insiemi limitati

(1)

(2)

Insiemi limitati

Massimo e minimo di un insieme

Esempi

Maggioranti e minoranti Insiemi limitati e illimitati Esempi

Estremo superiore e inferiore Funzioni limitate

Un’applicazione

Massimo e minimo di un insieme

(3)

Insiemi limitati

Esempi

Un’applicazione

Massimo e minimo di un insieme

Sia

A ⊆ R un insieme non vuoto

Un elemento

a ∈ R si dice

massimo di A

(e si scrive

a =

max A

) se

(4)

Insiemi limitati

Esempi

Un’applicazione

Massimo e minimo di un insieme

Sia

A ⊆ R un insieme non vuoto

Un elemento

a ∈ R si dice

massimo di A

(e si scrive

a =

max A

) se

a ∈ A e x ≤ a per ogni x ∈ A

Ovvero,

max A è un elemento di A che è più

(5)

Insiemi limitati

Esempi

Un’applicazione

Massimo e minimo di un insieme

Sia

A ⊆ R un insieme non vuoto

Un elemento

a ∈ R si dice

massimo di A

(e si scrive

a =

max A

) se

a ∈ A e x ≤ a per ogni x ∈ A

Ovvero,

max A è un elemento di A che è più

grande di tutti gli elementi di

_A

Un elemento

a ∈ R si dice

minimo di A

(e

si scrive

a =

min A

) se

a ∈ A e y ≥ a per ogni y ∈ A

Ovvero,

_{min A è un elemento di A che è più}

(6)

Insiemi limitati

Esempi

Estremo superiore e inferiore Funzioni limitate Un’applicazione

Esempi

1 Per l’insieme

A =

(−1)

n

1 + n

2 : n ∈ N \ {0}

0

(7)

Insiemi limitati

Esempi

1 Per l’insieme

A =

(−1)

n

1 + n

2 : n ∈ N \ {0}

0 −

1

2

(8)

Insiemi limitati

Esempi

1 Per l’insieme

A =

(−1)

n

1 + n

2 : n ∈ N \ {0}

0 −

1

2

1

5

(9)

Insiemi limitati

Esempi

1 Per l’insieme

A =

(−1)

n

1 + n

2 : n ∈ N \ {0}

0 −

1

2

1

5

(10)

Insiemi limitati

Esempi

1 Per l’insieme

A =

(−1)

n

1 + n

2 : n ∈ N \ {0}

0 −

1

2

1

5

(11)

Insiemi limitati

Esempi

1 Per l’insieme

A =

(−1)

n

1 + n

2 : n ∈ N \ {0}

0 −

1

2

1

5

(12)

Insiemi limitati

Esempi

1 Per l’insieme

A =

(−1)

n

1 + n

2 : n ∈ N \ {0}

0 −

1

2

1

5

(13)

Insiemi limitati

Esempi

1 Per l’insieme

A =

(−1)

n

1 + n

2 : n ∈ N \ {0}

0 −

1

2

1

5

(14)

Insiemi limitati

Esempi

1 Per l’insieme

A =

(−1)

n

1 + n

2 : n ∈ N \ {0}

0 −

1

2

1

5 si ha

_{max A = 1/5, min A = −1/2}

(15)

Insiemi limitati

Esempi

1 Per l’insieme

A =

(−1)

n

1 + n

2 : n ∈ N \ {0}

0 −

1

2

1

5 si ha

_{max A = 1/5, min A = −1/2}

(16)

Insiemi limitati

Esempi

1 Per l’insieme

A =

(−1)

n

1 + n

2 : n ∈ N \ {0}

0 −

1

2

1

5 si ha

_{max A = 1/5, min A = −1/2}

Non tutti gli

_{A ⊆ R hanno massimo e/o minimo!}

2 _{B = [0, +∞[ non ha massimo}

0

(17)

