SOLUZIONI IN SERIE DI POTENZE DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI
~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Data un'equazione differenziale lineare di ordine n omogenea in forma normale 0
) ( ' ) ( )
( ( 1) 1
1 )
( +a x y − + +a − x y+a x y=
yn n L n n , (1)
è noto che non esistono procedimenti generali per individuare n soluzioni indipendenti che sarebbero necessarie per scriverne l'integrale generale (ciò può essere fatto solo in casi particolari, ad esempio se l'equazione è a coefficienti costanti).
Un procedimento che a volte consente di risolvere l'equazione (1) consiste nel cercare una soluzione y espressa da una serie di potenze, convergente in un opportuno intervallo. Come si vedrà negli esempi che seguono, questo procedimento risulta conveniente ad esempio quando i coefficienti della (1) sono polinomiali, sebbene anche in questo caso ci si possa trovare di fronte a notevoli difficoltà di calcolo.
Cominciamo ad illustrare il procedimento osservando il seguente caso particolare 0
2 =
′− xy
y . (2)
Si tratta naturalmente di una semplice equazione lineare omogenea, la cui soluzione generale si scrive immediatamente come y=cex2 , dato che x2 è una primitiva di 2x. Vediamo come si ottiene lo stesso risultato in modo alternativo. Supponiamo di non saper risolvere la (2), e cerchiamone una soluzione scritta come
∑
∞=
=
0 k
k kx a
y , dove la serie in questione ha un raggio di convergenza ρ non nullo(1). Poiché nell'intervallo di convergenza J = (−ρ , ρ) è lecito derivare ed integrare termine a termine, abbiamo
∑ ∑
∞=
+
∞
=
− = +
′=
0
1 1
1 ( 1)
k
k k k
k
kx k a x
ka
y (si ricordi che la serie così
ottenuta ha ancora raggio di convergenza ρ). Sostituendo tali serie nell'equazione (2), si trova:
0 2
) 1 (
0 1 0
1 − =
+
∑
∑
∞= +
∞
=
+
k k k k
k
k x a x
a
k . (3)
Traslando l'indice nella seconda serie, l'equazione (3) diventa
0 2
) 1 (
1 1 0
1 − =
+
∑
∑
∞=
−
∞
=
+
k
k k k
k
k x a x
a
k ,
cioè
[
( 1) 2]
01
1 1
1+
∑
∞ + − ==
− +
k
k k
k a x
a k
a . Perché questa equazione sia soddisfatta, occorre che sia a1 = 0, e inoltre che per ogni k = 1, 2, 3... sia (k + 1)ak+1 − 2ak−1 = 0, cioè
1
1 1
2
−
+ = + k
k a
a k . (4)
La formula (4) è una relazione di ricorrenza, cioè una regola che definisce un termine della successione con una formula che contiene uno o più dei termini precedenti. Una simile relazione, note alcune condizioni iniziali (il primo valore o i primi valori della successione), consente di determinare uno dopo l'altro i termini della successione in questione, anche se in generale non ci si può aspettare di trovare una formula "chiusa" che consenta di calcolare il k-esimo termine in modo
"diretto", cioè senza dover calcolare esplicitamente tutti i termini precedenti.
Nel nostro caso la successione {ak} si determina facilmente, visto che ciascun ak è definito come un opportuno multiplo del termine che sta due posti prima. Applicando la (4) con k = 1, 3, 5, ecc. si trova
0 0
2 2
2a a
a = = ;
2 4
2 0
2 4
a a
a = = ;
6 6
2 0
4 6
a a
a = = ,
e così via. Poiché nei passaggi successivi il termine trovato viene diviso per 4, poi per 5, ecc..., deduciamo che in generale vale la formula
!
0
2 k
a k = a (2).
Inoltre, essendo a1 = 0, vediamo subito che tutti i termini a3, a5, a7,... sono nulli. In conclusione, posto a0 = c, possiamo esprimere la soluzione nella forma
∑
∞=
=
+ + +
=
0 2 4
2
!
! 2
! 1 1
k k
k c x x
c x
y L .
Ricordando lo sviluppo in serie della funzione esponenziale, vediamo subito che la y trovata non è altro che cex2, come ci aspettavamo.
Consideriamo ora un esempio in cui è impossibile esprimere in modo analitico la soluzione utilizzando le "ordinarie" funzioni trascendenti elementari. Si debba risolvere l'equazione
0
=
′′ xy−
y , (5)
detta equazione di Airy. Si tratta di un'equazione lineare omogenea del secondo ordine, ciascuna soluzione della quale è ovviamente definita in tutto . Per esprimere l'integrale generale, dovremmo individuare due soluzioni della (5) linearmente indipendenti, diciamo u1(x) e u2(x), per poi scrivere y = c1u1(x) + c2u2(x), con c1 e c2 costanti reali arbitrarie, ma purtroppo in questo caso non è possibile determinare analiticamente tali soluzioni (si sa che un'equazione lineare di ordine n ≥ 2 a coefficienti qualsiasi è esattamente risolubile solo in casi particolari).
