Prova intermedia per il corso di Meccanica Quantistica
Corso di laurea in Scienze dei Materiali Innovativi e per le Nanotecnologie 09-11-2016
I. PROBLEMA 1
Considerare una particella in una buca di potenziale infinita unidimensionale, le cui pareti si trovano a x = 0 e x = a (Autofunzioni: φn(x) =
q2
asin(nπx/a) con autovalori En = ~2π2n2/(2ma2) con n = 1, 2, . . . ). Assumiamo che al tempo t = 0 la particella si trovi nello stato Ψ(x, 0) = α x −a2 sin(πx/a). Assumendo che la costante α sia scelta in modo che la funzione d’onda `e normalizzata, determinare:
• Il valore di energia pi´u probabile dopo una misura di energia sullo stato Ψ(x, 0). Si poteva predire questo risultato senza alcun calcolo? (Suggerimento: guardare la forma di Ψ(x, 0));
• Il valor medio dell’energia sullo stato Ψ(x, 0);
• Lo stato evoluto Ψ(x, t);
• Il valor medio dell’energia sullo stato Ψ(x, t).
Per calcolare gli integrali richiesti, si ricorda che le autofunzioni dell’Hamiltoniano sono ortogonali tra loro e inoltre che Z a
0
dx x sinπx a
cosπx a
= − 1 4π,
Z a 0
dx x sinnπx a
sinπx a
= (a2
π2
2n(1+(−1)n)
(n2−1)2 se n 6= 1 ,
a2
4 se n = 1 . .
II. PROBLEMA 2
Considerare una particella che si muove in una direzione con un’energia potenziale a gradino data da V (x) = 0 per x < 0 e V (x) = V0per x > 0. Determinare:
• La forma delle autofunzioni per un’energia 0 < E < V0;
• Il coefficiente di riflessione per una particella che arriva da sinistra;
• Il coefficiente di trasmissione (ottenendolo dal risultato precedente).
Commentare sul risultato ottenuto per il coefficiente di riflessione.
III. PROBLEMA 3
Dato lo stato corente |αi = e−|α|22
∞
P
n=0
αn(n!)−1/2|ni di un oscillatore armonico con frequenza ω, determinare:
• Il valore medio degli operatori posizione ˆx =p
~/2mω(ˆa†+ ˆa) e momento ˆp = ıp
~mω/2(ˆa†− ˆa) su |αi;
• L’evoluzione temporale di |αi;
• Il valor medio di ˆx sullo stato evoluto.
Ricordiamo che le autoenergie dell’oscillatore armonico sono date da En = ~ω(n + 1/2) con n = 0, 1, 2, . . . e che ˆa|ni =
√n|n − 1i e ˆa†|ni =√
n + 1|n + 1i. `E utile ricordare la relazione hα|ˆa†= α∗hα|.
2
Soluzioni
soluzione 1 – coefficienti
Il coefficiente n-esimo dello sviluppo dello stato iniziale `e dato da
cn = Z a
0
φn(x)Ψ(x, 0) dx = α r2
a
Z a 0
x sinπx a
sinnπx a
dx − a
2 Z a
0
sinπx a
sinnπx a
dx
=
=
α
q2 a
a2 π2
2n(1+(−1)n)
(n2−1)2 se n 6= 1
0 se n = 1
Pertanto, tutti i coefficienti dispari sono nulli (compreso c1) mentre quelli pari valgono:
c2= α r2
a 8a2
9π2, c4= α r2
a 16a2
225π2, . . . , cn= α r2
a
4na2
(n2− 1)2π2con n pari .
Il coefficiente maggiore `e pertanto c2, quindi l’energia pi`u probabile `e E2, come si poteva intuire dal fatto che la funzione d’onda somiglia in maniera molto marcata a φ2(x).
– valore medio di H Poich´e vale
HΨ(x, 0) = −ˆ ~2 2m
2π
a cosπx a
−π2
a2 sinπx a
,
si ottiene:
hHi = Z a
0
dx Ψ(x, 0) ˆH Ψ(x, 0) =
= −~2α2 2m
2π
a Z a
0
dx (x −a
2) sinπx a
cosπx a
−π2 a2
Z a 0
dx (x −a
2)2sin2πx a
| {z }
1 α2
=
= −~2α2 2m
2π a
− 1 4π
− π2 a2α2
=~2α2
4ma + ~2π2 2ma2 – stato evoluto
In base alle espressioni di cnricavate in alto, lo stato al tempo t = 0 ed il suo evoluto fino al tempo t si scrivono, dunque
Ψ(x, 0) = X
npari
cnφn(x) ≡ α2a π2
X
npari 4n
(n2− 1)2 sinnπ x
⇓
Ψ(x, t) = α2a π2
X
npari 4n
(n2− 1)2e−iEnt/~ sinnπ x
.
