RIEPILOGO DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

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Dott. Ing. Simone Caffè

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Redattore: Dott. Ing. Simone Caffè

RIEPILOGO DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

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Data Rev. 16/09/05 1 di 17

RIEPILOGO DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

1. MODELLAZIONE DELLA STRUTTURA

La fase più importante nello studio delle strutture è quella di riuscire a “modellare” il comportamento reale e la geometria reale del sistema strutturale da analizzare con un opportuno

“schema statico” che sarà oggetto di tutte le considerazioni statico deformative, che porteranno alla verifica o meno dello stesso.

1.1. Modellazione geometrica

La modellazione geometrica è quel processo che serve a trasformare l’oggetto reale da studiare in un sistema di “elementi” da introdurre nel calcolo:

1.1.1. Modellazione monodimensionale

Moltissime strutture reali, come per esempio gli edifici in calcestruzzo armato, o le coperture reticolari dei capannoni industriali, o gli edifici prefabbricati possono essere modellati semplicemente come un insieme di “aste” o di “travi” o di “colonne” semplici o accoppiate che formano il sistema strutturale da analizzare.

Nel caso di elementi “monodimensionali” ovvero elementi nei quali una dimensione prevarica sulle altre due (es. travi, colonne) la modellazione avviene assumendo nel calcolo “l’asse baricentrico” dell’elemento reale:

1.1.2. Modellazione bidimensionale

Gli elementi strutturali come i solai, le piastre o le lastre, posseggono due dimensioni prevaricanti sulla terza, per tale ragione la modellazione avviene attraverso il loro piano medio.

1.1.3. Modellazione tridimensionale

Infine gli elementi come i plinti di fondazione i muri di sostegno o le mensole tozze non hanno nessuna dimensione prevaricante sulle altre, per tale ragione vengono generalmente studiati come elementi tridimensionali rigidi.

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Data Rev. 16/09/05 2 di 17

2. MODELLAZIONE DEI VINCOLI ESTERNI

Le strutture reali sono vincolate a terra in modo da trasferire al terreno, attraverso vari sistemi di fondazione, i carichi per le quali sono state dimensionate.

Nella pratica della scienza delle costruzioni questi sistemi di fondazione vengono modellati attraverso dei vincoli che permettono o meno traslazioni e rotazioni.

3. SVINCOLI INTERNI

Gli svincoli interni alla struttura sono delle connessioni tra gli elementi che permettono o meno la trasmissione di determinate caratteristiche di sollecitazione. Per esempio lo svincolo a

“cerniera” che è in assoluto quello più comune, permette la trasmissione da un elemento a quello connesso della forza normale e del taglio, ma non del momento flettente, ne segue che nella cerniera l’unico spostamento relativo consentito è la rotazione. Viceversa la connessione rigida tra due elementi, consente la trasmissione integrale delle caratteristiche di sollecitazione poiché ivi tutti gli spostamenti relativi tra gli elementi collegati sono impediti.

Si sottolinea che si sta parlando di spostamenti relativi tra gli elementi collegati, e non di spostamenti assoluti, infatti nella connessione rigida un elemento rispetto ad un altro non ha movimenti, ma nel complesso il nodo può subire spostamenti.

Spostamento relativo Spostamento assoluto

Tipo di vincolo Spostamenti impediti Spostamenti trasmessi Reazioni

Carrello semplice u₂ =0 u₁≠0 ; ϕ₃ ≠0 R₂ ≠0

Cerniera u₁=0 ; u₂ =0 ϕ₃ ≠0 R₁≠0 ; R₂ ≠ 0

Doppio pendolo u₂ =0 ; ϕ₃ =0 u₁≠0 R₂ ≠0 ; M₃ ≠0

Incastro u₁=0 ; u₂ =0 ; ϕ₃ =0 ^- R₁≠0 ; R₂ ≠0 ; M₃ ≠0

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Data Rev. 16/09/05 3 di 17

4. GRADO DI STATICITA’

Le strutture devono essere in grado di non subire cinematismi che portino a collasso per moto rigido l’intero sistema o parte di esso.

Per tale motivo si deve sempre essere in grado di valutare il “grado di staticità” della struttura analizzata, ovvero se la quantità di vincoli e la loro direzione efficace sono in grado di impedire ogni atto di moto rigido della struttura. L’atto di moto rigido è un concetto completamente diverso dalla deformazione, infatti il primo implica un tipo di spostamento che non conserva l’equilibrio generale dalla struttura, mentre il secondo rappresenta uno spostamento dell’asse baricentrico dalla configurazione iniziale a quella deformata a seguito dell’applicazione di un’azione esterna, conservando l’equilibrio generale.

