Università degli Studi di Salerno
Dipartimento di Ingegneria Civile – C.d.L. Ing. Civile per l’Ambiente e il Territorio
Programma del corso di Matematica I (9 cfu) – Prof. M. Ciarletta
A.A. 2017/2018
Nozioni di base: i numeri e le funzioni reali
Cenni di teoria degli insiemi. Numeri naturali, interi, razionali. Funzioni e rappresentazione cartesiana. Funzioni invertibili. Funzioni composte. Funzioni monotone. Funzioni periodiche. Massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore di una funzione. Funzioni elementari e loro proprietà Funzioni polinomiali e razionali. Funzione valore assoluto. Funzione elevamento a potenza. Funzione esponenziale. Funzione logaritmo. Funzioni trigonometriche (seno, coseno, tangente e cotangente) e loro inverse (arcoseno, arcocoseno, arcotangente e arcocotangente). Successioni numeriche
Definizione e proprietà. Successioni regolari e non regolari. Successioni limitate. Limite di successioni numeriche: definizione, operazioni con i limiti e forme indeterminate. Teorema di unicità del limite di una successione numerica. Teoremi di confronto (teorema della permanenza del segno e corollari; teorema dei carabinieri). Teorema del limite di una successione limitata per una infinitesima. Successioni monotone: teorema sulle successioni monotone. Limiti di funzioni e continuità Intorno di un punto e punto di accumulazione. Definizione di limite per funzioni reali: limite destro e sinistro. Esempi e proprietà dei limiti di funzioni: operazioni con i limiti di funzioni, limiti di funzioni composte. Limiti fondamentali. Funzioni continue. Funzioni uniformemente continue. Discontinuità classificazione dei punti di discontinuità. Asintoti: verticale, orizzontale, obliquo. Teorema di esistenza degli zeri. Primo e secondo teorema dell’esistenza dei valori intermedi. Teorema di Weierstrass. Criterio di invertibilità per le funzioni continue. Continuità delle funzioni monotone e delle funzioni inverse.
Calcolo differenziale
Definizione di derivata. Significato geometrico della derivata e retta tangente. Operazioni con le derivate. Derivate delle funzioni elementari. Derivate delle funzioni composte e delle funzioni inverse. Relazione derivabilità-continuità. Punti di non derivabilità e loro classificazione. Massimi e minimi relativi. Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange. Funzioni crescenti e decrescenti: criterio di
monotonia, caratterizzazione delle funzioni costanti in un intervallo, criterio di stretta monotonia. Funzioni convesse e concave: criterio di convessità. Teorema di de l’Hôpital. Formula di Taylor con resto nella forma di Peano. Sviluppi di Taylor e Mc Laurin e applicazioni: criterio per lo studio dei punti di massimo e di minimo con l’uso delle derivate successive. Calcolo Integrale Primitiva di una funzione e integrale indefinito. Condizione sufficiente di integrabilità. Significato geometrico dell’integrale indefinito. Proprietà dell’integrale indefinito (additività, monotonia, valore assoluto). Integrali indefiniti immediati. Metodo di integrazione per parti. Metodo di integrazione per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali: formula di Hermite e scomposizione in fratti semplici. Il problema dell’area. Integrale definito. Integrazione secondo Cauchy. Significato geometrico dell’integrale definito. Criterio di integrabilità. Proprietà dell’integrale definito (linearità, monotonia, disuguaglianza, spezzamento dell’integrale). Teorema sulle classi di funzioni integrabili. Teorema della media. Funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. I numeri complessi Il campo dei numeri complessi. Forma algebrica dei numeri complessi. Coniugato e modulo di un numero complesso. Rappresentazione geometrica dei numeri complessi. Forma trigonometrica dei numeri complessi. Forma esponenziale dei numeri complessi: formula di Eulero. Operazioni elementari sui numeri complessi. Radici n-me di un numero complesso. Formula di De Moivre.
