b) Si trovi la soluzione dell’equazione

NOME: . . . MATRICOLA: . . . .

Corso di Laurea in Fisica, A.A. 2014/2015 Calcolo 2, Esame scritto del 01.09.2015

1) a) Si trovi la soluzione generale dell’equazione differenziale

y⁰⁰⁰− 2 y⁰⁰+ 9 y⁰ − 18 y = 10 e^x. (*)

b) Si trovi la soluzione dell’equazione (*) che soddisfa la condizione iniziale







y(0) = 0 , y⁰(0) = 3 , y⁰⁰(0) = 0 .

2) Si calcoli l’area della superficie definita dalle relazioni (x + y)²+ z = 1 , x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0 ,

3) Si calcoli l’integrale triplo Z Z Z

S

px²+ y²+ z²dx dy dz dove S `e il solido limitato dal cono

x²+ y² = z²

ed il piano z = 1 , cio`e il solido descritto dalle disequazioni px²+ y² ≤ z ≤ 1 .

Suggerimento: `E conveniente passare alle coordinate cilindriche.

4) a) Sia f : R −→ R la funzione periodica di periodo 2π , definita tramite la formula

f (x) = x sin x , x ∈ [ −π , π ] .

Si calcolino i coefficienti di Fourier c_k(f ) , k ∈ Z (oppure ak(f ) , k ≥ 0 , e b_k(f ) , k ≥ 1 , a piacimento) di f , e si studi la convergenza puntuale della sua serie di Fourier

+∞

X

k=−∞

c_k(f ) e^ikx



rispettivamente a_o(f )

2 +

∞

X

k=1



a_k(f ) cos(kx) + b_k(f ) sin(kx) .

Soluzioni:

1) : a) Abbiano da risolvere una equazione differenziale lineare a coefficienti costanti. Risolviamo prima l’equazione omogenea :

Il polinomio caratteristico λ³− 2 λ²+ 9 λ − 18 = (λ − 2) (λ²+ 9) ha tre zeri semplici:

λ₁ = 2 , λ₂ = 3 i , λ₃ = − 3 i . Risulta che

e^{2 x},

e^{3 x i}= cos(3 x) + i sin(3 x) , e^{− 3 x i} = cos(3 x) − i sin(3 x) , quindi anche

e^{2 x}, cos(3 x) , sin(3 x)

sono tre soluzioni linearmente indipendenti dell’equazione omogenea y⁰⁰⁰− 2 y⁰⁰+ 9 y⁰− 18 y = 0 ,

di cui la soluzione generale `e

c₁e^{2 x}+ c₂ cos(3 x) + c₃ sin(3 x) , c₁, c₂, c₃ costanti.

Per trovare velocemente una soluzione particolare dell’equazione non omogenea (*) possiamo usare il metodo degli annichilatori. Infatti, il termine noto dell’equazione non omogenea `e 10 e<sup>x</sup>ed il coefficiente 1 di x nell’esponente non `e un zero del polinomio caratteristico dell’equazione omogenea, perci`o l’equazione non omogenea deve avere una soluzione della forma c e^x. Sostituendo y(x) = c e^x nell’equazione non omogenea otteniamo

(c e^x)⁰⁰⁰− 2 (c e^x)⁰⁰+ 9 (c e^x)⁰ − 18 (c e^x) = 10 e^x, c − 2 c + 9 c − 18 c
e^x = 10 e^x,

− 10 c e^x = 10 e^x, c = − 1 .

y(x) = c₁e^{2 x}+ c₂ cos(3 x) + c₃ sin(3 x) − e^x, dove c₁, c₂, c₃ sono costanti arbitrari.

b) Poich´e la soluzione generale dell’equazione differenziale (*) `e y(x) = c₁e^{2 x}+ c₂ cos(3 x) + c₃ sin(3 x) − e^x e le sue prime due derivate sono

y⁰(x) = 2 c₁e^{2 x}− 3 c₂ sin(3 x) + 3 c₃ cos(3 x) − e^x, y⁰⁰(x) = 4 c₁e^{2 x}− 9 c₂ cos(3 x) − 9 c₃ sin(3 x) − e^x, abbiamo

y(0) = c₁+ c₂− 1 , y⁰(0) = 2 c₁+ 3 c₃− 1 , y⁰⁰(0) = 4 c₁− 9 c₂− 1 . Perci`o la condizione iniziale







y(0) = 0 , y⁰(0) = 3 , y⁰⁰(0) = 0

(**)

`

e equivalente al sistema di equazioni lineari







c₁+ c₂− 1 = 0 , 2 c₁+ 3 c₃− 1 = 3 , 4 c₁− 9 c₂− 1 = 0 che ha la soluzione unica

c₁ = 10

13 , c₂ = 3

13 , c₃ = 32 39 .