Procediamo allora come nell'esempio precedente, ponendo
∑
∞=
=
0 k
k kx a
y , dove supponiamo che la serie abbia raggio di convergenza ρ > 0. Abbiamo già visto che derivando la serie, si trova
∑
∞=
+ +
′=
0
) 1
1 (
k
k
k x
a k
y ; derivando di nuovo, si ha
∑ ∑
∞=
+
∞
=
−
+ = + +
+
′′=
0
2 1
1
1 ( 1)( 2)
) 1 (
k
k k k
k
k x k k a x
a k k
y ;
2 In questo caso è stato abbastanza facile dedurre la formula generale per a , ma a rigore le formule dedotte dall'analisi
sostituendo nella (5), otteniamo
0 )
2 )(
1 (
0 1 0
2 − =
+
+
∑
∑
∞=
∞ +
=
+ k
k k k
k
k x a x
a k
k ,
cioè, traslando l'indice nella seconda serie:
0 )
2 )(
1 (
1 1 0
2 − =
+
+
∑
∑
∞=
−
∞
=
+ k
k k k
k
k x a x
a k
k ,
che si può anche scrivere 2
[
( 1)( 2)]
01
1 2
2+
∑
∞ + + − ==
− + k
k k
k a x
a k k
a . Deduciamo allora che deve
essere a2 = 0, e inoltre
) 2 )(
1
( 1
2 = + − +
+ k k
ak ak per ogni k ≥ 1.
In questo caso ciascun termine della successione {ak} si ottiene come un opportuno multiplo del termine che si trova tre posti prima. Otteniamo allora facilmente
a2 = a5 = a8 = ... = 0;
3 2
0 3 = a⋅
a ,
6 5 3 2 6 5
0 3
6 = ⋅ ⋅ ⋅
= a⋅ a
a ,
9 8 6 5 3 2 9 8
0 6
9 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= a⋅ a
a , ...;
4 3 1
4 = a⋅
a ,
7 6 4 3 7
6 4 1
7 = ⋅ ⋅ ⋅
= a⋅ a
a ,
10 9 7 6 4 3 10
9 1
7
10 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= a⋅ a
a , ...,
e in questo modo abbiamo ottenuto tutti i coefficienti della serie. Ora vediamo che è possibile esprimere in modo più compatto i termini a3k ed a3k+1, ragionando come segue. Osserviamo che la frazione
3 2⋅0
a si può scrivere come 0 3 2 1
1 a
⋅
⋅ , per cui è 3 0
! 3 1a
a = ; se nella frazione
6 5 3 2⋅ ⋅0 ⋅
a desideriamo "completare" il denominatore allo scopo di ottenere un fattoriale, possiamo scrivere
0 0
6 6!
4 1 6 5 4 3 2 1
4
1 a a
a ⋅
⋅ =
⋅
⋅
⋅
⋅
= ⋅ , ed allo stesso modo si ha 9 0 0
! 9
7 4 1 9 8 6 5 3
2 a a
a ⋅ ⋅
⋅ =
⋅
⋅
⋅
= ⋅ , e così via.
In modo simile, si ha 4 1
! 4 2a
a = , 7 1
! 7
5
2 a
a ⋅
= , 10 1
! 10
8 5
2 a
a ⋅ ⋅
= , ecc.
Possiamo allora scrivere l'integrale generale dell'equazione di Airy come segue:
+L
⋅ + ⋅
⋅ + ⋅ + ⋅
+ ⋅ +
+ +
= 1 2 1 3 2 4 1 6 2 7 1 9 2 10
! 10
8 5 2
! 9
7 4 1
! 7
5 2
! 6
4 1
! 4 2
! 3
1c x c x c x c x c x c x
x c c
y , (6)
dove abbiamo sostituito a0 ed a1 rispettivamente con c1 e c2. Volendo, possiamo separare nella (6) i termini contenenti c1 da quelli contenenti c2, trovando così
⋅ ⋅ +
⋅ + + +
+
⋅ ⋅ +
⋅ + + +
= 3 6 9 L 2 4 7 10 L
1 10!
8 5 2
! 7
5 2
! 4 2
! 9
7 4 1
! 6
4 1
! 3
1 1x x x c x x x x
c
y , (7)
il che mostra che l'integrale generale della (4) si può scrivere come combinazione lineare delle seguenti funzioni:
∑
∞=
−
⋅
⋅ + ⋅
=
⋅ + + ⋅ + ⋅
+
=
1
3 9
6 3
)!
