RR 1. D :

(1)

Avvertenza: Le domande e a volte le risposte, sono tratte dal corpo del messaggio delle mails in cui non si ha a disposizione un editor matematico e quindi presentano una simbologia non corretta, ma comprensibile per questo scopo.

[…] vorrei chiederle una cosa riguardo ad uno degli esercizi proposti nei lucidi.

Argomento REGOLA DI KRONECKER: Primo esercizio della lezione del 15 marzo, pagina 8 http://www.dima.unige.it/~baratter/geo2010/ 2010.03.15.pdf

Ho capito lo svolgimento e la conclusione ma ho qualche difficoltà nell'individuare tutti i minori orlanti...

Il testo è il seguente : troviamo i minori di ordine 3 orlanti il minore di ordine 2 non nullo evidenziato .

Dobbiamo aggiungere una riga e una colonna, al di fuori del minore 2x2 . Abbiamo a disposizione

- la terza e la quarta riga,

- la prima, la quarta e la quinta colonna.

Fissiamo la terza riga e la prima colonna;le restanti righe e colonne fuori del minore non le considero, è come se le cancellassi.

Ottengo il minore 3x3 evidenziato in rosso:

Ora fissiamo la terza riga e la quarta colonna;le restanti righe e colonne fuori del minore non le considero, è come se le cancellassi.

Ottengo il minore 3x3 evidenziato in verde:

Proseguiamo e fissiamo la terza riga e la quinta colonna;le restanti righe e colonne fuori del minore non le considero, è come se le cancellassi.

Ottengo il minore 3x3 evidenziato in verde-blu:

Ora prosegua lei! fissiamo la quarta riga e la prima colonna ...

poi la quarta riga e la quarta colonna...

poi la quarta riga e la quinta colonna ... in tutto sono 6 minori 3x3.

1. D OMANDA : MINORI ORLANTI

R R I IS SP PO OS ST TA A

(2)

[...] La prima delucidazione riguarda l'esercizio 4 dell'appello del 2/7/2009.

http://www.dima.unige.it/~baratter/geo2010/esageo_mag2010.pdf

Guardando le soluzioni, non riesco a capire come arrivare al valore del vettore direzionale di r (k, -k, 1).

La retta data in R

³

è r

_k

:

 











 0 y x

0 2 kz

x .

Un suo vettore direzionale può essere trovato determinando la sua giacitura, la cui rappresentazione cartesiana è data dal sistema omogeneo associato

 









 0 y x

0 kz

x .

Un vettore non nullo soluzione è (k,-k,1), da cui la giacitura D(r

k

) =<(k,-k,1)>, ossia un vettore direzionale di r

_k

è (k,-k,1).

In alternativa un vettore direzionale di r

_k

è dato dal prodotto vettoriale dei vettori normali ai 2 piani che individuano r

_k

: 



 



 

0 1 1

0 1 k

( prendendo i minori a segno alterno)

r

k

u = (k,-k,1).

[...] l'esercizio 4 del 9/02/2010

http://www.dima.unige.it/~baratter/geo2010/esageo_mag2010.pdf non mi è del tutto chiaro il modo per trovare la distanza tra le due rette.

Un modo di procedere è quello indicato all'esercizio n.3 b),c),d) dell'esercitazione N.7 http://www.dima.unige.it/~baratter/geo2010/ 2010.03.15.pdf

Le rette sono r:



 











1 2t z

t y

t x

ed s:

 





 0 0 z

x e sono sghembe ( come affermato in a)).

I vettori direzionali sono : u

r

=(1,-1,2) , u

s

=(0,1,0) . 2. D OMANDA : V ETTORE DIREZIONALE DI UNA RETTA

R R I IS SP PO OS ST TA A

3. D OMANDA : DISTANZA RETTE SGHEMBE

R R IS I SP PO OS ST TA A

(3)

Il vettore direzionale delle rette incidenti r ed s è: (t,-t-v,2t-1), imponiamo che sia ortogonale sia ad r che ad s :   











0 0 2 4 v t

t v t

t .

