lezione 2 cinematica 2-3D Ing civ 2015-2016

(1)

Moti in 2 e 3 dimensioni

1D

a < 0 a > 0 v < 0 v > 0

a

v

x



;



;





Sono diretti come

_i



3D

x

v

a





;



Non sono sempre concordi, ma nel tempo mutano di direzione (oltre

che di modulo e verso) v

v

Il vettore posizione sarà:

r





x



i





y





j



z



k



Sia:

 

t

e

r

 

t

con

t

r



₁





₁



₂





₂ ₂



₁





Si avrà che:

k

z

j

y

i

x

r





































₂ ₁ i

(2)

Possiamo così definire :

t

r

v

_media







Ha stessa direzione e verso di _r

dt

r

d

t

r

v

t ist



_





  0

lim

Ha direzione della tangente alla traiettoria Ovviamente

t

k

v

i

v

j

v

k

z

j

t

y

i

t

x

v



_media





_x





_y





_z















k

v

j

v

i

v

k

dt

dz

j

dt

dy

i

dt

dx

v



_ist















_x





_y





_z



Se



0 

1 2



r



t



r





r





d

r



direzione

della

tangente

t

r

v

t ist





 



0

lim

e v a a v

(3)

v a

a v

In modo analogo possiamo così definire :

t

v

t

v

a

i f i f media











k

a

j

a

i

a

k

dt

z

d

j

dt

y

d

i

dt

x

d

dt

r

d

k

dt

dv

j

dt

dv

i

dt

dv

dt

v

d

t

v

a

z y x z y x t ist



















  2 2 2 2 2 2 2 2 0

lim

Ad esempio: nel moto di una particella lungo una traiettoria curva arbitraria nel piano xy, la velocità sarà sempre tangente alla

traiettoria mentre l’accelerazione avrà una componente radiale ed

(4)

Moto dei proiettili (2-Dim)

(corpi nel campo di gravità)

Ogni corpo dotato di massa cade con una accelerazione

_a







_g



_j

(g=9.8 m/s2₎ La velocità iniziale è:

j

v

i

v

j

v

i

v



₀



₀_x





₀_y





₀

cos









₀

sin







Occorre quindi conoscere due dati (ad es. v₀ e ₎ Conviene scomporre il moto lungo le due componenti verticale (y) e orizzontale (x)

g

a

_y





t

g

v

t

g

v

_y



₀_y







₀

sin







2 0 0

2

1 sin

t

gt

v

y











y

0 

x

a

.)

(cost

sin

0 0

v



v

_x



_x



t

v

x



₀



₀

cos





x

(5)

g

a

_y





t

g

v

t

g

v

_y



₀_y







₀

sin







2 0 0

2

1 sin

t

gt

v

y











y

0 

x

a

.) (cost cos 0 0 v



v v_x  _x 

t

v

x



₀



₀

cos





x

Eliminando (per sostituzione) la variabile t ottengo l’equazione della

TRAIETTORIA



cos

0 0

v

x

t





2 0 0 0 0 0 0

cos

2

1 cos

sin

_









 















 









v

x

g

v

x

v

y

Semplificando _{si ottiene}





_





_

₂ 0 2 0 0 0

cos

2

1 



v

x

g

x

tg

y













Supponendo che a t=0 il _{corpo sia nell’origine} (x0=0; y0=0) si ottiene 2 2 2 0

cos

2 v

x

g

x

tg

y







(6)

2 2 2 0

cos

2 v

x

g

x

tg

y









GITTATA “R”:

distanza percorsa orizzontalmente fra punto iniziale e quello in cui ripassa dalla

quota di partenza (stessa altezza)

B

Supponendo che a t=0 il corpo sia nell’origine (x₀=0; y₀=0) si ottiene che agli estremi della gittata R y=0

           x v g tg x x v g x tg     ₂ ₂ 0 2 2 2 0 cos 2 cos 2 0 due soluzioni :

0

1



x

Posizione iniziale



v



tg

R

g

x

₂



2

₀2

cos

2

















2 cos

sin

2 cos

sin

cos

2

2 2 ₀2 ₀2 0

g

v

g

v

g

R







(7)

g

v

R

Max Max 2 0

45 









(8)

Cinematica

Moto parabolico

0 v 0 v o M x g v x y _M 2 sin ) ( massima Altezza 2 2 0   discesa di tempo salita di tempo sin 2 2 cos 2 volo di Tempo 2 2 0 0      G G x M M G t t g v v x v x t  

(9)