Risulta che la soluzione dell’equazione differenziale (*) che soddisfa la condizione iniziale (**) `e

y(x) = 10

13e^{2 x}+ 3

13 cos(3 x) + 32

39 sin(3 x) − e^x.

2) : Siccome

(x + y)²+ z = 1 , x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0

⇐⇒ x ≥ 0 , y ≥ 0 , x + y ≤ 1 , z = 1 − (x + y)², la superficie E definita dalle relazioni

(x + y)²+ z = 1 , x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0

`

e il grafico della funzione

f (x , y) = 1 − (x + y)² definita sul triangolo

T = x y



∈ R²; x ≥ 0 , y ≥ 0 , x + y ≤ 1

 . Applicando la formula nota per l’area del grafico di f otteniamo

Area (E) = Z Z

T

s

1 + ∂f

∂x(x, y)

2

+ ∂f

∂y(x, y)

2

dx dy

= Z Z

T

q

1 + 2 (x + y)
2

+ 2 (x + y)
2

dx dy

= Z Z

T

p1 + 8 (x + y)²dx dy .

Per il calcolo di quest’integrale ci conviene fare il cambio di variabili u = x + y

v = x − y ,

x = u + v 2 y = u − v

2 , Poich´e

x ≥ 0 ⇐⇒ u + v ≥ 0 ⇐⇒ v ≥ − u , y ≥ 0 ⇐⇒ u − v ≥ 0 ⇐⇒ v ≤ − u ,

0 ≤ x + y ≤ 1 ⇐⇒ 0 ≤ u ≤ 1 ,

T⁰ = u v



∈ R²; 0 ≤ u ≤ 1 , −u ≤ v ≤ u

 . Ora, siccome

det







∂x

∂u

∂x

∂y ∂v

∂u

∂y

∂v





       

=    

det 1/2 1/2 1/2 − 1/2

   

= 1 2 e quindi

dx dy = 1

2du dv , risulta

Area (E) = Z Z

T⁰

√1 + 8 u² 1

2du dv =

1

Z

0

Z^u

−u

1 2

√1 + 8 u²dv

 du

=

1

Z

0

u√

1 + 8 u²du = 1 16

1

Z

0

√

1 + 8 u²d(1 + 8 u²)

= 1 16

(1 + 8 u²)^3/2 3/2

u = 1

u = 0

= 1

24 9^3/2− 1
= 26 24

= 13 12 .

3) : Calcoleremo l’integrale pi`u generale I_λ :=

Z Z Z

S

px²+ y²+ λ²z²dx dy dz

dove λ `e un parametro reale.

Ci conviene passare alle coordinate cilindriche







x = ρ cos ϕ y = ρ sin ϕ z = z

, ρ ≥ 0 , 0 ≤ ϕ < 2 π , z ∈ R, .

Il determinate funzionale del cambio di variabile `e

∂x

∂ρ

∂x

∂ϕ

∂x

∂z

∂y

∂ρ

∂y

∂ϕ

∂y

∂z ∂z

∂ρ

∂z

∂ϕ

∂z

∂z           

=      

cos ϕ − ρ sin ϕ 0 sin ϕ ρ cos ϕ 0

0 0 1

=      

cos ϕ − ρ sin ϕ sin ϕ ρ cos ϕ

0 0

= ρ ,

quindi

dx dy dx = ρ dρ dϕ dz .