Insiemi limitati

Esempi

1 Per l’insieme

A =

(−1)

n

1 + n

2 : n ∈ N \ {0}

0 −

1

2

1

5 si ha

_{max A = 1/5, min A = −1/2}

Non tutti gli

_{A ⊆ R hanno massimo e/o minimo!}

2 _{B = [0, +∞[ non ha massimo}

0

3 _{C = {x ∈ Q : x}

2 _{≤ 2} non ha minimo né massimo}

√

2 ×

(18)

Insiemi limitati

Massimo e minimo di un insieme Esempi

Maggioranti e minoranti

Insiemi limitati e illimitati Esempi

Un’applicazione

Maggioranti e minoranti

Sia

_{A ⊆ R. Un numero reale a si dice}

maggiorante di

A

se

x ≤ a per ogni x ∈ A

e

minorante di

A

se

x ≥ a per ogni x ∈ A

b b b b

(19)

Insiemi limitati

Un’applicazione

Maggioranti e minoranti

Sia

_{A ⊆ R. Un numero reale a si dice}

maggiorante di

A

se

x ≤ a per ogni x ∈ A

e

minorante di

A

se

x ≥ a per ogni x ∈ A

Esempio:

b b

A

b b

(20)

Insiemi limitati

Un’applicazione

Maggioranti e minoranti

Sia

_{A ⊆ R. Un numero reale a si dice}

maggiorante di

A

se

x ≤ a per ogni x ∈ A

e

minorante di

A

se

x ≥ a per ogni x ∈ A

Esempio:

b b

A

b

a

1

b

a

1 è un maggiorante di

A

(21)

Insiemi limitati

Un’applicazione

Maggioranti e minoranti

Sia

_{A ⊆ R. Un numero reale a si dice}

maggiorante di

A

se

x ≤ a per ogni x ∈ A

e

minorante di

A

se

x ≥ a per ogni x ∈ A

Esempio:

b b

A

b

a

1

b

a

2 a

1 è un maggiorante di

A

a

2 è un minorante di

A

(22)

Insiemi limitati

Insiemi limitati e illimitati

Esempi

Un’applicazione

Insiemi limitati e illimitati

A si dice

■

limitato superiormente

se esiste almeno un

maggiorante

■

limitato inferiormente

se esiste almeno un

minorante

■

limitato

se è limitato sia superiormente

(23)

Insiemi limitati

Insiemi limitati e illimitati

Esempi

Un’applicazione

Insiemi limitati e illimitati

A si dice

■

limitato superiormente

se esiste almeno un

maggiorante

■

limitato inferiormente

se esiste almeno un

minorante

■

limitato

se è limitato sia superiormente

che inferiormente

A si dice

■

illimitato superiormente

se non è limitato

superiormente

■

illimitato inferiormente

se non è limitato

(24)

Insiemi limitati

Maggioranti e minoranti Insiemi limitati e illimitati

Esempi

Un’applicazione

Esempi

(25)

Insiemi limitati

Esempi

Un’applicazione

Esempi

1 Dato

A

=] − 3, 2] ∪ [5, 12[

(26)

Insiemi limitati

Esempi

Un’applicazione

Esempi

1 Dato

A

=] − 3, 2] ∪ [5, 12[

×

(27)

Insiemi limitati

Esempi

Un’applicazione

Esempi

1 Dato

A

=] − 3, 2] ∪ [5, 12[

×

L’insieme dei minoranti è

] − ∞, −3], quello dei

(28)

Insiemi limitati

Esempi

Un’applicazione

Esempi

1 Dato

A

=] − 3, 2] ∪ [5, 12[

×

L’insieme dei minoranti è

] − ∞, −3], quello dei

maggioranti è

[12, +∞[. A è quindi un insieme limitato.

(29)

Insiemi limitati

Esempi

Un’applicazione

Esempi

1 Dato

A

=] − 3, 2] ∪ [5, 12[

×

L’insieme dei minoranti è

] − ∞, −3], quello dei

maggioranti è

[12, +∞[. A è quindi un insieme limitato.

