Analisi e Geometria 1 Funzioni
1. Dimostrare che la composizione di due funzioni crescenti `e una funzione crescente. 2. Mostrare che l’equazione
2 −√x 1 +√x −
x√ex
√
2 + ex = 0
possiede almeno una soluzione nell’intervallo [0, 1] . 3. Mostrare che la funzione
f (x) = 2 − (1 + x)e
x
1 + ex
possiede esattamente uno zero sull’intervallo [0, 1] .
4. Determinare il numero delle radici reali del polinomio f (x) = 1 − x − xn, per ogni n ∈ N , n ≥ 2 .
5. Calcolare la derivata delle funzioni: (a) f (x) = 1 2 ln tan x 2 − cos x 2 sin2x (b) f (x) =px2+ x − ln(√x +√1 + x) 6. Derivare la funzione f (x) = arctan1 − x 2 1 + x2 + arctan 1 + x2 1 − x2
e trarne le debite conseguenze. 7. Studiare le seguenti funzioni:
(a) f (x) = ex− ln x (b) f (x) = x ln(1 + x2) (c) f (x) = ln x − ln2x (d) f (x) = ln x − ln ln x (e) f (x) = x + ln x x − ln x (f) f (x) = earctan x (g) f (x) = ln(arctan x) (h) f (x) = x arctan x (i) f (x) = 2x −p1 + x2 (j) f (x) = r 1 + e2x 1 + 2ex
Grafici di alcune funzioni: (7d) y x 1 e e(1+√5)/2 1 (7e) y x −1 1 e e+1 e−1 y = 1 (7h) y x y = π 2x − 1 y = −π 2x − 1
(7i) y x y = x y = −3x 1 √ 3 −1 (7j) y x y = 1 ln √ 5−1 2 1