3 (
) 2 3 ( 4 1 1
! 9
7 4 1
! 6
4 1
! 3 1 1 ) (
k
x k
k x k
x x
x
f L
L ;
∑
∞=
+
+
−
⋅
⋅ + ⋅
=
⋅ + + ⋅ + ⋅
+
=
1
1 3 10
7 4
)!
1 3 (
) 1 3 ( 5 2
! 10
8 5 2
! 7
5 2
! 4 ) 2
(
k
x k
k x k
x x
x x x
g L
L .
Osserviamo che entrambe le funzioni sopra definite hanno dominio , come era logico aspettarsi. Infatti, per quanto riguarda la funzione f, il criterio del rapporto dà:
+∞
= + +
+ =
= + +
+
−
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
=
=
ρ →∞ + →∞ →∞ lim→∞(3 3)(3 2)
) 1 3 ( )!
3 (
)!
3 3 lim ( )!
3 3 (
) 1 3 )(
2 3 ( 4 1
)!
3 (
) 2 3 ( 4 1 lim lim
1
k k k
k k k
k k
k k a
a
n n
k n k
k L
L
,
ed in modo analogo per la g si trova:
+∞
= + +
+ = +
= + +
+
−
⋅
⋅
⋅
+
−
⋅
⋅
⋅
=
=
ρ →∞ + →∞ →∞ lim→∞(3 4)(3 3)
) 2 3 ( )!
1 3 (
)!
4 3 lim ( )!
4 3 (
) 2 3 )(
1 3 ( 5 2
)!
1 3 (
) 1 3 ( 5 2 lim lim
1
k k k
k k k
k k k
k a
a
n n
k n k
k L
L
.
*********************************
Osservazione. Si possono scrivere diversamente i coefficienti che appaiono nelle definizioni delle due funzioni f e g, ricordando le proprietà della funzione gamma. Infatti si ha
Γ
+ Γ
=
−
⋅
⋅
⋅
=
−
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
−
⋅
⋅
⋅
3 1
3 1 3 3
2 3 3 4 3 3 1 3
2 3 3
3 3 4 3 3 1 ) 2 3 ( 4 1
k k
k L k k L k
L ;
Γ
+ Γ
=
−
⋅
⋅
⋅
=
−
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
−
⋅
⋅
⋅
3 2
3 2 3 3
1 3 3 5 3 3 2 3
1 3 3 3
3 5 3 3 2 ) 1 3 ( 5 2
k k
k L k k L k
L .
Siccome poi per k = 0 l'espressione
Γ
+ Γ
3 1
3 1 3
k
k vale 1, ed analogamente
Γ
+ Γ
3 2
3 2 3
k
k si
riduce ad 1 per k = 0, le funzioni f e g si possono anche scrivere
∑
∞=
+ Γ
Γ
=
0
3
)!
3 (
3 3 1
3 1 ) 1 (
k
k k
k x k x
f ;
∑
∞=
+
+
+ Γ
Γ
=
0
1 3
)!
1 3 (
3 3 2
3 2 ) 1 (
k
k k
k x k x
g .
*********************************
Un altro interessante esempio di equazione risolubile in serie è la seguente
(1 − x2)y'' − 2xy + α(α + 1)y = 0, (8)
dove α è un parametro reale. Essa viene detta equazione di Legendre. È possibile ridurre la (8) a forma normale ad esempio nell'intervallo (−1 , 1) dividendo tutto per 1 − x2:
1 0 ) 1 ( 1
2
2
2 =
− + α +α
− ′
′′− y
y x x
y x , (9)
cosicché, se cerchiamo una soluzione della (9) scritta come
∑
∞=
=
0 k
k kx a
y , dobbiamo aspettarci che la serie risultante abbia raggio di convergenza non superiore ad 1. Essendo
∑
∞=
+ +
′=
0
) 1
1 (
k
k
k x
a k
y e
∑
∞=
+ +
+
′′=
0
) 2
2 )(
1 (
k
k
k x
a k k
y , sostituiamo tali espressioni nella (9) (o meglio nella (8), che è più facile da trattare essendo in forma intera) ed otteniamo l'equazione
0 )
1 ( )
1 ( 2 )
2 )(
1 ( ) 1 (
0 0
1 0
2
2 + + − + +α α+ =
−
∑ ∑ ∑
∞=
∞
=
+
∞
=
+
k k k k
k k k
k
k x x k a x a x
a k k
x ,
che si può trasformare come segue:
0 )
1 ( )
1 ( 2 )
2 )(
1 ( )
2 )(
1 (
0 0
1 1 0
2 2 0
2 − + + − + +α α+ =
+
+
∑ ∑ ∑
∑
∞=
∞
=
+ +
∞
=
+ +
∞
=
+
k k k k
k k k
k k k
k
k x k k a x k a x a x
a k
k ;
0 )
1 ( 2
) 1 ( )
2 )(
1 (
0 1
2 0
2 − − − +α α+ =
+
+
∑ ∑ ∑
∑
∞=
∞
=
∞
=
∞
=
+
k k k k
k k k
k k k
k
k x k ka x ka x a x
a k
k ;
+
−
−
−
− +
+ +
+
∑ ∑ ∑
∞=
∞
=
∞
=
+
2 1
2 2
2 3
2 6 ( 1)( 2) ( 1) 2 2
2
k
k k k
k k k
k
k x k ka x a x ka x
a k k x
a a
0 )
1 ( )
1 ( )
1 (
2 1
0+α α+ +α α+ =
+ α α
+
∑
∞k= k kx a x
a
a ;
(
− +α α+)
++ + α α
+ a a a a x
a2 ( 1) 0 6 3 2 1 ( 1) 1 2
[
( 1)( 2) ( 1) 2 ( 1)]
02
2− − − +α α+ =
+ + +
∑
∞=
+ k
k k k
k
k k ka ka a x
a k
k .
