Eser izio 0.1. Siano v
1
= ( 1; 2;1;1); v
2
= (2;7;1;1); v
3
= (0;1;0;k + 1); w =
(0;k;k;k 2
+k 1), dove k e un parametro reale.
a) Si al oli ladimensione del sottospazioV =hv
1
;v
2
;v
3
i al variare di k.
b) Si stabilis a per quali valori di k w2V.
Soluzione:
Per rispondere a intrambe le domande ridu iamoa gradini la matri e asso iata all'equa-
zione
xv
1 +yv
2 +zv
3
=w
2
6
6
4
1 2 0 j 0
2 7 1 j k
1 1 0 j k
1 1 k+1 j k 2
+k 1 3
7
7
5 )
II 2I
III+I
IV III 2
6
6
4
1 2 0 j 0
0 3 1 j k
0 3 0 j k
0 0 k+1 j k 2
1 3
7
7
5 )
III II 2
6
6
4
1 2 0 j 0
0 3 1 j k
0 0 1 j 0
0 0 k+1 j k 2
1 3
7
7
5 )
IV +(k+1)III 2
6
6
4
1 2 0 j 0
0 3 1 j k
0 0 1 j 0
0 0 0 j k
2
1 3
7
7
5
a) Dalla matri edei oeÆ ientiotteniamo he dim(V)=rg(A)=3 8k 2R.
b) Il vettore w appartiene a V se il sistema ammette soluzioni, ovvero se la matri e
ompleta e in ompleta hanno lo stesso rango. Quindi w 2 V se k 2
1 = 0, ioe
k =1.
Eser izio 0.2. Sia V R 4
os de nito:
V =f(x
1
;x
2
;x
3
;x
4 )jx
1 +2x
2
+(k+1)x
4
=0; x
1 +x
2
2kx
3
=0; 3x
1 +7x
2 2x
3
=0g
a) Determinare per quale valore di k il vettore v =( 4;2;1;1)appartienea V.
b) Per ilvaloredi k trovatoalpuntopre edentedeterminareunabase diV eestendere
tale base a una base di R 4
.
Soluzione:
a) Per ome e de nitoV, il vettore v =( 4;2;1;1)appartiene a V se:
8
>
<
>
:
4+22+(k+1)1=0
4+2 2k1=0
3( 4)+72 21=0
) 8
>
<
>
:
k+1=0
2 2k=0
0=0
) 8
>
<
>
:
k = 1
k = 1
0=0
b) Perk =1lo spazio V elo spaziodelle soluzioni delseguente sistemaomogeneo:
8
>
<
>
: x
1 +2x
2
=0
x
1 +x
2 +2x
3
=0
3x
1 +7x
2 2x
3
=0 )
2
4
1 2 0 0 j 0
1 1 2 0 j 0
3 7 2 0 j 0 3
5
) II I
III 3I 2
4
1 2 0 0 j 0
0 1 2 0 j 0
0 1 2 0 j 0
3
5
)
III+II 2
4
1 2 0 0 j 0
0 1 2 0 j 0
0 0 0 0 j 0 3
5
) (
x
1 +2x
2
=0
x
2 +2x
3
=0 )
8
>
>
>
<
>
>
>
: x
1
= 4t
x
2
=2t
x
3
=t
x
4
=s
8s;t2R
Quindi
B(V)=f ( 4;2;1;0); (0;0;0;1)g
Per estendere labase trovata auna base diR 4
basta osservare he lamatri e
2
6
6
4
1 0 4 0
0 1 2 0
0 0 1 0
0 0 0 1
3
7
7
5
harango 4. Quindi
B(R 4
)=f ( 4;2;1;0); (0;0;0;1); (1;0;0;0); (0;1;0;0)g
Eser izio 0.3. Siano assegnate la matri i
A=
1 0
0 1
; B =
2 1
0 0
; C =
0 1
k 2
; D =
1 0
1 1
:
a) Dis utere la dipendenza/indipendenzalineare di A;B;C al variare di k.
b) Esprime, quando possibile, D ome ombinazione lineare di A;B;C.
Soluzione:
Per rispondere alla prima domanda dobbiamo risolvere l'equazione xA+yB +zC = 0,
ovvero
x+2y y+z
kz x+2z
=
0 0
0 0
) 8
>
>
>
<
>
>
>
:
x+2y =0
y+z =0
kz =0
x+2z =0
Analogamenteperrispondere allase onda domanda dobbiamo risolvere l'equazione xA+
yB+zC=D, ovvero
x+2y y+z
kz x+2z
=
1 0
1 1
) 8
>
>
>
<
>
>
>
:
x+2y =1
y+z =0
kz =1
Ridu iamoquindi agradini lamatri e asso iata alsistema non omogeneo:
2
6
6
4
1 2 0 j 1
0 1 1 j 0
0 0 k j 1
1 0 2 j 1 3
7
7
5 )
IV I 2
6
6
4
1 2 0 j 1
0 1 1 j 0
0 0 k j 1
0 2 2 j 0 3
7
7
5 )
IV 2II 2
6
6
4
1 2 0 j 1
0 1 1 j 0
0 0 k j 1
0 0 0 j 0 3
7
7
5
a) Se k 6= 0 il sistema omogeneo ammette solo la soluzione x = y = z = 0, quindi
A;B;C sono linearmente indipendenti. Se k = 0 il sistema omogeneo ammette
in nite soluzionie A;B;C sono linearmentedipendenti.
b) Il sistema
8
>
<
>
:
x+2y =1
y+z =0
kz =1
ammette soluzione solosek 6=0. In questo aso otteniamo:
1 2
k
A+ 1
k B+
1
k
C =D
Eser izio 0.4. Si onsideri la funzione S :R 3
!R 3
de nita da
S(x
1
;x
3
;x
3
)=(kx
1 +2x
2
;x
2 +x
3
;x
1 2x
2 +x
3 k
2
+1)
a) Trovare i valori di k per ui S e lineare.
b) Per i valori trovati in a)sidetermini una base del nu leoN(S)e una base dell'im-
magine Im(S).
