1 RR 1. D : C ’ B

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Avvertenza: Le domande e a volte le risposte, sono tratte dal corpo del messaggio delle mails in cui non si ha a dispo-

sizione un editor matematico e quindi presentano una simbologia non corretta, ma comprensibile per questo scopo.

[…] avrei da chiederle una spiegazione a proposito di Bezout che peraltro ho sbagliato all'esame. Ho capito il concetto xò non riesco a fare i calcoli, nei lucidi non riesco a capire i calcoli da fare x trovare i coeff […]

Riprendo l’esercizio 2 dell’esercitazione 2, pag 7 (

) , riscrivendo per esteso tutti i passaggi del calcolo algebrico, anche quelli elementari !

[…] Scriviamo dunque 2 come combinazione lineare di 88 e 34, ossia cerchiamo due interi x e y tali che 88x +34y=2.

Alla tabella precedente affianchiamo a destra l’espressione dei resti:

1. 88 = 34 ⋅ 2 + 20 1r. 20 = 88 – 34 ⋅ 2

2. 34 = 20 ⋅ 1 + 14 2r. 14 = 34 – 20 ⋅ 1

3. 20 = 14 ⋅ 1 + 6 3r. 6 = 20 – 14 ⋅ 1 4. 14 = 6 ⋅ 2 + 2 4r. 2 = 14 – 6⋅2 5. 6 = 2 ⋅ 3

Partiamo dalla riga 4r. (quella in cui compare l’ultimo resto non nullo ), e sostituiamo a ritroso l’espressione dei resti:

2 =14 – 6⋅2

Risaliamo alla riga precedente, la 3r., che dice : 6 = 20 – 14 ⋅1 , allora sostituiamo il 6 con (20– 14 ⋅1).

=14 – (20 – 14⋅1) ⋅2

Non effettuiamo il calcolo, ma ci limitiamo a togliere la parentesi, all’interno della quale c’è una somma algebrica che va moltiplicata per 2, quindi per la propr. distr. moltiplichiamo ogni addendo per 2.

= 14 – 20 ⋅2 + 14 ⋅2

Effettuiamo ora il raccoglimento a fattor comune. Come? L’obiettivo è evidenziare i resti, per poterli sostituire al passaggio successivo, quindi raccogliamo 14, resto che compare alla riga 2r.

= 14 (1+2) – 20 ⋅2 = 14⋅3 – 20⋅2

Ora ripetiamo il processo risalendo alla riga precedente, la 2r., che dice: 14 = 34 – 20 ⋅ 1, allora sostituiamo il 14 con (34 – 20 ⋅ 1).

= (34 – 20 ⋅ 1) ⋅3 – 20⋅2

1. D OMANDA : C OME TROVARE I COEFFICIENTI DELL ’ IDENTITÀ DI B EZOUT

R R

2

Non effettuiamo il calcolo, ma ci limitiamo a togliere la parentesi, all’interno della quale c’è una somma algebrica che va moltiplicata per il 3, quindi per la propr. distr. moltiplichiamo ogni addendo per il 3.

= 34 ⋅3 – 20⋅3 – 20⋅2

Raccogliamo ora 20, resto che compare alla riga 1r.

= 34 ⋅3 – 20 (3 +2) = 34 ⋅3 – 20 ⋅5

Ora ripetiamo il processo risalendo alla riga precedente, la 1r., che dice: 20 = 88 – 34 ⋅ 2, allora sostituiamo il 20 con (88 – 34 ⋅ 2).

= 34 ⋅3 – (88 – 34 ⋅ 2)⋅5

Non effettuiamo il calcolo, ma ci limitiamo a togliere la parentesi, all’interno della quale c’è una somma algebrica che va moltiplicata per il 5, quindi per la propr. distr. moltiplichiamo ogni addendo per il 5.

= 34 ⋅3 - 88⋅5 + 34 ⋅ 2 ⋅5 = 34 ⋅3 - 88⋅5 + 34 ⋅ 10

Ora i numeri di partenza sono 88 e 34, quindi per concludere raccogliamo 34.

= 34 (3+10) - 88⋅5 = 34 ⋅13 - 88⋅5

Il processo è terminato e si è ottenuto 2= 34 ⋅13 - 88⋅5 che, secondo il nostro obiettivo iniziale di trovare x ed y interi tali che 88x +34y=2, riscriviamo così : 88(-5)+34(13) =2.

C

-

M.C.D.(88,34)=2

- Identità di Bezout: 2 = 88(-5) + 34(13),

dove -5 ( = x) e 13 (= y) sono i coefficienti della combinazione lineare di 88 e 34 che restituisce il 2 ( M.C.D. (88,34)).

Ho ripetuto di proposito le giustificazioni ( anche nei commenti …! ) del processo calcolativo da una riga alla

riga precedente nei minimi dettagli, giustificando ogni passaggio, anche il più scontato, per mettere bene in

evidenza le sostituzioni (′spontanee′) da farsi per l’algoritmo che, come si vede, consiste di operazioni

elementari del calcolo algebrico.

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[…] a pagina … delle sue dispense dice che l'equazione ax+by=0 ha sempre soluzione (-b, a) però a pagina … dice che le soluzioni dell'equazione 7x+4y=0 sono (4t, -7t) mentre io mi sarei aspettato (-4, 7)

coma mai questa divergenza!?

[…] Rileggendo la sua esercitazione … leggo che la soluzione generale in Z di ax+by=0 si ottiene effettuando lo "scambio a croce" x=-bt , y=at.

Ebbene, ho notato che negli appunti del corso di matematica discreta del professor Gianfranco Niesi dell'anno 2005-2006 propone la soluzione generale in Z di ax+by=0 effettuando lo "scambio a croce" x=bt , y=-at.

Volevo sapere se c'è qualche differenza di cui non mi accorgo nell'applicazione delle 2 soluzioni oppure portano allo stesso risultato comunque, poichè mi ritrovo praticamente sempre a sbagliare i segni delle soluzioni di queste equazioni […]

La stessa domanda formulata da un altro studente in modo diverso:

[…] E' indifferente dire che

1.le soluzioni intere dell'equazione ax+by sono x=-bt, y=at, al variare di t in Z oppure

2.le soluzioni intere dell'equazione ax+by sono x=bt, y=-at, al variare di t in Z ! […]

Nessuna divergenza!

(-4, 7) è UNA soluzione di 7x+4y =0

(4t,-7t) ( o la stessa cosa (-4t, 7t) ), al variare di t in Z sono TUTTE le soluzioni intere di 7x+4y =0.

R R

2. D OMANDA : SOLUZIONI DELL ’ EQUAZIONE OMOGENEA ASSOCIATA …

3. D OMANDA : Q UEI SEGNI NELLA SOLUZIONE DELL ’ EQUAZIONE OMOGENEA ASSOCIATA …

R R

La forma con cui si esprimono tutte le soluzioni è diversa ma le soluzioni sono le stesse.

Infatti se lei ad es. in 1. dà a t il valore 1 trova la soluzione x=-b, y=a.

Questa soluzione la ritrova in 2. dando a t il valore -1 ! E così via . Quindi anche quando trova UNA soluzione particolare ha 2 possibilità di scelta del segno, entrambe valide, lei ne sceglie una a caso ! Non sta sbagliando segno, sta solo facendo una delle due possibili scelte.

OK ?