Le strutture possono definirsi:

• Labili o ipostatiche: Se il numero di vincoli o la loro direzione efficace non sono in grado di impedire atti di moto rigido dell’intero sistema o di parte di esso.

• Isostatiche: Se il numero di vincoli ben posizionati è lo stretto necessario per impedire ogni atto di moto rigido nel sistema.

• Iperstatiche: Se il numero di vincoli è sovrabbondante rispetto al minimo necessario per garantire l’impedimento di ogni atto di moto rigido del sistema.

5. CARATTERISTICHE DI SOLLECITAZIONE

Le caratteristiche di sollecitazione sono delle forze o dei momenti che si distribuiscono lungo l’asse baricentrico che modella l’elemento strutturale a seguito dei carichi agenti e delle reazioni vincolari. Se ad esempio si prende una trave sottoposta ad un sistema di forze di azione (carichi) e di reazione (forze trasmesse dai vincoli) in equilibrio sotto tali azioni e si attua una sezione ideale sull’asse baricentrico ci si accorge che l’equilibrio generale non sarebbe più soddisfatto a meno che le due porzioni della sezione non si scambino delle mutue azioni in grado di equilibrare le azioni esterne. Queste azioni che le faccia di destra trasmette alla faccia di sinistra e viceversa vengono appunto definite “caratteristiche di sollecitazione”:

Le sollecitazioni evidenziate sono quelle che si studiano nella analisi piane.

Caratteristica Simbolo Asse di azione

Forza normale N_Sd.x ^{Lungo x}

Forza di taglio V_Sd.y ^{Lungo y}

Forza di taglio V_Sd.z ^{Lungo z}

Momento flettente M_Sd.y Attorno a y

Momento flettente M_Sd.z Attorno a z

Momento torcente T_Sd.x Attorno a x

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Data Rev. 16/09/05 4 di 17

Si noti che gli assi di riferimento delle caratteristiche di sollecitazione sono conformi con quelli dei nuovi manuali sui profilati e degli Eurocodice, e si tratta di “Assi Locali” e non di assi globali.

• Gli assi globali sono quelli relativi ad un sistema di riferimento immobile nello spazio.

• Gli assi locali sono quelli che caratterizzano ogni elemento strutturale e quindi come tali si deformano insieme ad esso. L’asse parallelo all’asse baricentrico è generalmente indicato con x o con 1, differentemente dai vecchi manuali che lo identificavano con z o con 3.

6. ESEMPIO DI CALCOLO DI UN TELAIO

Di seguito si riporta l’esempio di calcolo manuale di un telaio piano:

!

!"

(5)

Data Rev. 16/09/05 5 di 17

6.1. Grado di staticità

aste int

ext v n

v + =3⋅

3 5 2 3

4 2 2

=

= +

=

= +

=

aste int ext

n v v

→ la struttura è isosltatica

6.2. Equilibrio delle forze e dei momenti

=

⋅

−

⋅ +

⋅

=

⋅ + +

=

− +

0 5 5

2 100 5 2 5 5

0 5 5

0 100

B B

A B A

V . .

H H

V V

Equazione ausiliaria attorno alla cerniera:

0 5=

B ⋅ H

=

−

=

5 62

5 37 0

25

. V

. V H H

B A B A

(6)

Data Rev. 16/09/05 6 di 17

6.3. Caratteristiche di sollecitazione

6.3.1. Forza normale

( )

³⁷⁵⁰

3

1 x .

N₋ = −

[ ]

^kN

( )

²⁵⁰⁰ ⁵ ⁵ ⁰

5

3₋ x = + . − ⋅ =

N

[ ]

^kN

( )

⁶²⁵⁰

5

2 x .

N ₋ =−

[ ]

^kN

6.3.2. Forza di taglio

( ) ( )

(

⁼⁼

)

⁼⁼⁺⁺ ⁻ ^⋅ ⁼

=

⋅

− +

=

−

− − 5 25 5 5 0

25 25 0

3 1

3 1 3

1 V x

x x V

q x

V

[ ]

^kN

( )

³⁷⁵⁰

4

3 x .

V₋ =+

[ ]

^kN

( )

³⁷⁵⁰ ¹⁰⁰ ⁶²⁵⁰

5

4 x . .