Affinché valga l'identità, deve essere 2a2 + α(α + 1)a0 = 0, 6a3 + (α2 + α − 2)a1 = 0, e inoltre (k + 1)(k + 2)ak+2 − [k(k − 1) + 2k −α(α + 1)]ak = 0 per ogni k ≥ 2. Abbiamo allora:
0
2 2
) 1
( a
a α α+
−
= ; 3 1
6 ) 2 )(
1
( a
a α− α+
−
= ;
e inoltre k ak
k k
k a k
) 2 )(
1 (
) 1 )(
(
2 + +
+ + α
−
− α
+ = per k ≥ 2. Poiché ciascun termine è definito come un multiplo del termine che lo precede di due posti, è conveniente distinguere i due casi k pari e k dispari. Per k pari si ha successivamente:
(k = 2)
[ ] [ ]
0 0
2
4 4!
) 3 )(
1 ( ) 2 ( 2
) 1 ( 4
3
) 3 )(
2 ( 4
3
) 3 )(
2
( a a a
a α α− ⋅ α+ α+
=
α α+
−
⋅ + α
−
− α
⋅ = + α
−
− α
=
(k = 4) =
α α− α+ α+
⋅ + α
−
− α
⋅ = + α
−
− α
= 4 0
6 4!
) 3 )(
1 )(
2 ( 6
5
) 5 )(
4 ( 6
5
) 5 )(
4
( a a
a
[ ] [ ]
! 0
6
) 5 )(
3 )(
1 ( ) 4 )(
2
(α− α− ⋅ α+ α+ α+ a
− α
= .
Proseguendo con k = 6, 8,..., è chiaro che per gli indici pari (da 2 in poi) si ha
[ ] [ ]
0
2 (2 )!
) 1 2 ( ) 3 )(
1 ( ) 2 2 ( ) 2 ) (
1
( a
k
k a k k α α− α− k+ ⋅ α+ α+ α+ −
−
= L L .
Allo stesso modo, per k uguale successivamente a 3, 5, ecc., si trova:
[ ] [ ]
1 1
3
5 5!
) 4 )(
2 ( ) 3 )(
1 ( 6
) 2 )(
1 ( 5
4
) 4 )(
3 ( 5
4
) 4 )(
3
( a a a
a α− α− ⋅ α+ α+
=
α− α+
−
⋅ + α
−
− α
⋅ = + α
−
− α
=
[ ] [ ]
+ = α + α
⋅
− α
−
α
⋅ + α
−
− α
⋅ = + α
−
− α
= 5 1
7 5!
) 4 )(
2 ( ) 3 )(
1 ( 7
6
) 6 )(
5 ( 7
6
) 6 )(
5
( a a
a
[ ] [ ]
! 1
7
) 6 )(
4 )(
2 ( ) 5 )(
3 )(
1
(α− α− α− ⋅ α+ α+ α+ a
−
= ,
e in generale
[ ] [ ]
1 1
2 (2 1)!
) 2 ( ) 4 )(
2 ( ) 1 2 ( ) 3 )(
1 ) (
1
( a
k
k a k k k
+
+ α +
α + α
⋅ +
− α
− α
−
− α
+ =
L
L .
Le formule così trovate ci consentono di scrivere esplicitamente l'integrale generale della (8) nell'intervallo (−1 , 1). Abbiamo infatti, considerando i soli termini di grado pari, la serie
[ ] [ ]
kk
k x
k
k x k
u 2
1
1 (2 )!
) 1 2 ( ) 3 )(
1 ( ) 2 2 ( ) 2 ) (
1 ( 1 )
(
∑
∞=
− + α +
α + α
⋅ +
− α
− α
− α +
= L L , (10)
e considerando i soli termini di grado dispari:
[ ] [ ]
2 10
2 (2 1)!