Cinematica

Colpisci un bersaglio

0 y y x 0 x 0 v



Bisogna lanciare il proiettile quando l’angolo è



         0 2 0 2 arctan gy v 

Lanciamo un proiettile con velocità orizzontale. Vogliamo colpire il punto

0 v 0 x g y t gt t v y y ₀ ₀_y 2 2 0 2 1 _ _    0  g y v t v x₀  ₀  ₀ 2 0 0 2 0 0 0 2 tan gy v y x _  

(10)

Cinematica

Colpisci un bersaglio

0 v  ) , ( P x₀ y₀ 2 1 2 1 Proiettile t g t v y  _oy  ₂ ₀ 2 2 1 Bersaglio t g y y   2 1 y y  y y v y t t g y t g t v 0 0 2 0 2 0 2 1 2 1 _ _ _ _  0 2 0 0 0 0 1 0 0 _; _; : tempo nel x x y v v t v x v y t y x x y     0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 imponiamo se y x v v x y v v x x y x y x     

(11)

(12)

Cinematica

Derivata di un versore

S  uˆ   

 

t uˆ _u_ˆ



_t _ __t



u d ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ˆ u t t u t u      0) t (oppure      u d uˆ  ˆ  

u

d

ˆ



ˆ



  S uˆ  dS  uˆ d



u d dS ˆ piccoli angoli per ma  _{da cui} _d_uˆ  _uˆ _d



_d_uˆ  _d



1

dt

d

dt

u

d

ˆ

_



u

dt

u

d

ˆ



(13)

Moto Circolare Uniforme

TRAIETTORIA Ogni giro nel medesimo Tempo (Periodo)

A 1 1

,

:

r



t

B 2 2

,

:

r



t

Se t₂→t₁ (t→0) allora r (dr) è tangente alla circonferenza

Ora:

_d

_r

_d



dt

r

d

v











_

_



_

_r

_

_

dt

d

r

v



Velocità angolare

Ogni giro (2 _{radianti) nel medesimo Tempo T}_(Periodo)

!

2 costante

r

v

costante

T













(14)

Tuttavia non è costante nel tempo , in quanto cambia la sua direzione e dunque

l’accelerazione a≠0

v



Ora:

_r



₍

_t

₎



_R

_cos



 

_t

_i





_R

_sin



 

_t



_j

Siccome

dt

r

d

v



_

avremo

 



t

i

t

j



R

u

t

R

j

dt

d

t

R

i

dt

d

t

R

v



































cos

sin

cos

sin

Versore tangente Modulo

Valgono le seguenti equazioni

1 2

1 

t

u



)

(

0 u

r

u



_t









_t





Cioè è sempre  _{a ovvero è tangente}

alla traiettoria

r



(15)

Cinematica

Coordinate polari

dt

u

d

r

u

dt

dr

dt

r

d

v

u

r

r r r

ˆ

caso

questo

In











Derivata di un versore! 



u

dt

d

r

u

dt

dr

v





ˆ

_r



ˆ

Componente normale (Velocità radiale) Componente tangenziale (Velocità trasversa) 2 2 2                dt d r dt dr dt ds v 

Modulo della velocità

o r   uˆ r uˆ T uˆ o  v r  v r

v



Moto circolare uniforme r = cost.   r dt d r dt ds v         

(16)

Calcoliamo ora in maniera analoga l’accelerazione

 





 





















j

t

i

t

R

j

t

i

t

R











sin

cos

sin

cos

2 2 variabile t u costante

 

t r

L’accelerazione (CENTRIPETA) è diretta come il raggio ma ha verso opposto ovvero è diretta verso il centro della circonferenza

R

v

R

a

2 2 2 2







 







R

t

i

t

j



dt

d

dt

v

d

a



_

_

cos

sin







 



 













_

_

_





dt

d

t

j

dt

d

t

i

R





cos





sin



 



R

t

i



R

t



j



2

r



2

sin

cos















(17)

Cinematica

Accelerazione nel moto piano

2 2

dt

r

d

dt

v

d

a





scriviamo

la

velocità

come

v



v



u

ˆ

T



tempo nel varia ˆ_t u





dt

u

d

v

u

dt

dv

dt

u

v

d

a





ˆ

T



ˆ

_T



ˆ

T N T

u

dt

d

v

u

dt

dv

a





ˆ





ˆ

Derivata di un versore!

