raggio di Giove.

Sostituendo nella (4) si ha:

b²= R²_G+2GM v²₀ RG

da cui:

b = R_G s

1 +2GM

R_Gv²₀ (6)

Soluzione 4

Sia ~u la velocit`a misurata nel sistema in cui Giove `e fermo e ~v quella nel sistema solidale con il Sole, ed indichiamo con “0” le quantit`a iniziali (t = −∞) e “1” le quantit`a finali (t = +∞).

Per la simmetria della traiettoria, nel sistema mobile risulta:

 u_1x= −u_0x

u1y = u0y (7)

Per trovare la relazione fra ~v₁ e ~v₀ facciamo una doppia trasformazione di coordinate:

v1x= u1x+ VG= −u0x+ VG= −(v0x− V_G) + VG= −v0x+ 2VG (8)

3

Nessun effetto si osserva sull’asse y, per cui:

v_1y= v_0y (9)

Soluzione 5

Troviamo il modulo della velocit`a finale combinando eq.8 e eq.9:

v₁= q

v²₀+ 4V_G²− 4v₀V_Gcos θ (10) che ha il massimo per θ = π (collisioni head-on). Purch´e il parametro di impatto non sia nullo!

Se v0 = V_G, per θ = π risulta:

v1 = 3VG (11)

Si riesce, cio`e, a triplicare il modulo della velocit`a iniziale.

4