) 2 ( ) 4 )(
2 ( ) 1 2 ( ) 3 )(
1 ) (
1 ( )
( ∞ +
=
∑
− α− α− α− + +⋅ α+ α+ α+= k
k
k x
k
k x k
u L L , (11)
per cui l'integrale generale si può scrivere come y = c1u1(x) + c2u2(x). Non è difficile osservare che ciascuna delle due serie (10) e (11) ha raggio di convergenza 1, e pertanto l'integrale generale trovato è valido in (−1 , 1). Infatti, si ha per la (10):
[ ] [ ]
[ ] [ ]
=+
+ + α
− + α +
α + α
⋅
− α +
− α
− α α
− + α +
α + α
⋅ +
− α
− α α
= ρ →∞
)!
2 2 (
) 1 2 )(
1 2 ( ) 3 )(
1 ( ) 2 )(
2 2 ( ) 2 (
)!
2 (
) 1 2 ( ) 3 )(
1 ( ) 2 2 ( ) 2 ( lim
k
k k
k k
k
k k
k L L
L L
[ ] [ ]
[
α α− α− + α−] [
⋅ α+ α+ α+ − α+ +]
=+ +
− + α +
α + α
⋅ +
− α
− α
= α
∞
→ ( 2) ( 2 2)( 2 ) ( 1)( 3) ( 2 1)( 2 1)
) 1 2 )(
2 2 ( ) 1 2 ( ) 3 )(
1 ( ) 2 2 ( ) 2 lim (
k k
k k
k k
k k
k L L
L L
) 1 1 2 )(
2 (
) 1 2 )(
2 2
lim ( =
+ + α
− α
+
= +
∞
→ k k
k k
k ,
ed analogamente per la (11):
[ ] [ ]
[ ] [ ]
=+
+ + α +
α + α
⋅
−
− α +
− α
− α
− α
+
+ α +
α + α
⋅ +
− α
− α
− α
= ρ →∞
)!
3 2 (
) 2 2 ( ) 4 )(
2 ( ) 1 2 )(
1 2 ( ) 3 )(
1 (
)!
1 2 (
) 2 ( ) 4 )(
2 ( ) 1 2 ( ) 3 )(
1 ( lim
k
k k
k
k
k k
k L L
L L
) 1 2 2 )(
1 2 (
) 2 2 )(
3 2
lim ( =
+ + α
−
− α
+
= +
∞
→ k k
k k
k .
La (10) contiene solo termini di grado pari, pertanto è una funzione pari, ed analogamente la (11) dà una funzione dispari.
Ci possiamo chiedere ora se per particolari valori positivi del parametro α le serie (10) e (11) si riducano a somme finite. Ad esempio, per quanto riguarda la u1, scritta come nella (10), il modulo
del coefficiente di x2k è
( ) ( )
)!
2 (
) 1 2 ( ) 3 )(
1 ( ) 2 2 ( ) 2 (
k
k k+ ⋅ α+ α+ α+ −
− α
− α
α L L
, che è nullo per α
naturale pari. Ad esempio, per α = 8 è 36
2 ) 1 8 ( 8
! 2
) 1 (
2 + =−
− + = α
−α
=
a , α α− α+ α+ =
= 4!
) 3 )(
1 )(
2 (
a4
24 198 ) 3 8 )(
1 8 ( 6
8⋅ ⋅ + + =
= ,
5 1716
! 6
) 13 11 9 ( ) 4 6 8 (
6 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
−
=
a ,
7 1287
! 8
) 15 13 11 9 ( ) 2 4 6 8 (
8 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
=
a ,
ma a10 è nullo, perché il primo prodotto diventa 8⋅6⋅4⋅2⋅0, e grazie alla formula
k
k a
k k
k a k
) 2 )(
1 (
) 1 )(
(
2 + +
+ + α
−
− α
+ = tutti i coefficienti successivi sono nulli. Dunque in questo caso la serie si riduce ad un polinomio, precisamente 2 4 6 8
7 1287 5
198 1716 36
1− x + x − x + x . In modo
analogo, la serie (11) diventa un polinomio solo se α è un naturale dispari. Le soluzioni polinomiali che si ottengono dall'equazione (8) sotto tali ipotesi sono conosciute come polinomi di Legendre.
Il procedimento visto sopra si potrebbe generalizzare, considerando coefficienti non necessariamente polinomiali. Ad esempio, consideriamo nel caso n = 2 la generica equazione del secondo ordine omogenea in forma normale
y'' + a(x)y' + b(x)y = 0, (12)
e supponiamo che le funzioni a(x) e b(x) siano analitiche, cioè che ciascuna delle due ammetta uno sviluppo in serie di potenze valido in un intervallo (−ρ , ρ). In queste ipotesi, si può dimostrare che l'integrale generale della (12) è anch'esso dato da una serie di potenze convergente nello stesso intervallo. C'è però una grave difficoltà pratica nell'applicazione di questo procedimento: infatti in
formula esplicita che però contiene tutti i termini precedentemente calcolati. Perciò, è possibile calcolare uno dopo l'altro un qualsiasi numero di coefficienti, ma in generale non si riesce a scrivere una formula esplicita che fornisca direttamente ak per un generico k.
