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Academic year: 2021

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Programma del Corso di Analisi Matematica II per il corso di Laurea in Fisica Università degli Studi di Salerno A.A. 2020-2021

(Dott. Mario Annunziato)

Elenco degli argomenti trattati durante il corso (72 ore).

Gli argomenti scritti col carattere grassetto italico, comprendono la dimostrazione di un teorema o di una formula.

Introduzione

Presentazione del Corso. Simboli logici e dell'analisi infinitesimale per gli enunciati dei teoremi. 1. Equazioni differenziali ordinarie

Definizione delle equazioni differenziali di ordine n. Equazioni a variabili separabili. Condizioni iniziali (problema di Cauchy). Teorema di esistenza. Eq. differenziali del I ordine. Integrale generale e particolare. Soluzione del problema di Cauchy per l'equazione omogenea e quella completa. Teorema di esistenza e unicità. Equazioni di Bernoulli. Equazioni differenziali esatte.

Equazioni differenziali lineari del II ordine. Integrale generale e teorema di esistenza e unicità. Indipendenza lineare delle soluzioni. Determinante Wronskiano. Teorema del determinante "Wronskiano". Eq. del II ordine a coefficienti costanti. Eq. caratteristica. Metodo di Lagrange della variazione delle costanti. Metodi di sovrapposizione e similitudine per equazioni non-omogenee (casi esponenziale, polinomiale, trigonometrico).

Estensione al caso di equazioni differenziali di ordine n: Teorema del Wronskiano, Teorema di Liouville, Teorema di esistenza e unicità del problema di Cauchy. Integrale generale dell'equazione differenziale omogenea a coefficienti costanti di ordine n in forma normale. Dimostrazione dell'esistenza della soluzione dell'equazione differenziale a variabili separabili. Dimostrazione dell'unicità della soluzione dell'equazione differenziale a variabili separabili. Indebolimento dell'ipotesi del teorema, condizione di Lipschitz. Cenni al metodo numerico di Eulero esplicito. Cenni sulla trasformazione a sistema differenziale del I ordine. Teoremi di Peano e di Cauchy per Eq. differenziali del I ordine.

Esercitazioni

Esempi di risoluzione di Eq. differenziali a variabili separabili. Esempi di risoluzione di equazioni differenziali, sulle ipotesi del teorema di esistenza per le equazioni a variabili separabili, unicità e regolarità delle soluzioni. Esercizi di Eq. differenziali lineari del II ordine con radice doppia nell’eq. caratteristica. Oscillatore libero smorzato. Oscillatore forzato, metodo della variazione delle costanti. Risoluzione col metodo di sovrapposizione e similitudine per Eq. differenziali non-omogenee. Esempi: oscillatore armonico forzato, caso risonante e non risonante. Equazioni differenziali esatte. Applicazione della serie di Taylor alla risoluzione delle equazioni differenziali (oscillatore armonico ed equazione di Legendre).

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2. Calcolo infinitesimale per le curve

Curve e rappresentazione di funzioni in forma parametrica. Operazioni differenziali su funzioni vettoriali. Curva regolare e versore tangente. Esempi. Teorema fondamentale del calcolo integrale su funzioni vettoriali. Maggiorazione del modulo dell'integrale su vettori. Curve rettificabili, lunghezza di arco di curva, e formule di calcolo: caso esplicito. Formula della lunghezza di curva, caso parametrico (prima dimostrazione). Formula della lunghezza della curva, caso parametrico (altra dimostrazione come in [3]). Cambio di parametrizzazione delle curve. Coordinate polari. Ascissa curvilinea. Versore normale. Curvatura e raggio di curvatura, cerchio osculatore. Applicazioni alla cinematica. Differenziale di curva, integrale di linea. Applicazioni alla fisica: centroide, baricentro e momento di inerzia di una curva materiale. Curve definite da linee di livello di campi scalari.

