Lezione 2 Cinematica dei processi di diffusione

Lezione 2

Cinematica dei processi di diffusione

Corso di Fisica nucleare e subnucleare Paolo Maestro

a.a. 2018/19

Nel regime non relativistico v<<c, sviluppando g in serie di potenze

si ritrovano le definizioni classiche di energia e quantità di moto

Il secondo termine corrisponde all’energia cinetica classica di una particella di massa m₀. Il primo termine è una costante: ricordiamo che in meccanica classica l’energia è definita a meno di una costante.

γ = 1

1− v

c

=1+ 1 2

v c

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

+ 3 8

v c

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

4

+...

p

p

= E

− c

p

= m

c

p

= m

c η

= m

γ c

, m

γ c !

( v ) ^{= E, c ( p ! )}

Possiamo riscrivere il quadrivettore energia-momento come:

p=m !

γ v → m ^!

! v

E = m

γ ^c

= m

c

1+ 1 2

v c

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

+ 3 8

v c

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

4

⎛ +...

⎝ ⎜⎜ ⎞

⎠ ⎟⎟ = m

c

+ 1

2 m

v

Quadrivettore energia-momento

E

= p

c

+ m

c

E = p

c

+ m

c

dE d !

p = c

p ! E = !

v

Dal modulo del quadrimomento si ricavano le seguenti utili equazioni:

Consideriamo un sistema di N particelle con quadrimomento

Il quadrimomento del sistema è la somma dei quadrimomenti delle particelle

Il modulo del quadrimomento totale è un invariante relativistico, e prende il nome di massa invariante del sistema di N particelle.

• Per una sola particella corrisponde alla sua massa a riposo.

• Se due particelle interagiscono e formano uno stato legato la massa invariante dà la massa dello stato legato

• In generale si può pensare come la massa di una pseudo-particella di quadrimomento pari alla somma dei quadrimomenti delle N particelle.

Nel centro di massa (CM) del sistema per definizione , quindi il quadrimomento è

La massa invariante

p_i^µ = Ei, ! p_i

( )

P

= p

i=1 N

∑ ^{= E}

^{, p !}

i=1 N

∑

i=1 N

⎛ ∑

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ P

P

= E

i=1 N

⎛ ∑

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

− !

p

i=1 N

⎛ ∑

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

P

= E

, 0

N

⎛ ∑

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = E ( )

^P

^P

^{= E}

P !

= 0

massa invariante

Cinematica delle reazioni tra particelle

a) Decadimenti a ® b₁ + b₂ + …+ b_n

b) Collisioni anelastiche a₁ + a₂ ® b₁ + b₂ +... + b_n elastiche a₁ + a₂ ® a₁ + a₂

Per studiare queste reazioni si considerano i SR

1) del laboratorio (SLAB) dove sono effettuate le misure

2) del centro di massa (SCM) dove la quantità di moto totale è nulla

Il passaggio da un sistema all’altro si effettua con le trasformazioni di Lorentz del quadrimomento

Nei decadimenti e nelle collisioni relativistiche si conservano:

- l’energia totale - la quantità di moto

L’energia cinetica si conserva inoltre nelle collisioni elastiche

Nel caso a) decadimento , il sistema del CM (*) è quello in cui la particella A è in quiete.

Scriviamo la conservazione del quadrimomento

P si misura in MeV/c, la massa in MeV/c², l’energia in MeV, pertanto si può assumere con queste unità di misura la convenzione c=1.

Il decadimento può avvenire solo se vale questa condizione.

Da ciò si deduce che un oggetto di massa nulla non può decadere in oggetti massivi.

p

= m (

c

, 0 ) ^{= p}

^{= E} (

^{+ E}

^{+... + E}

^{, 0} )

m

c

= E

i

* i=1

N

∑ ^{= m}

^c

^{+ c}

^p

i=1 N

∑

m

= m

+ p

i=1 N

∑

m

= m

i

2

+ p

i=1 N

∑ ^{≥ m}

i=1 N

∑

Le componenti del quadrimomento nei sistemi CM e LAB sono legate dalle trasformazioni di Lorentz

dove abbiamo scomposto il momento nelle componenti parallela e perpendicolare a b. Quest’ultima è detta momento trasverso ed è un invariante di Lorentz.

