1) Una particella di massa m si muove in una dimensione soggetta ad un potenziale armonico di pulsazione caratteristica ω

Corso di laurea in Fisica

Esame di Istituzioni di Fisica Teorica L’Aquila 4 Febbraio 2020

studente/ssa:

matricola:

1) Una particella di massa m si muove in una dimensione soggetta ad un potenziale armonico di pulsazione caratteristica ω

Al tempo t = 0 la particella si trova nello stato descritto dalla funzione d’onda

Ψ(x) = e

"

√ 1

2πσ

e

#1/2

con k

> 0

- Determinare in una misura di posizione effettuata al tempo t = 0 quale ` e la probabilit` a di trovare la particella nella semiretta x > x

- Determinare l’evoluzione temporale delle quantit` a medie < x(t) > e < p(t) >.

La funzione d’onda risulta corretamente normalizzata. Inoltre della sua forma si possono trarre le seguenti informazioni:

a) l’impulso medio iniziale b) la posizione media iniziale

applicando poi il teorema di Eherenfest...

2) Due particelle identiche di massa m sono soggette ad un potenziale armonico unidimensionale di pulsazione propria ω:

H

= H

+ H

H

= p

2m + 1

2 mω

x

Esse inoltre interagiscono secondo il potenziale di interazione

V

(x

, x

) = −kx

x

dove k = mω

.

- Determinare lo stato fondamentale del sistema (H

+ V

) nel caso che a) gli oscillatori siano bosoni di spin nullo

b) gli oscillatori siano fermioni di spin 1/2

Il sistema ` e unidimensionale formato da due particelle interagenti. Siamo in presenza di sole forze interne quindi ` e utile passare alle coordinate del centro dimassa e relative...

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3) Considerare un gas perfetto quantistico di particelle ultrarelativistiche ( = ¯ hc|~k|) racchiuse in un volume V e tali che il loro potenziale chimico sia nullo. Considerando separatamente il caso bosonico e fermionico

- Fornire la dipendenza dell’energia interna dalla temperatura.

- Fornire la dipendenza della pressione dalla temperatura e dal volume.

Potrebbe essere utile (ma non strettamente necessario) il risultato dei seguenti due integrali:

Z ∞

0 dx x³

e^x− 1= π⁴ 15

Z ^∞

0 dx x³

e^x+ 1= 7π⁴ 120

Il fatto che il potenziale chimico sia nullo permette di rendere adimensionali gli integrali che coinvogono la determinazione della energia interna. Questo fornisce automaticamente la dpendenza in temperatura della suddetta quantit` a. L’energia intera del sistema ` e inoltre proporzionale al volume essendo una quantit` a estensiva. La relazione fra la pressione e l’energia interna permette di risolvere l’ultimo quesito..

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