– valor medio dell’energia ad un tempo successivo
Il valor medio dell’energia non cambia nel tempo, pertanto il valor medio al tempo t coincide con quello calcolato a t = 0.
3
soluzione 2 Posti k =q
2mE
~2 e γ =
q2m(V0−E)
~2 , la autofunzione di ˆH con energia E si scrive
ψE(x) =
Aeikx+ Be−ikx x < 0
Ce−γx x > 0 Le condizioni di raccordo in x = 0 equivalgono alle due equazioni
A + B = C , ik(A − B) = −γC . Da queste, si ottiene che il rapporto B/A vale
B
A = k − iγ
k + iγ ⇒ R = |B|2
|A|2 = 1 .
Il coefficiente di riflessione `e 1, mentre quello di trasmissione vale T = 1 − R = 0. Siamo in un caso di riflessione totale accompagnata dalla presenza di un’onda evanescente per x > 0.
soluzione 3 I valori medi di posizione e quantit`a di moto sono dati da
hα|ˆx|αi = r
~
2mωhα|(a + a†)|αi = r
~
2mω(α + α∗) ≡ r 2~
mωRe{α} = r2~
mωαr,
hα|ˆp|αi = i r
~mω
2 hα|(a†− a)|αi = i r
~mω
2 (α∗− α) ≡√
2~mω Im{α} =√
2~mω αi, avendo posto α = αr+ iαicon αre αireali.
Per quanto riguarda l’evoluzione temporale dello stato, si ha che
|Ψ, 0i = e−|α|2/2X
n
αn
√n!|ni ⇒ |Ψ, ti = e−|α|2/2e−iωt/2X
n
αn
√n!e−inωt|ni .
Posto α(t) = αe−iωt, e notando che |α(t)| = |α| e che αne−inωt ≡ α(t)n, si ottiene
|Ψ, ti = e−|α(t)|2/2e−iωt/2 X
n
α(t)n
√
n! |ni ≡ e−iωt/2|α(t)i
In altri termini, l’evoluto di uno stato coerente |αi `e ancora uno stato coerente, |α(t)i, solo che la sua ampiezza ha acquisito un fattore di fase, diventando α(t).
Questo implica che il valor medio della posizione al tempo t si pu`o ottenere da quello al tempo t = 0 sostituendo ovunque α(t):
hα(t)|ˆx|α(t)i = r2~
mωRe{α(t)} ≡ r 2~
mω(αrcos ωt + αisin ωt) . Allo stesso risultato si giunge eseguendo il calcolo in maniera diretta con lo stato |Ψ, ti:
4
hΨ, t|ˆx|Ψ, ti = e−|α|2/2eiωt/2 X
n
(α∗)n
√n! eiωnthn|
r
~
2mω(a + a†)e−|α|2/2e−iωt/2 X
m
αm
√m!e−iωmt|mi =
= r
~
2mωe−|α|2X
m
X
n
(α∗)nαm
√n!m! hn|(a + a†|mi =
= r
~
2mωe−|α|2
X
m
X
n
(α∗)nαm
√
n!m! hn|a|mi
| {z }
√m δn,m−1
e−i(m−n)ωt+X
m
X
n
(α∗)nαm
√
n!m! hn|a†|mi
| {z }
√m+1 δn,m+1
ei(m−n)ωt
=
= r
~
2mωe−|α|2
"
X
n
(α∗)nαn+1 pn!(n + 1)!
√n + 1 e−iωt+X
m
(α∗)m+1αm p(m + 1)!m!
√m + 1 eiωt
#
=
= r
~
2mωe−|α|2
"
X
n
(α∗)nαn
n! α e−iωt+X
m
(α∗)mαm m! α∗eiωt
#
=
= r
~
2mω α e−iωt+ α∗eiωt , che `e lo stesso risultato trovato prima.
Nell’ultimo passaggio si `e usata la relazione e−|α|2 X
n
(α∗)nαn
n! = e−|α|2 X
n
(|α|2)n
n! = e−|α|2e|α|2 = 1 .