V₋ = + − =−

[ ]

^kN

( )

⁰

6 5₋ x =

V

[ ]

^kN

( )

⁰

5 2₋ x =

V

[ ]

^kN

(7)

Data Rev. 16/09/05 7 di 17

6.3.3. Momento flettente

( ) ( )

(

⁼⁼

)

⁼⁼

⋅ =

−

⋅

=

−

− − 5 6250

0 0 25 2

3 1

3 2 1

3

1 M x .

x x M

x q x

M

[

^kN^⋅^m

]

( ) ( )

(

⁼⁼ ⁼

)

⁼

⋅ =

−

⋅ +

⋅

=

−

− − 25 15625

50 62 0 5 2

25 5

37

4 3

4 2 3

4

3 M x . .

. x

l M x q

. x

M

[

^kN^⋅^m

]

( ) ( )

(

⁼⁼ ⁼

)

⁼

=

⋅

=

−

− − 25 15625

0 50 0

62

4 5

4 5 4

5 M x . .

x x M

. x

M

[

^kN^⋅^m

]

( )

⁰

5 6₋ x =

M

[

^kN⋅^m

]

( )

⁰

5 2₋ x =

M

[

^kN⋅^m

]

(8)

Data Rev. 16/09/05 8 di 17

In generale si possono scrivere le equazioni indefinite dell’equilibrio, nel seguente modo:

#

$

#% #

$% $

& ' &% &

(

⁺

) ( )

⁻ ^⋅ ⁼⁰

− N dN p x dx

N →

( ) ( )

^{+ x}^p ⁼⁰

dx x dN

(

⁺

) ( )

⁻ ^⋅ ⁼⁰

− V dV qx dx

V → ^dV_dx

( ) ( )

^x ^{+ x}^q ⁼⁰

(

⁺

) (

⁺ ⁺

)

^⋅ ⁻

( )

^⋅ ⁺

( )

^⋅ ₂² ⁼⁰

− M dM V dV dx mx dx qx dx

M → ^dM_dx

( )

^x ⁺^m

( ) ( )

^x ⁼^V ^x

Se sulla struttura non sono presenti momenti applicati lungo l’asse, il taglio è la derivata della funzione del momento flettente.

• Taglio nullo → il momento ha un massimo o un minimo

• Taglio positivo → il momento cresce

• Taglio negativo → il momento decresce

• Taglio lineare → il momento ha andamento quadratico

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Data Rev. 16/09/05 9 di 17

7. Concetto di tensione

( )n n n ASlim S

n

R t

∆ =

∆

→0 0

0 =

∆

→ n

n ASlim S

n

M

La tensione è definita come il limite per la superficie che tende a zero della forza o dei momenti su di essa agenti.

La forza agente sulla superficie si scompone in tre vettori di tensione t_iuno per ciascuna superficie in direzione degli assi cartesiani.

Tale vettore a sua volta ha tre componenti T_ij(una normale alla superficie e due tangenziali) che sono dette componenti di tensione.

Si definisce per tanto Tensore delle tensioni la matrice delle componenti dei tre vettori tensione per ciascuna direzione degli assi.

[ ]

σ τ τ

τ σ τ

τ τ σ

=

zz zy zx

yz yy yx

xz xy xx

Tij esiste una base ortonormale per cui

[ ] [ ]

σ σ σ

=

zz yy xx ij

0 0

0 0 T

Tale tensore è doppio e simmetrico ovvero : T_ij =T_ji

Le componenti sulla diagonali sono dette tensioni normali, perché agiscono in direzione perpendicolare alla superficie.

Le componenti al di fuori della diagonale sono dette tensioni tangenziali, perché agiscono tangenzialmente alla superficie.

I materiali reagiscono bene alle tensioni normali e meno bene a quelle tangenziali.

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Data Rev. 16/09/05 10 di 17

7.1. Legame tra le caratteristiche di sollecitazione e le tensioni

Forza normale: = σ ⋅

A xx x

.

Sd dA

N

Forza di taglio: = τ ⋅

A xz z

.

Sd dA

V

⋅ τ

=

A xy y

.

Sd dA

V

Momenti flettenti: = σ ⋅ ⋅

A xx y

.

Sd z dA

M

⋅

⋅ σ

=

A xx z

.

Sd y dA

M

Momento torcente: ⁼

(

^τ ^⋅ ⁻^τ ^⋅

)

^⋅

A

xz xy

x .

