Prova Scritta di Meccanica Quantistica 1
2 Febbraio 2015
• problema 1
Un elettrone `e confinato in una nanostruttura descrivibile tramite una buca di potenziale infinita di larghezza a = 10−9m. Al tempo t = 0, la sua funzione d’onda `e uniforme: Ψ(x, 0) = N , con 0 ≤ x ≤ a.
(a) Determinare N normalizzando la funzione d’onda;
(b) Detti En i possibili valori dell’energia all’interno della buca, calcolare la probabilit`a che una misura dell’energia fornisca il valore E1e la probabilit`a, invece, che il valore trovato sia E2.
(c) Come cambiano tali probabilit`a col passare del tempo?
• problema 2
Una particella di massa m `e soggetta ad un potenziale armonico unidimensionale caratterizzato dalla frequenza ω. Essa si trova nello stato energetico fondamentale, |0i, descritto dalla funzione d’onda
hx|0i = ϕ0(x) =mω π¯h
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e−mωx2/2¯h. Utilizzando gli operatori di creazione e distruzione, determinare:
(a) la funzione d’onda del primo stato eccitato, ϕ1(x) = hx|1i ; (b) il valor medio dell’energia cinetica sullo stato |0i;
(c) la prima correzione all’energia dello stato fondamentale in presenza della perturbazione V = V0x3.
• problema 3
Una particella in moto in un potenziale di tipo centrale si trova in uno stato descritto dalla funzione d’onda ψ(r, θ) = N e−r/a cos θ ,
dove r `e il modulo del vettore posizione e θ `e l’angolo polare.
(a) Si normalizzi correttamente la funzione d’onda.
(b) Quali sono i valori del momento angolare e della sua terza componente per tale stato?
(c) Si calcoli la probabilit`a di trovare la particella all’interno di una sfera di raggio a effettuando una misura di posizione.
Si ricorda che le prime armoniche sferiche normalizzate sono:
Y00(θ, φ) = r 1
4π, Y11(θ, φ) = − r 3
8πsin θ eiφ, Y10(θ, φ) = r 3
4π cos θ , Y1−1(θ, φ) = r 3
8πsin θ e−iφ.
Soluzioni
soluzione 1 (a) Dalla condizione di normalizzazione, prendendo N ∈ R:
1 = Z a
0
|ψ(x, 0)|2dx = Z a
0
N2dx = N2a ⇒ N = 1
√a.
(b) Le autofunzioni dell’Hamiltoniano, corrispondenti agli autovalori Ensono ϕn(x) ≡ hx|φni =q
2
a sin nπa x, pertanto:
P (E1) = |hϕ1|ψ, 0i|2=
Z a 0
|ϕ1(x) ψ(x, 0) dx
2
=
√2 a
Z a 0
sinπx a
dx
2
= 8
π2 ' 0.81 ,
P (E2) = |hϕ2|ψ, 0i|2=
Z a 0
|ϕ2(x) ψ(x, 0) dx
2
=
√2 a
Z a 0
sin 2πx a
dx
2
= 0
(c) Sviluppando lo stato nella base degli autostati dell’energia, si trova che le ampiezze evolvono solo acquistando un fattore di fase:
|ψ, 0i =X
n
cn |ϕni ⇒ |ψ, ti =X
n
cne−iEnt/¯h |ϕni ,
pertanto le probabilit`a relative ai valori dell’energia non cambiano nel tempo: P (En, t) =
cne−iEnt/¯h
2≡
|cn|2≡ P (En, 0).
soluzione 2 Ricordiamo la definizione degli operatori di creazione e distruzione e la loro espressione nella rappresenta- zione della posizione:
a = 1
√2
x x0
+ ip p0
→ 1
√2
x x0
+ ¯h p0
∂
∂x
, con x0= r ¯h
mω , p0= ¯h x0
=√
¯ hmω ,
a† = 1
√ 2
x x0
− ip p0
→ 1
√ 2
x x0
− ¯h p0
∂
∂x
.
(a)
ϕ1(x) = hx| a†|0i = 1
√2
x x0
− ¯h p0
d dx
ϕ0(x) =
1
x0
√π
12 1
√2
x x0
− ¯h p0
−x x20
e−x2/2x20 =
≡
1
x0
√π
12 √ 2 x
x0
e−x2/2x20 =
√2 x x3/20 π1/4
e−x2/2x20.
(b) Usando p = ip0(a†− a)/√ 2, si ha
h0| p2
2m|0i = −p20
4m h0| (a†− a)2|0i = p20
4m h0| a a†|0i = p20 4m.
(c) Ricordando che x = x0(a + a†)/√
2, e usando la teoria delle perturbazioni al primo ordine, si ha
ε(1)0 = h0| V |0i = h0| V0x3|0i = V0h0|
x0
a + a†
√2
3
|0i = 0 .
soluzione 3 Ricordando gli integrali Z π
0
sin θ dθ cos2θ = 2 3,
Z ∞ 0
r2dr e−2r/a=a3 4 , si ha
(a) Per la condizione di normalizzazione:
1 = Z 2π
0
d ϕ Z π
0
sin θ dθ Z ∞
0
r2dr |ψ(r, θ)|2=π
3a3N2 ⇒ N = r 3
πa3. Pertanto,
ψ(r, θ) = r 3
πa3e−r/2acos θ ≡ 2
√
a3e−r/aY10(θ, ϕ) .
(b) Poich´e ψ ∝ Y10, per tale stato si hanno l = 1 e m = 0. Pertanto l’autovalore di L2`e ¯h2l(l + 1) = 2¯h2, mentre l’autovalore di Lz`e ¯hm = 0.
(c) Avendo espresso la funzione d’onda tramite l’armonica sferica Y10, la parte angolare `e normalizzata.
Inoltre, poich´e la probabilit`a richiesta non dipende dalla direzione, si ha:
P (r < a) = Z 2π
0
dϕ Z π
0
sin θ dθ|Y10|2 Z a
0
r2dr 4
a3e−2r/a≡ 4 a3
Z a 0
r2dr e−2r/a= 1 −5
4e−2 ' 0.83