In realtà, la difficoltà di scrivere una formula chiusa per ak si presenta anche quando la relazione di ricorrenza contiene sempre lo stesso numero di termini. Possiamo renderci conto di questa difficoltà tramite un esempio apparentemente simile all'equazione di Airy; sia ad esempio da risolvere l'equazione y'' − (x + 1)y = 0. Questa volta scriviamo in modo un po' diverso la soluzione cercata, precisamente poniamo
∑
∞=
=
0 !
k
k k k a x
y : abbiamo allora
∑ ∑
∞= +
∞
=
−
− =
′=
0 1 1
1
! )!
1
( k
k k k
k
k k
a x k
a x
y e
∑
∞=
= +
′′
0
2 !
k
k
k k
a x
y ; sostituendo nell'equazione, troviamo
! 0
!
! 0 0
1
0
2 −
∑
−∑
=∑
∞=
∞
=
∞ +
= +
k
k k k
k k k
k
k k
a x k
a x k
a x ,
cioè 0
! )!
1 (
! 1 1 0
0
2 − =
−
∑
−∑
∑
∞=
∞
=
−
∞
= +
k
k k k
k k k
k
k k
a x k
a x k
a x , che si può anche scrivere nella forma
! 0 )
(
1
1 0 2
2 − − =
+
−
∑
∞=
− +
k
k k k
k x
k a ka a a
a . Abbiamo allora a2 = a0, e inoltre ak+2 = ak + kak−1 per ogni k da 1 in avanti.
Ora, applicando ripetutamente la formula di ricorrenza appena trovata, possiamo calcolare i primi coefficienti della serie:
a3 = a1 + a0; a4 = a2 + 2a1 = a0 + 2a1; a5 = a3 + 3a2 = 4a0 + a1; a6 = a4 + 4a3 = 5a0 + 6a1; a7 = a5 + 5a4 = 9a0 + 11a1,
e così via. Se ad esempio abbiamo le condizioni iniziali y(0) = 1 e y'(0) = 2 (il che equivale a scegliere a0 = 1 ed a1 = 2), troviamo a2 = 1, ed inoltre i coefficienti a3, ..., a7 valgono rispettivamente 3, 5, 6, 17 e 31. Quindi i primi termini dello sviluppo in serie della soluzione sono
+L +
+ +
+ + + +
= 2 3 4 5 6 7
5040 31 720
17 20
1 24
5 2
1 2 2 1
1 x x x x x x x
y , e di conseguenza si può
approssimare la y con il polinomio 7 2 3 4 5 6 7
5040 31 720
17 20
1 24
5 2
1 2 2 1 1 )
(x x x x x x x x
P = + + + + + ++ + ,
che è il polinomio di Taylor del 7° ordine della y. Purtroppo però in questo caso risulta impossibile esprimere il generico ak, cioè trovare una formula "chiusa" che consenta di calcolare ak senza dover conoscere esplicitamente tutti i termini precedenti.
METODI DI PERTURBAZIONE
~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Il procedimento visto sopra consente di esprimere la soluzione di un'equazione differenziale (in particolare lineare) attraverso una serie di potenze: da ciò si può ricavare nei casi più "fortunati"
l'espressione esplicita della soluzione (nel senso che si conoscono tutti i coefficienti della serie), altrimenti si trova almeno un polinomio, che per x "sufficientemente vicino" a 0 dà un'approssimazione della funzione.
Vediamo qui ora un diverso procedimento, applicabile in alcuni casi quando uno o più coefficienti di un'equazione lineare vengono "variati" in termini di un parametro che si suppone assuma valori abbastanza piccoli.
È noto che l'equazione y'' + ω2y = 0 è sempre risolubile analiticamente, e il suo integrale generale è y0 = c1 cosωx + c1 sen ωx. In particolare, per ω = 1 l'equazione diventa y'' + y = 0, che ha integrale generale y0 = c1 cos x + c1 sen x. Ora, si consideri l'equazione
y'' + (1 + ε)y = 0, (13)
in cui il coefficiente 1 è stato "perturbato" con l'aggiunta di un parametro ε. Per semplicità, aggiungiamo delle condizioni iniziali; ad esempio, posto y(0) = 1 ed y'(0) = 2, l'equazione y'' + y = 0 avrà la soluzione y0 = cos x + 2 sen x; per quanto riguarda l'equazione perturbata (13), è facile scriverne esplicitamente la soluzione: essendo l'integrale generale c1cos(x 1+ε)+c2sen(x 1+ε), ponendo le stesse condizioni iniziali si trova la soluzione sen( 1 )
1 ) 2 1
cos( +ε
ε + + ε +
= x x
y .