2 _{A =] − ∞, 4] è limitato super. ma non infer.}

3 A = N è limitato infer. ma non super.

(30)

Insiemi limitati

Esempi

Un’applicazione

Esempi

1 Dato

A

=] − 3, 2] ∪ [5, 12[

×

L’insieme dei minoranti è

] − ∞, −3], quello dei

maggioranti è

[12, +∞[. A è quindi un insieme limitato.

2 _{A =] − ∞, 4] è limitato super. ma non infer.}

3 A = N è limitato infer. ma non super.

(31)

Insiemi limitati

Esempi

Un’applicazione

Esempi

1 Dato

A

=] − 3, 2] ∪ [5, 12[

×

L’insieme dei minoranti è

] − ∞, −3], quello dei

maggioranti è

[12, +∞[. A è quindi un insieme limitato.

2 _{A =] − ∞, 4] è limitato super. ma non infer.}

3 A = N è limitato infer. ma non super.

4 A = Z non è limitato né infer. né super.

Teorema

A è limitato se e solo se esiste un numero

positivo

L tale che

(32)

Insiemi limitati

Estremo superiore e inferiore

Definizioni Esempi Funzioni limitate Un’applicazione

(33)

Insiemi limitati

Definizioni

Esempi Funzioni limitate Un’applicazione

Definizioni

Maggioranti e minoranti (quando esistono)

non sono unici

(34)

Insiemi limitati

Definizioni

Esempio:

b b b b

(35)

Insiemi limitati

Definizioni

Esempio:

b b

A

b b

(36)

Insiemi limitati

Definizioni

Esempio:

b b

A

b

x

0

b

Se

x

₀

è maggiorante di

A allora ogni x

₁

più

(37)

Insiemi limitati

Definizioni

Esempio:

b b

A

b

x

0

b

x

1 Se

x

₀

è maggiorante di

A allora ogni x

₁

più

(38)

Insiemi limitati

Definizioni

Esempio:

b b

A

b

x

0

b

x

1 Se

x

₀

è maggiorante di

A allora ogni x

₁

più

(39)

Insiemi limitati

Definizioni

Esempio:

b b

A

b

x

0

b

x

1

(40)

Insiemi limitati

Definizioni

Esempio:

b b b

A

b

x

0

b

x

1

(41)

Insiemi limitati

Definizioni

Esempio:

b b b

A

b

x

0

b

x

1 L’insieme dei maggioranti ha minimo:

sup A

Un numero reale si dice

estremo superiore

di

A

superiormente limitato (e si indica con

(42)

Insiemi limitati

Definizioni

Esempio:

b b b

A

b

x

0

b

x

1 L’insieme dei maggioranti ha minimo:

sup A

L’insieme dei minoranti ha massimo:

inf A

Un numero reale si dice

estremo superiore

di

A

superiormente limitato (e si indica con

(43)

Insiemi limitati

Definizioni

Esempio:

b b b b

A

b

x

0

b

x

1 L’insieme dei maggioranti ha minimo:

sup A

L’insieme dei minoranti ha massimo:

inf A

Un numero reale si dice

estremo superiore

di

A

superiormente limitato (e si indica con

(44)

Insiemi limitati

Definizioni

Esempio:

b b b b

A

b

x

0

b

x

1 L’insieme dei maggioranti ha minimo:

sup A

L’insieme dei minoranti ha massimo:

inf A

Un numero reale si dice

estremo superiore

di

A

superiormente limitato (e si indica con

sup A

) se è il minimo dei maggioranti di

A

Un numero reale si dice

estremo inferiore

(45)

Insiemi limitati

Definizioni

Non è detto che

sup A e inf A appartengano ad

A, ma se vi appartengono allora sono

rispettivamente massimo e minimo, cioè

sup A ∈ A =⇒ sup A = max A

(46)