Sd z y dA

T

"

&

#

&

& $

τ σ

τ

(11)

Data Rev. 16/09/05 11 di 17

8. ANALISI DELLE SEZIONI TRASVERSALI

Tutte le seguenti considerazioni valgono se gli assi locali considerati sono baricentrici e principali d’inerzia.

8.1. Forza Normale: Trazione semplice

8.1.1. Trazione semplice in condizione elastica

La trazione genera tensioni normali nella sezione allungandone le fibre in modo costante su tutta la sezione trasversale.

x amm . xx SdA

N ≤σ

=

σ

8.1.2. Trazione semplice in condizione plastica

La resistenza plastica di una sezione soggetta a trazione semplice si valuta a partire dalla resistenza del materiale allo snervamento.

0 M

y Rd

. t Sd

A f N

N ≤ = ⋅γ

$ σ

"

8.2. Forza Normale: Compressione semplice

Se si prescinde dai fenomeni di stabilità, la compressione in un materiale ideale, elastico e isotropo, è del tutto analoga alla trazione fatto salvo che le fibre dell’intera sezione si accorciano uniformemente sotto l’azione della forza esterna.

x amm . xx SdA

N ≤σ

= σ

y Rd

. c Sd

A f N

N ≤ = ⋅γ

(12)

Data Rev. 16/09/05 12 di 17

8.3. Momento flettente: Flessione semplice

La flessione come la forza normale genera una stato di tensione normale nella sezione: per la precisione il momento positivo fa allungare le fibre al di sotto dell’asse neutro, mentre accorcia quelle al di sopra dell’asse neutro e viceversa il momento di segno negativo.

8.3.1. Flessione semplice in condizione elastica

"

&

σ(

amm yy

. el

y . Sd yy

y . Sd max . xx

yy y . Sd xx . t xx . c

W h M I

M I z M

σ

≤

=

⋅

= σ

⋅

= σ

2

andamento lineare

Dove:

Iyy momento d’inerzia rispetto all’asse forte y – y

yy .

Wel modulo di elasticità rispetto all’asse y – y

Per un rettangolo

12 h3

I_yy = b⋅ per tanto il modulo di resistenza vale

6 h2

W_el_._yy = b⋅ ^. Ne consegue che la tensione massima di trazione e di compressione vale:

y amm . max Sd

.

xx b h

M ≤σ

⋅

= ⋅

σ 6 ₂

e il momento resistente vale: M_el_._Rd_._y = b⋅h ⋅σ_amm 6

2

Lo stesso risultato può essere determinato considerando le risultanti di trazione e compressione applicate nei baricentri dei triangoli del diagramma di tensione:

xx xx

c

t h b b h

N

N = = ⋅ ⋅ ⋅σ = ⋅ ⋅ ⋅σ 4

1 2

2 1

amm xx

t y . Rd .

el N z b h h b h

M = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅σ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅σ 6 2 3 2 2 4

1 ²

(13)

Data Rev. 16/09/05 13 di 17

8.3.2. Flessione semplice in condizione plastica

Quando le massime tensioni nelle fibre più esterne della sezione raggiungono il valore di snervamento “yeld point” σ_max_._xx =f_y la possibilità di un ulteriore allungamento è impedito, per cui le massime tensioni migrano allo strato subito inferiore. Il processo procede fino a quando la sezione non è interamante plasticizzata, e si forma la cosiddetta cerniera plastica ovvero una cerniera che è in grado di trasferire un momento massimo pari al momento plastico della sezione:

"

&

σ⁽

0 M

y yy . pl y . Rd . pl y . Sd

W f M

M ≤ = ⋅γ

Dove:

yy .

Wpl modulo di plasticità rispetto all’asse y – y (pari a due volte il momento statico di mezza sezione rispetto all’asse neutro)

* neutro

2 Sasse

W_pl_._yy = ⋅

Per una sezione rettangolare:

4 4

2 b 2h h b h² W_pl_._yy = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

NOTA:

Si definisce asse neutro quel particolare asse rispetto al quale le tensioni elastiche risultano nulle.

Nella flessione semplice l’asse neutro è sempre baricentrico.

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Data Rev. 16/09/05 14 di 17

8.4. Momento flettente: Flessione deviata

Una sezione è sottoposta a flessione deviata se su di essa insistono sia i momenti attorno all’asse y – y che quelli attorno all’asse z – z:

8.4.1. Flessione deviata in condizione elastica

amm zz

. el

z . Sd yy . el

y . Sd zz

z . Sd yy

y . max Sd

.

xx W

M W

b M I

M h I

M ⋅ + ⋅ = + ≤σ

=

σ 2 2

&

"

σ ( &

L’asse neutro passa comunque per il baricentro della sezione.