Ora, proviamo ad affrontare il problema partendo da un diverso punto di vista. Invece di scrivere la soluzione come serie di potenze di x, scriviamo
n n
n x y y=
∑
∞ ε=
) (
0
, (14)
cioè y = y0(x) + εy1(x) + ε2y2(x) + ...; in altre parole, la (14) esprime la soluzione come serie di potenze nella variabile ε, ovviamente con coefficienti dipendenti da x. Derivando la serie (14) termine a termine, troviamo n
n n x y y′=
∑
∞ ′ ε=
) (
0
e n
n n x y y′′=
∑
∞ ′′ ε=
) (
0
(3). Per quanto riguarda le condizioni iniziali, un modo semplice di porre tali condizioni è il seguente: se scriviamo y0(0) = 1 ed
) 0
0(
y′ = 2, ed inoltre yn(0) = 0 ed y′n( =0) 0 per ogni n ≥ 1, la funzione definita dalla (14) verificherà le condizioni iniziali dette prima, cioè y(0) = 1 ed y'(0) = 2(4).
Sostituendo allora la (14) e le sue derivate nell'equazione (13), si trova 0
) ( ) 1 ( ) (
0 0
= ε ε
+ +
′′ ε
∑
∑
∞=
∞
=
n n
n n
n
n x y x
y ;
0 )
( )
( )
( 1
0 0
0
= ε +
ε +
′′ ε +
∞
=
∞
=
∞
=
∑
∑
∑
nn n n
n n n
n
n x y x y x
y ,
cioè, traslando l'indice nella terza serie:
0 ) ( )
( )
(
1 1 0
0
= ε +
ε +
′′ ε
∑ ∑
∑
∞=
−
∞
=
∞
=
n n
n n
n n n
n
n x y x y x
y ,
3 Questi passaggi dovrebbero essere giustificati in maniera più rigorosa. Sappiamo infatti che per le serie di potenze non vi è alcun problema nella derivazione termine a termine (la serie delle derivate dà la derivata della serie all'interno dell'intervallo di convergenza); per una generica serie di funzioni, la derivazione è lecita (e si ottiene come somma la derivata della serie data) se vale l'ipotesi di convergenza uniforme della serie delle derivate (mentre non è sufficiente l'ipotesi di convergenza uniforme della serie assegnata).
4 In alternativa, si possono anche dare le condizioni iniziali sulle y in altri modi; ad esempio, si può porre y(0) = h ed
che si può anche scrivere ( ) ( )
[
( ) ( ) ( )]
01
1 0
0′′ + +
∑
∞ ′′ + + ε ==
− n
n n
n
n x y x y x
y x
y x
y .
Affinché valga questa identità, occorre che sia y0′′(x)+y0(x)=0, come detto prima con le condizioni y0(0) = 1 ed y′0(0) = 2, e inoltre che per ogni n ≥ 1 sia yn′′(x)+yn(x)=−xyn−1(x) con yn(0) = 0 ed y′n(0) = 0. Dunque ciascuna yn si determina risolvendo un problema di Cauchy lineare (omogeneo solo nel caso n = 0). Ad esempio, essendo y0 = cos x + 2 sen x, la y1 si trova risolvendo il problema di Cauchy non omogeneo
′ =
=
−
−
=
−
=
′′ + . 0 ) (
0 ) (
sen 2 cos )
( )
( ) (
1 1
0 1
1
x y
x y
x x
x y x y x y
L'integrale generale dell'equazione omogenea è ovviamente c1 cos x + c1 sen x; perciò si deve cercare una soluzione particolare y del tipo Ax cos x + Bx sen x. Derivando e sostituendo, si trova
facilmente x x
x x
y sen
cos −2
= , ed imponendo le condizioni iniziali si ottiene infine la funzione x
x x x
x x x x x
y sen cos
1 2 2sen
cos
1 sen +
+
−
=
− +
−
= . Procedendo allo stesso modo, la funzione
y2 è la soluzione del problema di Cauchy
′ =
=
−
+
=
′′ +
, 0 ) (
0 ) (
cos 2 sen
1 ) ( ) (
2 2
2 2
x y
x y
x x x x
x y x y
perciò
x x x x
x
y x sen
4 cos 8
8 34
2 2
2
−
+
+
−
= . Pur non essendo possibile dare una formula esplicita per
la generica funzione yn, questo procedimento consente di ricavare una dopo l'altra tali funzioni, e quindi di scrivere quanti termini vogliamo della serie (14).