T

a

_N

₂

N

T

a





 d T uˆ N uˆ uˆT N uˆ T a N a

Moto circolare uniforme v = cost.

u

N

a

N

dt

d

v

(18)

Cinematica

Accelerazione centripeta o normale

T a N a T

dt

u

N

d

v

u

dt

dv

a





ˆ





ˆ

Per una circonferenza di raggio R… dS  d T uˆ T uˆ N uˆ N uˆ

v

R

dt

ds

d

dt

d



_



_

1

N N

u

R

v

a

ˆ

2



da cui N T

u

R

v

u

dt

dv

a

ˆ

2







(19)

Cinematica

Moto circolare – coordinate polari

S P r 

   

t



t

r

con

r



costante

S



 

t





v

r



r

v

dt

dS

r

dt

d

1 _









a

r



r

a

dt

dv

r

dt

d

dt

d

T T

1

2 2











(20)

Cinematica

Moto circolare – coordinate polari

T a N a r a_T 

R

v

a

_N 2 2





      a v x

 

cost 2 1 0 2 0 0       t t t t t t        

Moto circolare uniformemente accelerato

Moto circolare uniforme

 

0 0 0 0     t t t t      

(21)

Cinematica

Ancora sul moto circolare

y x P 0  P x cost  v

 

t r r x_P  cos  cos 







₀0



sin

cos

generale

In

















t

r

y

t

r

x

P P Moto periodico



v r



v r T 2 2     _ _ 

Si definisce frequenza del moto:





2

1 



T

f



_anche





₂



_f



   



  





 

 _ _ sec rad Hertz rad   f

(22)

Cinematica

Moto armonico

t

 

t x A A

 

t  Asin



 t ₀



x _{definisce il moto armonico semplice}

pulsazione iniziale fase moto del fase moto del ampiezza 0 0          t A 0 , iniziali condizioni A 























t T

  

x t x t A t A T t A T t x T             0 0 0 sin 2 sin sin 2          T è il periodo!!

T

(23)

Cinematica

Moto armonico

 

 sin



 ₀





 

 x Acos



 t ₀



dt d t v t A t x

 

2 2



₀



sin         x A t dt d v dt d t a

 

t

x

a







2 Definisce la condizione per il moto

armonico

 

t x t t t

 

t x

 

t v

 

t a 2 T x e v in quadratura di fase differenza di π/2 (v anticipa x)

x e a sono in opposizione di fase differenza di π

(24)

Cinematica

Moto armonico

 

t



A

sin





t





₀



x

 



x



_

A

_cos



_

t



_

₀



dt

d

t

v

 

       0 0 0 0 cos 0 sin 0 iniziali condizioni    A v v A x x          2 2 0 2 0 2 0 0 0 tan    v x A v x    x a 2 : inoltre  ₂ 2 0 2   x x dt d _ Equazione differenziale

(25)

Cinematica

Moto circolare nello spazio

 v  r R nel piano nello spazio    v r

La velocità angolare è un vettore! Il modulo è  dt d



r v



r v r v 



    



  

R

r

v

r

v



















sin







(26)

Cinematica

Moto circolare nello spazio

r v   





r

dt

d

r

dt

d

r

dt

d

v

dt

d

a



















(





)















v r a       accelerazione centripeta accelerazione tangenziale 0 uniforme circolare moto   v  _



v



 _v _{è diretto verso il centro!}

accelerazione centripeta

v a 



  

(27)

Cinematica

La vostra velocità e accelerazione in questo momento

R v r





Il punto si muove di moto circolare

uniforme con velocità costante e raggio R m 10 37 . 6 , sec rad 10 3 . 7  5   6   r 



latitudine  cos r R 

R

r

a

v

a

R

r

v

r

v

N N 2 2

cos



























2 2

sec

cos

10

34 sec

cos

464 m

a

m

v

N









(28)

Moti Relativi

Supponiamo di avere un osservatore A fermo ed un oggetto P che si muove con

velocità V_r rispetto ad un secondo

osservatore B che si muove con velocità V_T

V_r V_T

P

Per l’ osservatore A il corpo P ha velocità V_A diversa da V_r

Infatti se consideriamo gli spostamenti effettuati si ha:

B A A B P P

r











r T P B P A P

V

dt

r

d

dt

r

d

dt

r

d

V

v

A A B A







_

_

_

_

r T r T P A P

a

dt

V

d

dt

V

d

dt

v

d

a

A A



_

_

_

_

(29)

r T A

V











r T A

a











Ricapitolando si ha che: A = assoluta r = relativa T = trascinamento

Se

a



_T



0

ovvero l’osservatore B si muove di M.R.U. allora si ha:

r A

a







Per cui la accelerazione dei corpi in sistemi di riferimento in moto relativo uniforme tra loro sono IDENTICHE