E

p

p

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟ ⎟

=

γ

−β

γ

0

−β

γ

γ

0

0 0 1

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟⎟

E p

p

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟⎟

Trasformazioni di Lorentz del quadrimomento

E p

p

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟⎟ =

γ

β

γ

⁰ β

γ

γ

⁰

0 0 1

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟⎟

E

p

p

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟ ⎟

P !

= ! p

i

∑ ^{= 0}

p

=

i

∑ ^{0 = p}

i

∑

p

=

i

∑ ^{0 = γ}

( ^p

^{− β}

^E

)

i

∑

γ

( ^p

− β

^E

)

i

∑ ^{= 0}

β

=

p

i

∑

E

i

∑

Si può calcolare la velocità del CM nel sistema del LAB, osservando che nel SCM l’impulso totale è nullo

β !

=

p !

E

Per la conservazione del quadrimomento abbiamo:

dove i indica il quadrimomento totale dello stato iniziale, f quello dello stato finale. Il quadrimomento nel SCM è indicato con *; quello senza * è misurato nel LAB.

Nel SCM, l’impulso totale è nullo, quindi avremo:

Consideriamo un urto della particella proiettile (p) sul bersaglio (b) in cui sono prodotte N particelle f₁…f_N

€

p^{* fµ} p_µ^{f *} = p^fµp_µ^f = p^*iµp_µ^i* = p^iµp_µⁱ

p b

f₁ f2

f3

fN-1

fN

LAB

Energia di soglia di una reazione

p

= E

f

∑ ^{, 0}

⎛

⎝ ⎜⎜ ⎞

⎠ ⎟⎟ = T

+ m

, 0

f

⎛ ∑

⎝ ⎜⎜ ⎞

⎠ ⎟⎟

p

p

= E

f

⎛ ∑

⎝ ⎜⎜ ⎞

⎠ ⎟⎟

2

= T

+ m

f

⎛ ∑

⎝ ⎜⎜ ⎞

⎠ ⎟⎟

2

≥ m

f

⎛ ∑

⎝ ⎜⎜ ⎞

⎠ ⎟⎟

2

Il quadrimomento dello stato iniziale nel sistema LAB in cui è

p^iµ p_iµ = p^{* fµ} p_µ^{f *}

p

= E

+ E

, !

p

+ ! p

( ) ^{= E} (

^{+ m}

^{, p !}

)

p

p

= E (

+ m

)

^{− p}

^{= m}

^{+ m}

^{+ 2m}

^E

^{= m}

^{+ m}

^{+ 2m}

( ^T

^{+ m}

)

Riscrivendo la conservazione del quadrimomento

!"p

b = 0

T

≥ T

=

m

f

⎛ ∑

⎝ ⎜⎜ ⎞

⎠ ⎟⎟

2

− m (

+ m

)

2m

m_p + m_b

( )

f

⎛

∑

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟

2

≥ m_f

f

⎛

∑

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟

2

Si definisce energia di soglia T_s, l’energia per cui nel sistema del Centro di Massa le N particelle dello stato finale sono prodotte ferme.

La reazione può avvenire solo se l’energia cinetica della particella incidente è ≥ T_s. Se T_s<0 la reazione non ha soglia.

m

r !""

= F

ˆr

m

r !""

= F

ˆr = −F

ˆr

⎧

⎨ ⎪

⎩⎪ !

r

= m

!

r

+ m

! r

m

+ m

r = ! !

r

− ! r

Equazioni del moto di due particelle che interagiscono con una forza centrale

Introducendo le coordinate del CM e la coordinata relativa

si possono riscrivere le equazioni del moto come

(m

+ m

) r !""

= 0 µ r = F !""

ˆr

⎧

⎨ ⎪

⎩⎪

Il CM si muove di moto rettilineo uniforme.

La dinamica del sistema è descritta da particella di massa ridotta e coordinata relativa.

Scriviamo le coordinate delle due particelle nel sistema di riferimento del CM

r !

= ! r

− !

r

= m

m

+ m

r ! r !