Insiemi limitati

Definizioni

Non è detto che

sup A e inf A appartengano ad

A, ma se vi appartengono allora sono

rispettivamente massimo e minimo, cioè

sup A ∈ A =⇒ sup A = max A

inf A ∈ A =⇒ inf A = min A

Se

A non è superiormente limitato si pone

sup A = +∞

Se

_{A non è inferiormente limitato si pone}

(47)

Insiemi limitati

Estremo superiore e inferiore Definizioni

Esempi

Funzioni limitate Un’applicazione

Esempi

1 L’intervallo chiuso

[a, b] è un insieme limitato:

min[a, b] = a

max[a, b] = b

(48)

Insiemi limitati

Estremo superiore e inferiore Definizioni

Esempi

Funzioni limitate Un’applicazione

Esempi

1 L’intervallo chiuso

[a, b] è un insieme limitato:

min[a, b] = a

max[a, b] = b

2 L’intervallo aperto

]a, b[ è un insieme limitato:

inf]a, b[= a

sup]a, b[= b

ma

(49)

Insiemi limitati

Funzioni limitate

Definizione Esempi Un’applicazione

(50)

Insiemi limitati

Definizione

Esempi Un’applicazione

Definizione

Una funzione

f : A → R si dice

limitata

(inferiormente, superiormente)

se la sua

im-magine

_{f (A) è un sottoinsieme di R limitato}

(51)

Insiemi limitati

Definizione

Una funzione

f : A → R si dice

limitata

(inferiormente, superiormente)

se la sua

im-magine

_{f (A) è un sottoinsieme di R limitato}

(inferiormente, superiormente)

Useremo le notazioni

sup

x∈A

f (x) := sup f (A),

inf

x∈A

f (x) := inf f (A)

per indicare l’estremo superiore ed inferiore

dei valori assunti dalla funzione

(52)

Insiemi limitati

Definizione

Se tali numeri appartengono all’insieme

f (A), ovvero sono valori assunti dalla

fun-zione, si dirà che la

funzione ammette

massimo

_e

minimo

_{che verranno indicati con}

max

(53)

Insiemi limitati

Definizione

Se tali numeri appartengono all’insieme

f (A), ovvero sono valori assunti dalla

fun-zione, si dirà che la

funzione ammette

massimo

_e

minimo

_{che verranno indicati con}

max

x∈A

f (x) e min

x∈A

f (x)

o semplicemente con

max

(54)

Insiemi limitati

Estremo superiore e inferiore Funzioni limitate Definizione Esempi Un’applicazione

insiemi limitati

Massimo e minimo di un insieme

Massimo e minimo di un insieme

Sia

A ⊆ R un insieme non vuoto

Un elemento

a ∈ R si dice

massimo di A

(e si scrive

a =

max A

) se

Massimo e minimo di un insieme

Sia

A ⊆ R un insieme non vuoto

Un elemento

a ∈ R si dice

massimo di A

(e si scrive

a =

max A

) se

a ∈ A e x ≤ a per ogni x ∈ A

Ovvero,

max A è un elemento di A che è più

Massimo e minimo di un insieme

Sia

A ⊆ R un insieme non vuoto

Un elemento

a ∈ R si dice

massimo di A

(e si scrive

a =

max A

) se

a ∈ A e x ≤ a per ogni x ∈ A

Ovvero,

max A è un elemento di A che è più

grande di tutti gli elementi di

A

Un elemento

a ∈ R si dice

minimo di A

(e

si scrive

a =

min A

) se

a ∈ A e y ≥ a per ogni y ∈ A

Ovvero,

min A è un elemento di A che è più

Esempi

1

Per l’insieme

A =

 (−1)

n

1 + n

2

: n ∈ N \ {0}



0

Esempi

1

Per l’insieme

A =

 (−1)

n

1 + n

2

: n ∈ N \ {0}



0

−

1

2

Esempi

1

Per l’insieme

A =

_A

_{min A è un elemento di A che è più}

(−1)

(−1)

(−1)

(−1)

(−1)

(−1)

(−1)