Ora, poich´e le disequazioni px²+ y² ≤ z ≤ 1 che definiscono il solido S significano per le coordinate cilindriche 0 ≤ ρ ≤ z ≤ 1 , abbiamo

I_λ = Z Z Z

0≤ρ≤z≤1

pρ²+ λ²z²ρ dρ dϕ dz

=

1

Z

0

dz

z

Z

0

dρ

2π

Z

0

pρ²+ λ²z²ρ dϕ

= 2 π

1

Z

0

dz

z

Z

0

pρ²+ λ²z²ρ dρ

= π

1

Z

0

dz

z

Z

0

pρ²+ λ²z²d ρ²+ λ²z²

= π

1

Z

0

 2

3 ρ²+ λ²z²
3/2   

ρ = z

ρ = 0

 dz

= 2 π 3

1

Z

0



(1 + λ²)^3/2z³− λ³z³ dz

= 2 π 3



(1 + λ²)^3/2− λ³

1

Z

0

z³dz

| {z }

= 1/4

π

Nel nostro caso, per λ = 1 abbiamo Z Z Z

S

px²+ y²+ z²dx dy dz = π

6 2^3/2− 1
= π 6 2√

2 − 1
.

4) : Poich´e f `e una funzione pari, sappiamo fin dall’inizio che b_k(f ) = 0 per ogni k ≥ 1 .

Per calcolare i coefficienti a_k(f ) = 1

π

π

Z

−π

f (x) cos(kx) dx = 1 π

π

Z

−π

x sin x cos(kx) dx , k ≥ 0 ci serve l’identit`a trigonometrica nota

sin α cos β = 1 2



sin(α + β) + sin(α − β)

, α , β ∈ R . Ecco una verifica veloce basata sull’identit`a di Eulero:

sin α cos β = e^iα − e^−iα

2i · e^iβ+ e^−iβ 2

= e^iα+iβ + e^iα−iβ − e^−iα+iβ− e^−iα−iβ 4i

− 1 2

 e^i(α+β)− e^−i(α+β)

2i + e^i(α−β)− e^{−i(α−β)} 2i



= 1 2



sin(α + β) + sin(α − β) . Risultano

a₀(f ) = 1 π

π

Z

−π

x sin x dx ,

a₁(f ) = 1 π

π

Z

−π

x sin x cos x dx = 1 2 π

π

Z

−π

x sin(2 x) dx ,

ak(f ) = 1 π

π

Z

−π

x sin x cos(kx) dx

= 1 2 π

Z^π

−π

x sin (k + 1)x)
dx −

π

Z

−π

x sin (k − 1)x)
dx



, k ≥ 2 .

Adesso ci serve la primitiva Z

x sin(αx) dx = −x cos(αx)

α + sin(αx)

α² , α > 0 : Infatti, tramite integrazione per parti si ottiene

Z

x sin(αx) dx = − 1 α

Z

x d cos(αx)

= − x cos(αx)

α + 1

α Z

cos(αx) dx

= − x cos(αx)

α + sin(αx) α² . Per k = 0 e k = 1 otteniamo

ao(f ) = 1 π



− x cos x + sin x

   

x = π

x = − π

= 2 , a₁(f ) = 1

2 π



− x cos(2x)

2 + sin(2x) 4

   

x = π

x = − π

= − 1 2 , mentre per k ≥ 2 risulta

a_k(f ) = 1 2 π



− x cos (k + 1)x
)

k + 1 + sin (k + 1)x) (k + 1)²

   

x = π

x = − π

−



− x cos (k − 1)x
)

k − 1 + sin (k − 1)x) (k − 1)²

   

x = π

x = − π



= 1 2 π



− 2 π (−1)^k+1

k + 1 + 2 π (−1)^k−1 k − 1



= (−1)^k+1 2 k²− 1 .

Concludiamo che la serie di Fourier (in forma reale) della funzione f `e a_o(f )

2 +

∞

X

k=1



a_k(f ) cos(kx) + b_k(f ) sin(kx)

Poich´e f `e regolare a tratti (i punti di non derivabilit`a sono i multipli dispari di π e la derivata di f `e limitata su ogni intervallo limitato) e continua, la sua serie di Fourier converge uniformamente ad f . In particolare

1 − 1

2 cos x +

∞

X

k=2

(−1)^k+1 2

k²− 1 cos(kx) = x sin x , − π ≤ x ≤ π .