Esercitazioni

Folium di Cartesio. Esempi di calcolo di lunghezze di curve (Circonferenza, Astroide, casi vari). Discussione sul teorema di Lagrange, calcolo del centroide, baricentro e momento di inerzia. Studio analitico della curva cicloide in forma parametrica.

3. Calcolo differenziale per funzioni di più variabili

Intorno sferico e limite di funzione n-dimensionale (vari casi). Problemi dei limiti in più dimensioni. Limite multiplo. Proprietà del limite n-dimensionale. Restrizione di una funzione ad una curva. Criterio di non esistenza del limite dimensionale. Definizioni sugli insiemi n-dimensionali. Insiemi aperti e chiusi. Derivata parziale. Derivabilità, gradiente. Retta tangente ad una curva, differenziale in una dimensione, infinitesimo di ordine superiore, "o-piccolo di Landau". Piano tangente. Differenziale totale, differenziabilità, esistenza del piano tangente. Differenziabilità in n-dimensioni. Iperpiano tangente. Condizione sufficiente di differenziabilità. Derivata direzionale. Formula del gradiente e direzione di massima pendenza. Derivazione di funzioni composte in Rn . Ortogonalità delle linee di livello col gradiente. Derivate parziali di

ordine superiore, teorema di Cauchy-Schwarz. Notazione multi-dimensionale delle derivate parziali. Continuità di Classe-k in n-dimensioni.

Ricerca di massimi e minimi in Rn

.

Differenziale secondo e matrice Hessiana. Forme

quadratiche, criterio di Sylvester, Ricerca di massimi, minimi e punti di sella con la matrice Hessiana. Funzioni implicite, teorema di Dini. Teorema di Dini per sistemi (cenni). Problemi di massimo e minimo vincolati. Teorema del moltiplicatore di Lagrange, metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

Esercitazioni

Esercitazioni sul calcolo di derivate parziali, differenziabilità ed esistenza del piano tangente. Esercizi: gradiente del paraboloide parabolico, studio della differenziabilità di funzioni. Esempi di calcolo di derivata direzionale e differenziabilità. Applicazione del differenziale alla legge di propagazione degli errori di misura. Ricerca degli estremali e delle curve di livello del paraboloide iperbolico. Studio del punto estremale di funzione di due variabili, con Hessiano e rotazione della funzione. Esercizi sul metodo dei moltiplicatori di Lagrange, massimizzazione della funzione entropia di informazione (Shannon).

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4. Calcolo integrale in più dimensioni

Integrale definito doppio. Integrazione per riduzione di domini "semplici" o "normali". Misura di insiemi regolari (cenni). Proprietà elementari dell'integrale doppio. Teorema della media e dell'annullamento. Metodo di calcolo degli integrali doppi. Cambio di variabili dell'integrale definito doppio. Determinante Jacobiano. Coordinate polari, singolarità della rappresentazione (cenni). Integrale doppio improprio (o generalizzato). Criteri di Cauchy di convergenza degli integrali impropri. Integrale triplo. Coordinate cilindriche e sferiche, cambio di coordinate nell'integrale triplo, elemento di volume. Calcolo del volume e della superficie di un solido ottenuto dalla rotazione di una curva. Baricentro, momento di inerzia e centroide in 2 e 3 dimensioni. Integrali dipendenti da parametro. Derivazione sotto il segno di integrale. Derivazione di funzioni definite tramite integrale dipendente da parametri.

Esercitazioni

Esercizi su integrali doppi definiti. Integrazione della funzione gaussiana su R ed R2. Esercizi vari

di calcolo di integrali doppi e tripli (volumi, centroide, momento di inerzia,...). Coordinate toriche ed elemento di superficie.

5. Approssimazione di funzioni con polinomi di Taylor.

Approssimazione polinomiale di funzioni, maggiorazione del resto del primo ordine. Polinomio di Taylor, formula ed unicità. Resto di Taylor in forma integrale e differenziale. Formula di Taylor in n-dimensioni. Resti di Lagrange e di Peano. Maggiorazione del resto di Taylor. Formula di Maclaurin.

