Problemi di Fisica
I Vettori
Determinare la risultante, sia dal punto di vista grafico che analitico, delle seguenti forze:
F1 = (2; 6) F2 = (-4; 2) F3 = (-6; -3) F4 = (0; -4)
SOLUZIONE
Metodo grafico
Metodo analitico
Tenendo presente il verso delle componenti delle quattro forze, le componenti della forza totale sono date da:
∑ = − − + =−
= F N
FXT X 2 4 6 0 8 FYT =∑FY =6+2−3−4=1N F = (-8; 1) per cui il modulo della forza totale è dato da:
( ) ( )8 1 65 8.1N
F F
FT = XT2 + YT2 = − 2 + 2 = =
mentre l’argomento è:
°
=
°
−
= α
⇒
−
− =
=
=
α 0,125 7,1 172,9
8 1 F
tg F
xT yT
PROBLEMA
Determinare la risultante, sia dal punto di vista grafico che analitico, delle seguenti forze:
F1 = 30 N α1 =30° F2 = 140 N α2 =135°
F3 = 70 N α3 =180° F4 = 80 N α4 =250°
SOLUZIONE
Metodo grafico
Metodo analitico
Le componenti delle singole forze sono:
N sen
sen F F
N cos
cos F F
Y X
15 30 30
26 30 30
1 1
1
1 1
1
=
°
⋅
= α
⋅
=
=
°
⋅
= α
⋅
=
N sen
sen F F
N cos
cos F F
Y X
99 135 140
99 135
140
2 2
2
2 2
2
=
°
⋅
= α
⋅
=
−
=
°
⋅
= α
⋅
=
0
70 180
70
3
3 3
3
=
−
=
°
⋅
= α
⋅
=
Y X
F
N cos
cos F
F
N sen
sen F F
N cos
cos F F
Y X
75 250
80
27 250
80
4 4
4
4 4
4
−
=
°
⋅
= α
⋅
=
−
=
°
⋅
⋅
= α
⋅
=
Le componenti della forza totale sono date da:
∑ = − − − =−
= F N
FXT X 26 99 70 27 170 FYT =∑FY =15+99+0−75=39N
F = (-170; 39)
( ) ( ) N
F F
FT = XT2 + YT2 = −170 2 + 39 2 = 28900+1521= 30421=174
mentre l’argomento è:
23 170 0
39 ,
F tg F
XT
YT =−
=−
=
α α=−13°=167°
PROBLEMA
Un’automobile si sposta di 40 km verso est e di 30 km verso nord. Determinare lo spostamento risultante.
SOLUZIONE
Rappresentiamo graficamente il problema:
dove il vettore risultante è stato trovato applicando la regola della poligonale, detta anche punta – coda.
Il modulo e l’argomento dello spostamento risultante sono dati da:
km
S= 402+302 = 2500=50 α= =075⇒α=369° 40
30 , ,
tg
PROBLEMA
Considera i due vettori spostamento AB e BC della seguente figura. Calcolare il vettore somma AC, sapendo che il modulo di AB e quello di BC sono 100 m.
SOLUZIONE
Graficamente il vettore somma è dato dalla regola della poligonale.
Dal punto di vista analitico si procede nel seguente modo:
Calcoliamo le componenti di S1 e S2:
0
S1x = S1y =100m
m 6 , 86 ) 60 90 cos(
100 cos
S
S2x = 2⋅ α2 = ⋅ °− ° = m 50 ) 60 90 ( sen 100 sen
S
S2y = 2 ⋅ α2 = ⋅ °− ° =
Il vettore somma avrà come componenti:
m 6 , 86 6 , 86 0 S S
STx = 1x + 2x = + = STy =S1y +S2y =100+50=150m ST = (86,6; 150)
Pertanto, l’intensità e l’argomento sono dati da:
m 173 150
6 , 86 S
S
ST = 2Tx + 2Ty = 2 + 2 = α= = =173⇒α=60°
6 86
150 , , S
tg S
TX TY
PROBLEMA
Un ragazzo attraversa a nuoto un fiume con una velocità V = 5 km/h. Se la velocità della corrente è VC = 3 km/h, quale sarà la velocità effettiva del ragazzo e la sua direzione di nuoto?