= !

r

− !

r

= − m

m

+ m

r !

m

r !"

+ m

r !"

= 0

µ

Cinematica classica della diffusione elastica di 2 particelle

Studiamo ora l’urto elastico nel SCM. Da conservazione di energia e quantità di moto

Nel SCM dopo l’urto le velocità delle particelle non cambiano in modulo ma solo in direzione.

m

v

− m

v

= 0 = m

v

cos θ

− m

v

cos θ

m

v

sin θ

− m

v

sin θ

= 0

1

2 m

v

+ 1

2 m

v

= 1

2 m

v

+ 1

2 m

v

v

= v

v

= v

m

, ! v

m

, ! v

m

, ! v

m

, !

v

m

, !

v

m

, ! v

m

, !

v

v !

= !

v

+ ! v

v

cos θ

= v

cos θ

+ v

v

sin θ

= v

sin θ

Ricaviamo ora le velocità finali nel SLAB utilizzando la legge di trasformazione delle velocità e scomponendo nella componenti parallela e perpendicolare a v_CM

Sommando le due ultime equazioni al quadrato si ottiene

e sostituendo a v_cm e v_1f* le espressioni

si ricava

v

= v

+ 2v

v

cos θ

+ v

v_CM = m₁v_1i m₁+ m₂

v_{1 f}^* = v_1i^* = v_1i − v_CM = v_1i − m₁v_1i

m₁+ m₂ = m₂v_1i m₁+ m₂

v

= m

+ m

m

+ m

( )

^v

2

+ 2 m

m

m

+ m

( )

^{cos θ}

^v

2

Moltiplicando quest’ultima per ½ m₁, otteniamo l’equazione dell’energia finale

Con procedimento analogo si ricava l’energia finale della particella 2

Notiamo che l’energia E_1f è massima per q_CM=0 e minima per q_CM=p, e viceversa per E_2f

Se le particelle hanno masse simili (m₁≈m₂)

Tipico esempio è l’urto elastico di un neutrone su di un protone inizialmente fermo (moderazione dei neutroni), in cui il protone può arrivare ad assorbire tutta l’energia del neutrone incidente.

Se invece m₁>>m₂

E

= m

+ m

+ 2m

m

cos θ

m

+ m

( )

^E

E

= 2m

m

( 1− cos θ

)

m

+ m

( )

^E

m

− m

( )

m

+ m

( )

^E

^{≤ E}

^{≤ E}

^{0 ≤ E}

^≤

4m

m

m

+ m

( )

^E

0 ≤ E

≤ E

0 ≤ E

≤ E

E

≈ E

E

≈ 0

Per trovare la relazione tra l’angolo di diffusione nel SCM e quello nel LAB, utilizziamo la legge di trasformazione delle velocità e scomponiamola nella componenti parallela e perpendicolare a v_CM

Dividendo l’ultima equazione per la penultima si ottiene

che può essere riscritta come

avendo utilizzato le equazioni

v !

= !

v

− ! v

v

cos θ

= v

cos θ

− v

v

sin θ

= v

sin θ

tan θ

= sin θ

cos θ

+ m

m

tan θ

= v

sin θ

v

cos θ

+ v

= sin θ

cos θ

+ v

v

v_CM = m₁v_1i m₁+ m₂

v_{1 f}^* = v_1i^* = v_1i − v_CM = v_1i − m₁v_1i

m + m = m₂v_1i m + m

v

v

= m

m

Scriviamo la massa invariante del sistema e ricaviamo l’energia del CM

La velocità del CM è e il gamma di Lorentz

E_{1 f}, ! p_{1 f}

( )

E_1i, ! p_1i

( )

E_{2 f}, ! p_{2 f}

( )

m₂, 0

( ) (

) (

)

E_{2 f}^* , −! p_{1 f}^*

( )

E_{1 f}^* , ! p_{1 f}^*

( )

P

+ P

( )

^{= E} (

^{+ m}

^{, p !}

)

^{= m}

^{+ m}

^{+ 2E}

^m

P

+ P

( )

^{= P} (

^{+ P}

)

^{= E} (

^{+ E}

)

^{= E}

^{= s}

s = m

+ m

+ 2E

m

β

=

p !