Risolviamo il sistema e otteniamo

5 2 5

2  

 , v

t , valori che andiamo a sostituire risp. in r e in s , ottenendo i punti

 

 

  

 

 



  

 , 0

5 2 5

, 1 5 , 2 5

2 , Q 0,

P ^.

La distanza tra r ed s è la distanza tra P e Q :

5 1 5

1 5

2 ² ²

 



 

 

 



 





[...] nell'esercizio 1 del 18/06/2007

http://www.dima.unige.it/~baratter/geo2010/esageo_mag2010.pdf

svolgendo i calcoli, ho trovato che il parametro deve assumere valore 1 oppure -1 affinchè la retta sia parallela al piano.

Andando avanti con l'esercizio però, anche nel caso in cui la retta sia perpendicolare al piano ritrovo come valore del parametro -1. Sbaglio i calcoli io, è possibile che succeda o devo concludere che non esistono valori tali che la retta sia perpendicolare (o parallela) al piano?

Il testo dell'esercizio è :

dire se esistono valori di  R\-1 tali che la retta r  :

 













0 z y x

z y x



 e il piano

  : x+y+z=1 soddisfino a) r _ //  _

b) r _   _ c) r _   _ etc.

La sua affermazione che per r  //  _ trova =1, -1 deriva da calcolo corretto, ma la conclusione è r  //   <=> =1

poichè nel testo dell'esercizio viene escluso il valore =-1 !

Così per r     è corretta la sua affermazione secondo cui ritrova come valore del parametro -1.

Sì , ma come sopra , essendo nel testo dell'esercizio escluso il valore =-1 , deve concludere che non esistono valori  R\-1 per i quali sia r _   _ !

4. D ^OMANDA : PARALLELISMO , ORTOGONALITÀ TRA RETTE E PIANI

R R I IS SP PO OS ST TA A

(4)

[…] Dati i vettori u=(1,5,1) v=(-2,0,3) w=(0,-2,-1) di R ³ , sia V il sottospazio di R ³ generato da {u,v,w}.

Richiesta: Sia phi: V->V l'endomorfismo tale che

Calcolare phi(w).

Non so chi siano F e G ! Allora per mostrare come si fa l’esercizio lo decido io  Sia F= G = <u,v>.

I vettori u e v sono L.I. e generano dunque lo spazio V ( contenuto in R

³

) di dimensione 2.

Quale è il significato della matrice associata all’endomorfismo :VV ? Questo :

(u) =( -1)u+(1)v [ i coefficienti -1, 1 nell’ordine sono gli elementi della I colonna ]

(v) = (1)u+(1)v [ i coefficienti 1, 1 nell’ordine sono gli elementi della II colonna ] Quindi (u) =(-3,-5,2) , (v) =(-1,5,4).

Ora w sta in V , quindi si può scrivere in un unico modo come combinazione lineare di u e di v . Con breve calcolo si trova w= u v

5 1 5 2 

 .

Ora basta applicare la definizione di trasformazione lineare :

(w) = ( u v

5 1 5 2 

 ) = ( )

5 ) 1 5 (

2  u   v



e utilizzare ciò che sappiamo: (u) =(-3,-5,2) , (v) =(-1,5,4).

Quindi sostituendo i valori numerici e facendo la somma si ricava: (w)= 



 



   5 , 8 1 5 ,

7 .

N.B. Per rendere più significativo l’esercizio era meglio prendere F e G distinte ( provi con quelle date) e anche la matrice con coefficienti tutti e 4 distinti ( ma … forse si capisce ugualmente ,

o no ?  )

5. D OMANDA : MATRICI ASSOCIATE AGLI OMOMORFISMI DI SPAZI VETTORIALI

R R I IS SP PO OS ST TA A