SOLUZIONE
Rappresentiamo il problema dal punto di vista vettoriale:
Il ragazzo si muoverà con una velocità effettiva V1 che è la risultante tra le velocità V e VC, il cui modulo e argomento è dato da:
°
= α
⇒
=
=
= α
= +
= +
=
59 67
, 3 1 5 V tg V
h / km 83 , 5 3 5 V
V V
C
2 2 2 C 2 1
Il vettore a è rivolto verso Nord ed ha intensità a = 4,0. Il vettore b è rivolto verso Nord – Est, formando un angolo di 30° con il primo, ed ha intensità b = 6,5.
Determinare il loro prodotto scalare e vettoriale.
SOLUZIONE
Prodotto scalare
5 22 30 5
6 0
4, , cos ,
cos b a b a
c=!•!= ⋅ ⋅ α= ⋅ ⋅ °= c = scalare
Prodotto vettoriale
13 30 5
6 0
4 ⋅ ⋅ °=
= α
⋅
⋅
=
⊗
=
sen , , sen b a c
b a c! ! !
c è un vettore di modulo 13, diretto perpendicolarmente al piano contenente i vettori a e b e orientato verso il basso (regola del cavatappi o regola della mano destra).
PROBLEMA
Siano dati il vettore a = (4; -2) ed il vettore b = (3; 1). Calcolare il prodotto scalare e vettoriale.
SOLUZIONE
Rappresentiamo i due vettori su un sistema di assi cartesiani:
Calcoliamo modulo ed argomento di ogni singolo vettore:
5 4 2 42 ( )2 ,
a= + − = − =− ⇒α =− °
=
α 05 266
4 2
1
1 , ,
tg
2 3 1 32 2 ,
b= + = α = =0,3⇒α =18,4° 3
tg 2 1 2
Pertanto l’angolo tra i due vettori sarà:
°
= α + α
=
α 1 2 45
In definitiva:
Prodotto scalare
2 10 45 2
3 5
4, , cos ,
cos b a b a
c=!•!= ⋅ ⋅ α= ⋅ ⋅ °= c = scalare
Prodotto vettoriale
2 10 45 2
3 5
4, , sen ,
sen b a c
b a c
=
°
⋅
⋅
= α
⋅
⋅
=
⊗
=! !
!
c è un vettore di modulo 10,2 e diretto perpendicolarmente al piano contenente i vettori a e b e con verso uscente dal piano, cioè verso l’osservatore (regola del cavatappi o regola della mano destra).
PROBLEMA
Un protone (p=1,6·10-19 C; m=1,67·10-27 kg) entra in un campo magnetico uniforme B=0,30 T, con una velocità V=1,0·104 m/s perpendicolare al campo magnetico. Calcolare la forza magnetica sul protone.
SOLUZIONE
Gli esperimenti dimostrano che una carica elettrica immersa in un campo magnetico subisce una forza magnetica data da:
B V q F! ! !
⊗
⋅
=
Poiché F è una grandezza vettoriale, avrà un’intensità pari a:
Un verso e una direzione dati dalla regola della mano destra:
ponendo il pollice della mano destra nel verso della velocità e le altre dita nel verso del campo magnetico, la forza magnetica avrà direzione perpendicolare al palmo della mano e verso uscente.
PROBLEMA
Dati i vettori a = (4; 6) e b = (-3; 2), calcolare il loro prodotto scalare e vettoriale.
SOLUZIONE
Poiché sono note le coordinate cartesiane dei vettori, calcoliamo il prodotto scalare e vettoriale nel seguente modo:
0 2 6 ) 3 ( 4 b a b a b a
c=!•!= x x + y y = ⋅ − + ⋅ =
punto di applicazione: lo stesso dei vettori a e b
direzione: perpendicolare al piano che contiene i vettori a e b
verso: entrante
intensità: c = axby – aybx = 4 ⋅ 2 – 6 ⋅ (-3) = 26
Esprimendo i vettori a e b attraverso le coordinate polari (modulo ed argomento):
21 , 7 6 4
a= 2 + 2 = α = =1,5⇒α =56,3° 4
tg 1 6 1
b= (−3)2 +22 =3,6 =− ⇒α =− °
= −
α 0,67 33,7
3
tg 2 2 1
il prodotto scalare e vettoriale si calcolano come:
0 90 cos 6 , 3 21 , 7 cos ab b a
c="•!= ⋅ α= ⋅ ⋅ °=
punto di applicazione: lo stesso dei vettori a e b
direzione: perpendicolare al piano che contiene i vettori a e b verso: entrante
intensità: c=ab⋅senα=7,21⋅3,6⋅sen90°=26
dove: α=180°−(56,3+33,7°)=90°
