Corso di laurea in Fisica

Corso di laurea in Fisica

I Parziale di Istituzioni di Fisica Teorica L’Aquila 25 Novembre 2015

studente/ssa:

matricola:

1) L’Hamitoniano di un sistema si esprime nella base ortonormale |1 >, |2 >, |3 > come H = E|1 >< 1| − E|2 >< 2| + E|3 >< 3|

con E > 0. nella stessa base l’operatore Q ` e espresso come

Q = −iq|3 >< 1| + iq|1 >< 3| + q|2 >< 2|

con q > 0.

- H ` e Q sono compatibili? Gli stati |1 >, |2 >, |3 > formano una base comune?

- quali sono i possibili valori di una misura di H?

- quali sono i possibili valori di una misura di Q?

Una volta scritte le matrici H e Q ci si rende conto che Q non ` e diagonale e non lo ` e in un sottospazio dove N non ` e degenere. La cosa ` e piu evidente se di ordinano gli elementi di base come |1 >, |3 >, |2 > in questo modo gli autovalori e gli autostati di Q risultano pi` u semplici da trovare...

2) Una particella di massa m ` e vincolata in un segmento di lunghezza L e si trova nello stato la cui funziona d’onda ` e:

Ψ(x) = e ^ik

^x

s 2 L sin( π

L x) con k 0 > 0.

- Su questo stato una misura di energia pu` o dare un risultato con certezza?

- Valutare la corrente associata a questo stato.

La fase che motiplica la funziione d’onda (autostato di H) dipende da x...

3) Una particella si trova nello stato

|Ψ >= 1

√ 2 |1 > + 1

√ 2 |2 >

con |1 >, |2 > stati ortonormali. Se in tale base gli le grandezze fisiche A e B si esprimono come:

A = a 1 0 0 −1

!

B = b 0 −i i 0

!

- Quale ` e il minimo valore del prodotto d’indeterminazione < ∆A ² >< ∆B ² > su tale stato?

1

Si impieghi la formula di indeterminazione generalizzata per trovare un estremo inferiore per il prodotto di indeterminazione. Siccome si conosce lo stato tale prodotto pu` o anche essere calcolato direttamente...

4) All’istante t = 0 un oscillatore armonico di frequenza propria ω si trova nello stato

|Ψ >= 1

√ 2 |0 > + i

√ 2 |1 >

- Determinare la probabilit` a di trovare la particella con valori positivi della coordinata al tempo t = 0.

- Determinare il tempo t ^∗ alla quale tale probabilit` a torna ad essere quella che si ha al tempo t = 0.

La probabilit` a di trovare la particella in un qualsiasi punto dell’asse positivo ` e nota integrando la densit` a di probabilit` a associata allo stato nel semiasse positivo delle x...

5) Una particella si muove liberamente in una dimensione. Una misura di energia d` a con certezza il valore E. Possiamo dire che la corrente associata ` e diretta nel verso positivo dell’asse x?

Si rifletta sul fatto che, ad una dimensione, nota l’energia di una particella libera non

`

e noto il verso di propagazione di essa...

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