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testo dell'appello scritto del 14 luglio 2014

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Universit`a degli Studi di Udine Anno Accademico 2013/2014 Dipartimento di Matematica e Informatica

Corso di Laurea in Matematica

Equazioni Differenziali

Appello del 14 luglio 2014

N.B.: scrivere nome, cognome e numero di matricola su ogni foglio consegnato. `E ammesso l’utilizzo degli appunti del corso. Tempo a disposizione: 3 ore

1 Data l’equazione differenziale del secondo ordine

x00+ x(x0)2+ x(1 − x2) = 0, (1)

a) trasformarla in un sistema 2 × 2 del primo ordine, della forma (

x0= a(x, y)

y0 = b(x, y); (2)

b) studiare l’esistenza e l’unicit`a locale per i relativi problemi di Cauchy. Disegnare l’andamento del campo vettoriale. Valgono le ipotesi dei teoremi di esistenza globale?

c) Trovare gli equilibri del sistema e studiare la loro stabilit`a lineare ed eventualmente non lineare; d) detta ω(x, y) la 1-forma differenziale associata al sistema, dopo avere verificato che ω non `e

esatta, trovare un fattore integrante λ e utilizzarlo per trovare una primitiva F di λω; e) utilizzare F per studiare l’orbita delle soluzioni di (2) e di (1);

f) esistono orbite periodiche? E orbite limitate e non periodiche? In caso positivo, trovare un’equazione integrale per il periodo delle soluzioni periodiche in dipendenza dal dato iniziale; g) dimostrare che tutte le soluzioni non limitate di (2) o di (1) sono globalmente definite in futuro

e/o in passato. Studiare il loro comportamento agli estremi del dominio massimale.

2 Trovare esplicitamente la soluzione del seguente problema di Cauchy per il sistema lineare non omogeneo            y01= −y1+ y3+ et y02= 2y1− 3y2+ 5y3+ et y03= y1− y2+ y3− et y(0) = (y1(0), y2(0), y3(0)) = (1, 0, 1).

3 Data A ∈ GL(n, R) matrice invertibile, si consideri il problema di Cauchy y0 = Ay + b, y(t0) = y0,

con b ∈ Rn fissato.

a) Verificare che etA= dtd etAA−1;

b) utilizzare opportunamente a) nella formula della variazione delle costanti per ottenere una rap-presentazione della soluzione del problema di Cauchy in oggetto in cui non compaiono integrali. Era prevedibile il risultato finale?

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