E

+ m

γ

= E

+ m

m

+ m

+ 2E

m

= E

+ m

s

Cinematica relativistica della diffusione elastica di 2 particelle

q₁ q₂

E

= γ

( E

− β

p ^!

) ^{= E}

^{+ m} _s

^E

⁻

p !

E

+ m

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ =

m

+ m

E

s E

= γ

( E

− β

p ^!

) ^{= E}

^{+ m} _s

^m

^{= m}

^{+ m} _s

^E

p !

= γ

( p ^!

− β

E

) ^{= E}

^{+ m} _s

^{p !}

⁻ _E ^{p !}

1i

+ m

E

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = m

s

p !

p !

= γ

( p ^!

− β

E

) ^{= − E}

^{+ m} _s

_E ^{p !}

1i

+ m

m

= − m

s

p !

E’ più semplice studiare il processo nel SCM. Usando le trasformazioni di Lorentz si possono trovare le espressioni per energie e momenti nel SCM prima dell’urto

Nel SCM dopo l’urto i momenti non cambiano in modulo ma solo in direzione

Da cui segue che

p !

= !

p

= !

p

= !

p

= m

s

p !

E

= E

= m

+ m

E

s E

= E

= m

+ m

E

s

Ricaviamo ora energia e momenti dopo l’urto nel SLAB. Scriviamo le equazioni di conservazione di energia e momento:

Scriviamo inoltre l’equazione di invarianza del quadrimomento e, utilizzando le equazioni sopra, ricaviamo l’energia di m₂ dopo l’urto in funzione dell’angolo di scattering q₂

E

+ E

= E

+ m

p

cos θ

+ p

cos θ

= p

p

sin θ

= p

sin θ

P

+ P

( )

^{= P} (

^{+ P}

)

m

+ m

+ 2E

E

− 2 ! p

⋅ !

p

= m

+ m

+ 2E

m

E

E

− p

p

cos ( θ

+ θ

) ^{= E}

^m

E

( E

+ m

− E

) ^{− p}

^p

^{cos θ}

^{cos θ}

^{+ p}

^p

^{sin θ}

^{sin θ}

^{= E}

^m

E

( E

+ m

− E

) ^{− p}

^{cos θ}

( ^p

^{− p}

^{cos θ}

) ^{+ p}

^sin

^θ

^{= E}

^m

E

E

+ E

m

− E

+ p

− p

p

cos θ

= E

m

E

E

+ E

m

− m

− p

p

cos θ

= E

m

E

− m

( ) ( ^E

^{+ m}

) ^{= p}

^E

^{− m}

^{cos θ}

E

^⎡ _⎣⎢ ( E

+ m

)

^{− p}

^cos

^θ

^⎤ _⎦⎥ ^{− 2E}

^m

( ^E

^{+ m}

)

^{+ m}

^⎡ _⎣⎢ ( ^E

^{+ m}

)

^{+ p}

^cos

^θ

^⎤ _⎦⎥ ^{= 0}

Con un procedimento analogo si può ricavare l’energia dopo l’urto di m₁ in funzione di q₁

La relazione tra l’angolo nel SCM e quello nel LAB si ottiene dalle trasformazioni di Lorentz

E

= ( E

+ m

) ( ^E

^m

^{+ m}

) ^{± p}

^{cos θ}

^m

^{− m}

^sin

^θ

E

+ m

( )

^{− p}

^cos

^θ

E

= m

( E

+ m

)

^{+ p}

^cos

^θ

E

+ m

( )

^{− p}

^cos

^θ

E

= γ

( ^E

+ β

⋅ p

cos θ

)

p

cos θ

= γ

( ^p

^cos θ

+ β

^E

)

p

sin θ

= p

sin θ

tan θ

= p

sin θ

γ

( p

cos θ

+ β

E

) ⁼

p

sin θ

γ

^E

^p

*

E

cos θ

+ β

⎛

⎝ ⎜⎜ ⎞

⎠ ⎟⎟

= β

^sin θ

γ

( β

cos θ

+ β

)