Esercitazioni

Applicazione della formula di Taylor alla potenza di un binomio, coefficiente binomiale. Studio della formula di Taylor per le funzioni sen(x) ed ex, maggiorazione dell'errore, valutazione dell'approssimazione per eccesso e difetto del polinomio di Taylor.

6. Serie di potenze e di funzioni

Serie di potenze. Raggio di convergenza. Criteri del rapporto e della radice per il raggio di convergenza. Proprietà delle serie di potenze convergenti. Serie di Taylor, funzioni analitiche. Serie lacunari (cenni). Uso della serie di Taylor per il calcolo dei limiti e dell'o-piccolo di Landau.

Successioni e serie di funzioni: convergenza totale e teoremi sulla continuità, derivabilità ed integrabilità della serie. Convergenza uniforme. Criterio di Cauchy della convergenza uniforme. Teorema di continuità del limite di una successione di funzioni uniformemente convergente.

Esercitazioni

Calcolo del raggio di convergenza delle serie di potenze, esempio di non applicabilità del criterio del rapporto. Esempi vari di uso dello sviluppo di Taylor per il calcolo dei limiti. Serie di Taylor con stime di errore e studio della convergenza delle funzioni: arctan(x), ln(1+x), potenza reale del binomio (1+x)a. Applicazione della serie di Taylor al calcolo della lunghezza dell'ellisse (integrale ellittico di II specie), stima del resto.

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7. Teoria dei campi scalari e vettoriali

Campi scalari e vettoriali. Punti di regolarità per campi scalari, condizione sufficiente di regolarità. Linee di campo, equazione differenziale per le linee di campo in R2 ed R3. Punti

regolari di un campo vettoriale. Laplaciano, Rotore, Divergenza, esempi. Campi irrotazionali e solenoidali. Identità differenziali. Integrale di linea di un campo vettoriale: integrali di linea di seconda specie, lavoro e circuitazione. Campi conservativi e potenziali, campo gravitazionale. Relazione necessaria e sufficiente tra campi conservativi e potenziali. Campi irrotazionali. Domini semplicemente connessi. Relazione tra irrotazionalità e conservatività. Campi solenoidali e potenziale vettore. Validità locale dell'irrotazionalità e solenoidità. Differenziale esatto, forme differenziali lineari (cenni). Formula di Gauss-Green nel piano. Applicazione della formula di Gauss-Green per il calcolo delle aree di superfici piane.

Superfici in forma parametrica. Differenziale di area. Integrale di superficie, casi particolari. Applicazioni dell'integrale di superficie (centroide, baricentro, momento inerzia). Superfici orientate. Flusso del campo vettoriale. Teorema di Gauss dell'elettrostatica. Teorema della divergenza. Eq. di Poisson dell'elettrostatica. Teorema del rotore (Stokes), corrispondenza nel piano col teorema di Gauss-Green. Significato puntuale del rotore e della divergenza.

Esercitazioni

Campo elettrico e magnetico in R2. Circuitazione di un campo vettoriale. Campi conservativi e

differenziale esatto. Calcolo di aree con la formula di Gauss-Green, campi conservativi. Integrali di superficie e flusso di campi vettoriali. Esercizi sui teoremi della divergenza e del rotore. Applicazioni del teorema di Stokes.

Libri di testo consigliati

[1] M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa. "Analisi Matematica II". Zanichelli 2019. [2] S. Salsa, A. Squellati, "Esercizi di Analisi Matematica II". Zanichelli 2019.

- Appunti delle lezioni del corso di Analisi Matematica II per studenti di Fisica. Università di Salerno. A.A. 2020/21

Per consultazione su alcuni argomenti specifici

[3] V.I. Smirnov, "Corso di matematica superiore I " Editori Riuniti 1981. [4] V.I. Smirnov, "Corso di matematica superiore II" Editori Riuniti 1981.

Riferimenti

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