Ora, se ε è un numero abbastanza piccolo, possiamo supporre che da un certo n in avanti i termini della (14) diventino trascurabili, e quindi che la soluzione della (13) si approssimi abbastanza bene anche limitandosi a pochi termini della serie. Ad esempio, utilizzando le funzioni y0, y1, y2 appena calcolate, possiamo scrivere la ridotta di ordine 2 della serie (14), che indicheremo con s2(x):
=
−
+
+
− ε
+
+
+
− ε + +
= x x x
x x x x
x x x
x x
x
s sen
4 cos 8
8 34 cos
2 sen 1 sen
2 cos ) (
2 2 2
2
x x x x x
x
x x sen
4 8
2 2 8 cos
3 4 1
2 2 2 2
2
2
ε +ε −ε
− ε
−
+
+ε − ε −ε
= .
Ovviamente questa funzione soddisfa le condizioni iniziali, ma essendo stata ottenuta troncando la serie essa non è la soluzione "esatta" del problema di Cauchy. Per valutare meglio l'errore, si potrebbe considerare la differenza tra la soluzione esatta e la s2, ma in tal modo si ottiene una funzione z(x)= y(x)−s2(x) difficile da trattare (essenzialmente per l'impossibilità di determinare in modo esatto gli zeri della derivata). Supponiamo però di calcolare le derivate e sostituirle nel primo membro dell'equazione (13): se z fosse la soluzione esatta ovviamente si otterrebbe 0, perciò questo calcolo può dare un'idea della discrepanza tra z e la soluzione esatta.
Siccome sen( 1 )
1 ) 2 1
cos( +ε
ε + + ε
+ x
x verifica il problema di Cauchy con condizioni iniziali 1 e 2, è sufficiente considerare la sola funzione
x x x x x
x x x
x
v sen
4 8
2 2 8 cos
3 4 1
)
( 2 2 2 2 2 2
ε +ε −ε
− ε
−
−
+ε − ε −ε
−
= .
Il calcolo delle derivate dà:
x x x x
x x x x x
v sen
8 4
3 4
3 1 2
4 cos 8
2 4 2 3 )
( 2 2 2 2 2 2 2 2
ε
ε −
− ε ε + ε+ +
+
ε
ε + ε + ε + +
−
′ = ;
x x x x x
x x x
x
v sen
4 8
3 2 2 2 3
8 cos 4
4 1 5
) (
2 2 2 2
2 2 2 2
ε
ε − ε − ε −
− ε +
+
ε
ε −
− ε ε + + ε +
′′ = .
Sostituendo nel primo membro della (13), si trova:
+
ε
ε − ε − ε −
− ε +
+
ε
ε −
− ε ε + + ε
+ x x x x
x x
x x sen
4 8
3 2 2 2 3
8 cos 4
4 1 5
2 2 2 2
2 2 2 2
=
ε +ε −ε
− ε
−
−
+ε − ε −ε
− ε +
+ x x x x
x x
x x sen
4 8
2 2 8 cos
3 4 1
) 1 (
2 2 2 2
2 2
=
ε
ε + ε −
−
+
ε
ε + ε +
ε −
= x x x
x x x
x sen
4 8 cos 2
8 4
3 2 4
5 2 2 3 3 2 2 3 3 2
ε
ε +
−
−
+
ε
ε + +
− ε
= x x x
x x x
x sen
4 8 2 cos 1
8 4 3 2 4
5 2 2
2 .
Come si è visto, i termini in ε di grado inferiore a 2 si sono cancellati, per cui è stato possibile raccogliere un fattore ε2; questo è un esempio di ciò che in realtà accade in generale: troncando la serie (14) al termine di grado N si ha una funzione che per ε → 0 tende alla soluzione con ordine di infinitesimo N , e ciò è vero per ogni x del dominio.
Vediamo ora l'applicazione di questo metodo ad un altro caso. Si consideri l'equazione
y'' + (1 + εx)y = 0, (15)
ancora con le condizioni iniziali y(0) = 1 ed y'(0) = 2. Questa volta non è possibile scrivere in modo esatto la soluzione dell'equazione; tralasciando l'eventuale soluzione in serie di potenze (che solleva problemi simili a quelli dell'ultimo esempio del paragrafo precedente), vediamo cosa succede
ponendo come sopra n
n n x y y=
∑
∞ ε=
) (
0
. Come nel caso precedente, poniamo y0(0) = 1, y′0(0) = 2, e yn(0) = y′n( =0) 0 per n ≥ 1. Effettuando la derivazione due volte e sostituendo nella (15), troviamo:
0 ) ( ) 1 ( ) (
0 0
= ε ε
+ +
′′ ε
∑
∑
∞=
∞
=
n n
n n
n
n x x y x
y ;
0 )
( )
( )
( 1
0 0
0
= ε +
ε +
′′ ε +
∞
=
∞
=
∞
=
∑
∑
∑
nn n n
n n n
n
n x y x x y x
y ,
0 ) ( )
( )
(
1 1
0 0
= ε +
ε +
′′ ε
∑ ∑
∑
∞=
−
∞
=
∞
=
n n
n n
n n n
n
n x y x x y x
y ,
∞