Compito FG2 17 novembre 2015

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Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale - Fisica Generale 2 Prova scritta d’esame del 17 novembre 2015

Tempo a disposizione: 2:30 ore (3CFU: primi 2 problemi 1:30 ore)

Nome - Cognome: ……… Matricola: …….….…………

Problema 1 (10 punti)

La distribuzione di carica a simmetria sferica di raggio ! in figura è caratterizzata da una densità di carica uniforme ! e a distanza 2! dal suo centro si trova un piano infinito con densità di carica uniforme !. Si calcoli: 1. dove si annulla il campo tra il piano ed il centro della sfera lungo l’asse (5

punti)

2. la differenza di potenziale tra il centro della sfera ed il punto A (3 punti); 3. la differenza di potenziale tra il centro della sfera ed il punto B (2 punti). Dati: ! = 3!C/m3_{,
! = 1m,
! = 1!C/m}2

Il circuito in figura è a regime con l'interruttore T aperto, ed il condensatore è sferico con raggi ! ed ! e riempito per metà con dielettrico di costante !! e per metà con costante !!. All'istante t =

0 viene chiuso l'interruttore. Calcolare:

1. la carica !_! del condensatore prima della chiusura dell'interruttore e la nuova carica a regime !_!; (3 punti)

2. il tempo !_! necessario a raggiungere la carica !_! = (!_!+ !_!)/2; (4 punti) 3. l'energia dissipata in !_! dalla chiusura dell'interruttore fino a !_!. (3 punti) Dati: !_! = 2, !_! = 3, ! = 10mm, ! = 11mm, !_! = 10, !_! = 15, !_! = 20, ! = 7V

Una spira quadrata di lato ! si muove con velocità costante !, entra in una regione in cui è presente un campo magnetico ! = !", ortogonale alla spira, la attraversa completamente ed esce. La regione con campo magnetico è lunga la metà della spira. Determinare:

1. La resistenza della spira se la corrente indotta nell’istante in

cui il primo lato della spira ha percorso completamente la zona con campo magnetico (! = ℎ) è !_!. (Si può ragionare anchein termini di forza di Lorentz.) (3 punti)

2. Il valore della forza quando il lato più a destra della spira si trova in una posizione generica ! della zona di campo. (2 punti).

3. La potenza dissipata nella spira quando il lato destro della spira si trova nella posizione x=L/4. (2 punti)

4. Il valore totale della carica che ha percorso la spira dopo che questa è uscita. (3 punti) Dati: L = 120cm, v = 10m/s, K = 11T/m, h = 60cm. I0 = 1.2A

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SOLUZIONE Problema 1

1. Vi sono due soluzioni, una dentro la distribuzione ed una fuori. Fuori dalla distribuzione essa si ottiene risolvendo l’equazione _!!!

!=

!

!!!!!!!, da cui !! = !/2!" = 1.4m, dove

! = 4!!!_{!/3
è
la
carica
totale
della
distribuzione.
Dentro
la
distribuzione
bisogna
risolvere}

l’equazione _!!! !=

!

!!!!!, da cui !! = 3!/2! = 0.5m, che corrisponde ad una distanza dall’origine pari ad !_! = 2! − !_! = 1.5m.

2. Vi sono due contributi al potenziale, quello del piano, Δ!_! = !"

!!! e quello della distribuzione Δ!_! = !

!!!!d!

!

! =

!!!

!!!, da cui si calcola Δ! = Δ!!+ Δ!! = 113kV.

3. In questo caso persiste il solo contributo della distribuzione sferica, uguale a quello calcolato nel punto precedente.

Problema 2

1. La capacità è data dalla serie di due condensatori sferici con dielettrici !_! ed !_!. Il raggio maggiore del condensatore interno è ! = (! + !)/2. Quindi ! = !_!!_!/(!_! + !_!), con !_! = 4!!_!!_!!"/(! − !) e !_! = 4!!_!!_!!"/(! − !). Con l’interruttore aperto si misura la

tensione !_! = !!_!/(!_!+ !_!), da cui !_! = !!_! = 122pC. Quando l’interruttore viene chiuso, a regime la nuova tensione diventa !! = !!!"/(!!+ !!"), dove !!" è il parallelo di !! ed !!, e

la nuova carica !! = !!! = 93pC.

2. Il circuito di Thevenin è caratterizzato dalla resistenza !_! = !!!!"

!!!!!" e dal generatore !! = !_!!!"

!!!!". La carica è descritta dalla funzione ! ! = !!+ !!− !! !

!!/!_{,
da
cui
il
tempo}

richiesto è !_! = −! log !!!!!

!!!!! = 93ps.

3. La corrente in !_! vale !_! ! = !(!)/!!_!, quindi !_! = !!!_!!_!! _{! !"} ! = 1 !_!!! !!+ !! − !! !! ! ! ! !" !! ! Svolgendo i calcoli si trova !_! = 96pJ.

Problema 3

1. Si genera forza elettromotrice per la forza di Lorentz solo sul tratto verticale più a destra della spira quando questa entra nella zona in cui è il campo. Quando la spira è a cavallo della zona di campo, non vi è né forza di Lorentz né variazione di flusso (B è costante). Quindi V = vBL = vKxL=vKL2_{/2
quando
x=L/2,
assumendo
di
calcolare
la
corrente
un
attimo
prima
che
il}

lato destro della spira esca dalla zona di campo perché poi, non c’è più corrente La resistenza della spira è quindi pari a R = V/I0 = 66 Ω.

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2. La forza applicata deve uguagliare la forza magnetica che agisce sullo stesso lato della spira. Quindi: F = IBL = ! !!" = !"#$ ! !" ! = !!!_!!_!! !

3.La potenza dissipata nella spira è pari a P=VI=V2_{/R.
Quando
il
lato
destro
della
spira
si
trova}

nella posizione x=L/4, avremo: V= vKL2_{/4
e
quindi:}

! = !"!!

! ! !

!= 16.5 !

4. Poiché il flusso iniziale (prima che la spira attraversi la zona di campo) e quello finale (dopo che la spira ha attraversato del tutto la zona di campo) sono nulli, dalla legge di Felici

ricaviamo che la carica totale che ha percorso la spira è nulla, anche considerando che il flusso prima aumenta e poi diminuisce

! = !! − !! ! = 0