8.4.2. Flessione deviata in condizione plastica

1

0 0

≤ γ

+ ⋅ γ

⋅

M y zz . pl

zz . Sd

M y yy . pl

yy . Sd

f W

M f

W M

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Data Rev. 16/09/05 15 di 17

8.5. Presso e tenso flessione composta

Una sezione sottoposta a flessione attorno ad uno solo o ad entrambi gli assi contemporaneamente e a forza normale di compressione o di trazione si dice presso inflessa o tenso inflessa:

σ( &

&

σ^{( &}

&

σ( &

σ^{( &}

"

σ^{( $}

σ( $

$

8.5.1. Presso o tenso flessione in condizione elastica

amm zz

. el

z . Sd yy . el

y . x Sd . max Sd

. xx

zz z . Sd yy

y . x Sd . max Sd

. xx

W M W

M A N

b I h M I

M A N

σ

≤

±

= σ

⋅

±

⋅

±

=

σ 2 2

Ricordandosi il fatto che un momento può sempre essere scritto come una forza per un braccio possiamo riscrivere la precedente formula nel utilizzando solo la forza normale agente con un’eccentricità lungo y e una lungo z tali da generare gli stessi momenti M_Sd_._ze M_Sd_._y.

I y e z N

I e N A N

zz y x . Sd yy

z x . Sd x . max Sd

.

xx ⋅ ⋅

±

⋅ ⋅

±

= σ

Moltiplicando e dividendo per A e ricordandosi che il raggio d’inerzia vale i = I A si ottiene:

I y A

A e z N

I A

A e N A N

zz y x . Sd yy

z x . Sd x . max Sd

.

xx ⋅

⋅

± ⋅

⋅ ⋅

⋅

± ⋅

= σ

± ⋅

⋅

=

σ 1 ₂ ₂

zz y yy z x

. max Sd

.

xx i

y e i

z e A

N

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Data Rev. 16/09/05 16 di 17

Si noti che in questo stato di sollecitazione l’asse neutro non passa per il baricentro ed è sempre dalla parte opposta del centro di sollecitazione, per questo è detto “antipolare”.

)*+

*+

)*+

*+

, (-(

)*+

*+

, (-(

8.5.2. Presso o tenso flessione in condizione plastica

1

0 0

0

≤ γ

± ⋅ γ

⋅

M y zz . pl

zz . Sd

M y yy . pl

yy . Sd

M y x .

Sd W f

M f

W M f

A N

8.6. Taglio

Le sollecitazioni di taglio come quelle di torsione inducono nella sezione degli stati tensionali tangenziali, ovvero agenti nel piano della sezione trasversale e non perpendicolarmente ad essa come nel caso delle tensioni normali.

Le tensioni tangenziali dovute al taglio sono governate dall’equazione di Jourawsky :

3

amm y

yy z . Sd y

yy yy z . Sd yx

xy I b

z~

A~ V b

I S~

V ≤ σ

⋅

= ⋅

⋅

= ⋅ τ

= τ

#

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Data Rev. 16/09/05 17 di 17

Dove:

Syy

~ è il momento statico dell’area A~considerata rispetto all’asse y – y

by è la corda considerata

Si noti che nella sezione trasversale considerata VSd.z =cost, Iyy =cost, mentre ~S_yy

e b_y variano. Dimensionalmente ~S_yy è pari ad una lunghezza al cubo mentre b_y è una lunghezza, per tanto il loro rapporto è pari ad una lunghezza al quadrato. Va di conseguenza che l’andamento delle tensioni tangenziali è di tipo parabolico con massimo nel baricentro.

In campo plastico il taglio resistente viene così definito:

3 _M0 y z . V Rd . z

A f

V = ⋅ ⋅γ

Dove A_V_._z è quella porzione della sezione in grado di resistere al taglio. Nel caso di un profilo a H laminato tale area corrisponde all’area dell’anima del profilo.

8.7. Composizione delle tensioni

In campo elastico la composizione delle tensioni avviene per mezzo del criterio di resistenza di Von Mieses secondo il quale:

amm

id = σ + ⋅τ ≤σ

σ ² 3 ²

Tale criterio permette di comporre le tensioni normali con quelle tangenziali in modo da creare una tensione ideale da confrontare con la tensione ammissibile del materiale.

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FINE DOCUMENTO