Soluzione:
a) Per he S sialineare deve essere per esempioS(0)=0. Nel nostro aso quindi
S(0;0;0)=(0;0; k 2
+1)=(0;0;0) )k 2
+1=0 ) k =1
b) Nel aso k =1, l'appli azioneS haasso iata la matri e
A= 2
4
1 2 0
1 0 1
1 2 1
3
5
) II I
III II 2
4
1 2 0
0 2 1
0 2 0
3
5
)
III II 2
4
1 2 0
0 2 1
0 0 1
3
5
Quindi
N(S)=f(0;0;0)g
B(Im(S))=f (1;1;1); (2;0; 2); (0;1;1)g
Analogamentese k = 1, l'appli azioneS haasso iata lamatri e
A= 2
4
1 2 0
1 0 1
3
5
) II +I 2
4
1 2 0
0 2 1
3
5
)
2
4
1 2 0
0 2 1 3
5
Quindi
N(S)=f(0;0;0)g
B(Im(S))=f ( 1;1;1); (2;0; 2); (0;1;1)g
Eser izio 0.5. Sia T :R 3
!R 3
una funzione lineare e B=fv
1
;v
2
;v
3
g, dove
v
1
=(1;1;0); v
2
=(1;0;0); v
3
=(0;1;1):
Sapendo he v
1
genera il nu leo di T e he v
2 e v
3
sono autovettori di T relativi agli
autovalori2 e 1 rispettivamente:
a) Mostrare he B una base di R 3
.
b) Cal olare lamatri e asso iata a T rispetto alla base B.
) Cal olare lamatri e asso iata a T rispetto alla base anoni a.
Soluzione:
a) La matri easso iata ai tre vettorie
2
4
1 1 0
1 0 1
0 0 1 3
5
)
II I 2
4
1 1 0
0 1 1
0 0 1
3
5
La matri e ha rango tre, quindi i tre vettori sono linearmente indipendenti e
formano una base di R 3
.
b) Il fatto he il vettorev
1
generiil nu leo diT signi a he v
1
e autovettore relativo
all'autovalore0. Conos iamo quinditre autovalorietrerispettiviautovettori diT,
quindi rispetto alla base B=fv
1
;v
2
;v
3
g l'appli azioneT hamatri e
M
B (T)=
2
4
0 0 0
0 2 0
0 0 1
3
5
) Ri aviamol'azione diT sugli elementi della base anoni a:
T(1;0;0)=T(v
2 )=2v
2
=(2;0;0)
T(0;1;0)=T(v
1
) T(v
2
)=0 2v
2
=( 2;0;0)
T(0;0;1)=T(v
3
) T(0;1;0)= v
3 +2v
2
=(2; 1; 1)
Quindi
M
C (T)=
2
4
2 2 2
0 0 1
0 0 1
3
5
Eser izio 0.6. Si onsideri la oni a C di equazione
x 2
+8xy+y 2
8x+1=0
a) Determinare le oordinate del entro di simmetria di C.
b) Trovare la rototraslazione he trasforma l'equazione di C in forma anoni a.
Soluzione:
Consiamo lematri i asso iate aC:
A 0
= 2
4
1 4 4
4 1 0
4 0 1 3
5
Notiamo he det(A 0
)6=0 edet(A) <0 quindi si trattadi una iperbolenon degenere.
a) Pertrovare il entroC della oni a risolviamoil sistema
1 4 j 4
4 1 j 0
)
II 4I
1 4 j 4
0 15 j 16
) (
x= 4
15
y= 16
15
) C
4
15
; 16
15
b) Pertrovare larotazione ne essaria al oliamogli autovettori diA.
p
A
()=(1 ) 2
16 )
1
=5;
2
= 3
Cal oliamol'autospazio E(5):
4 4 j 0
4 4 j 0
) x+y=0 ) (
x=t
y=t
) E(5)=h(1;1)i=h
1
p
2
; 1
p
2
i
Analogamente al oliamol'autospazio E( 3):
4 4 j 0
4 4 j 0
) x+y=0 ) (
x= t
y=t
) E( 3)=h( 1;1)i=h
1
p
2
; 1
p
2
i
Quindi lamatri e dirotazione er atae
R = 1
p
2
1 1
1 1
) R T
AR =
5 0
0 3
Tale rotazione orrisponde al ambio di oordinate
x
y
=R T
x 0
y 0
) (
x= 1
p
2 (x
0
y 0
)
y = 1
p
2 (x
0
+y 0
)
x 0
y 0
=R
x
y
) (
x 0
= 1
p
2
(x+y)
y 0
= 1
p
2
( x+y)
Nelle nuove oordinatela oni a ha entroC 0
:
C 0
= (
x 0
= 1
p
2 12
15
= 4
5 p
2
y 0
= 1
p
2 20
15
= 4
3 p
2
In ne la rototraslazione he trasforma l'equazione di C informa anoni a orri-
sponde al ambiodi oordinate:
(
x 00
=x 0 4
5 p
2
= 1
p
2
(x+y) 4
5 p
2
y 00
=y 0
4
3 p
2
= 1
p
2
( x+y) 4
3 p
2
Lo stesso risultato lo potevamo ottenere e ettuando prima la rotazione e poi
) Le oordinateomogenee dei punti all'in nitodiC sono:
P
1
=( 1;1;0) Q
1
=(1;1;0)
