Limiti delle funzioni elementari

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

analisi

Limiti delle funzioni elementari

lim

𝑥𝑥→−∞

𝑥𝑥

^𝑛𝑛

= +∞ lim

𝑥𝑥→−∞^𝑛𝑛

√𝑥𝑥 = 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 lim

𝑥𝑥→0

𝑥𝑥

^𝑛𝑛

= 0

⁺

lim

𝑥𝑥→0⁺^𝑛𝑛

√𝑥𝑥 = 0

⁺

lim

𝑥𝑥→+∞

𝑥𝑥

^𝑛𝑛

= +∞ lim

𝑥𝑥→+∞^𝑛𝑛

√𝑥𝑥 = +∞

𝒚𝒚 = 𝒙𝒙

^𝒏𝒏

potenza con esponente n pari 𝒚𝒚 = √𝒙𝒙

^𝒏𝒏

radice con indice n pari

lim

𝑥𝑥→−∞

𝑥𝑥

^𝑛𝑛

= −∞

_{𝑥𝑥→−∞}

lim

^𝑛𝑛

√𝑥𝑥 = −∞

lim

_𝑥𝑥→0

𝑥𝑥

^𝑛𝑛

= 0 lim

_𝑥𝑥→0 ^𝑛𝑛

√𝑥𝑥 = 0

lim

𝑥𝑥→+∞

𝑥𝑥

^𝑛𝑛

= +∞

_{𝑥𝑥→+∞}

lim

^𝑛𝑛

√𝑥𝑥 = +∞

𝒚𝒚 = 𝒙𝒙

^𝒏𝒏

potenza con esponente n dispari 𝒚𝒚 = √𝒙𝒙

^𝒏𝒏

radice con indice n dispari

lim

𝑥𝑥→−∞

log

_𝑎𝑎

(𝑥𝑥) = 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 lim

𝑥𝑥→−∞

𝑎𝑎

^𝑥𝑥

= 0

⁺

lim

𝑥𝑥→0⁺

log

_𝑎𝑎

(𝑥𝑥) = −∞ lim

𝑥𝑥→0

𝑎𝑎

^𝑥𝑥

= 1 lim

𝑥𝑥→+∞

log

_𝑎𝑎

(𝑥𝑥) = +∞ lim

𝑥𝑥→+∞

𝑎𝑎

^𝑥𝑥

= +∞

𝒚𝒚 = 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥

𝒂𝒂

(𝒙𝒙) logaritmo con base a > 1 𝒚𝒚 = 𝒂𝒂

^𝒙𝒙

esponenziale con base a > 1

lim

𝑥𝑥→−∞

log

_𝑎𝑎

(𝑥𝑥) = 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 lim

𝑥𝑥→−∞

𝑎𝑎

^𝑥𝑥

= +∞

lim

𝑥𝑥→0⁺

log

_𝑎𝑎

(𝑥𝑥) = +∞ lim

𝑥𝑥→0

𝑎𝑎

^𝑥𝑥

= 1 lim

𝑥𝑥→+∞

log

_𝑎𝑎

(𝑥𝑥) = −∞ lim

𝑥𝑥→+∞

𝑎𝑎

^𝑥𝑥

= 0

⁺

𝒚𝒚 = 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥

_𝒂𝒂

𝒙𝒙 logaritmo con base 0 < a < 1 𝒚𝒚 = 𝒂𝒂

^𝒙𝒙

esponenziale con base 0 <a < 1

(11)

analisi

Limiti delle funzioni elementari

lim

𝑥𝑥→±∞

𝑒𝑒𝑒𝑒𝑛𝑛 (𝑥𝑥) = 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 lim

𝑥𝑥→−1⁺

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑒𝑒𝑛𝑛 (𝑥𝑥) = − 𝜋𝜋 2 �

il limite non esiste ma è un valore compreso tra -1 ed 1

lim

𝑥𝑥→0

𝑒𝑒𝑒𝑒𝑛𝑛 (𝑥𝑥) = 0 lim

𝑥𝑥→0

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑒𝑒𝑛𝑛 (𝑥𝑥) = 0 lim

𝑥𝑥→𝜋𝜋 2�

𝑒𝑒𝑒𝑒𝑛𝑛 (𝑥𝑥) = 1

_𝑥𝑥→1

lim

₋

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑒𝑒𝑛𝑛 (𝑥𝑥) = 𝜋𝜋 2 �

𝒚𝒚 = 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒏𝒏 (𝒙𝒙) seno 𝒚𝒚 = 𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚 (𝒙𝒙) arcoseno

lim

𝑥𝑥→±∞

𝑎𝑎𝑛𝑛𝑒𝑒 (𝑥𝑥) = 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 lim

𝑥𝑥→−1⁺

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑒𝑒 (𝑥𝑥) = 𝜋𝜋

il limite non esiste ma è un valore compreso tra -1 ed 1

lim

_𝑥𝑥→0

𝑎𝑎𝑛𝑛𝑒𝑒 (𝑥𝑥) = 1 lim

_𝑥𝑥→0

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑒𝑒 (𝑥𝑥) = 𝜋𝜋 2 �

lim

𝑎𝑎𝑛𝑛𝑒𝑒 (𝑥𝑥) = 0

_𝑥𝑥→1

lim

₋

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑒𝑒 (𝑥𝑥) = 0

𝒚𝒚 = 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔 (𝒙𝒙) coseno 𝒚𝒚 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔 (𝒙𝒙) arcocoseno

lim

𝑥𝑥→0

𝑒𝑒𝑎𝑎𝑛𝑛 (𝑥𝑥) = 0 lim

𝑥𝑥→−∞

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎𝑛𝑛(𝑥𝑥) = − 𝜋𝜋 2 � lim

𝑥𝑥→𝜋𝜋 2� ⁻

𝑒𝑒𝑎𝑎𝑛𝑛 (𝑥𝑥) = +∞ lim

_𝑥𝑥→0

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎𝑛𝑛(𝑥𝑥) = 0

lim

𝑥𝑥→𝜋𝜋 2� ⁺

𝑒𝑒𝑎𝑎𝑛𝑛 (𝑥𝑥) = −∞ lim

𝑥𝑥→+∞

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎𝑛𝑛(𝑥𝑥) = 𝜋𝜋 2 �

𝒚𝒚 = 𝒕𝒕𝒂𝒂𝒏𝒏 (𝒙𝒙) tangente 𝒚𝒚 = 𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚 (𝒙𝒙) arcotangente

lim

𝑥𝑥→0⁻

𝑎𝑎𝑛𝑛𝑒𝑒(𝑥𝑥) = −∞

_{𝑥𝑥→−∞}

lim 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑒𝑒(𝑥𝑥) = 𝜋𝜋

lim

𝑥𝑥→0⁺

𝑎𝑎𝑛𝑛𝑒𝑒(𝑥𝑥) = +∞ lim

_𝑥𝑥→0

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑒𝑒(𝑥𝑥) = 𝜋𝜋 2 �

lim

𝑎𝑎𝑛𝑛𝑒𝑒(𝑥𝑥) = 0 lim

𝑥𝑥→+∞

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑒𝑒(𝑥𝑥) = 0

𝒚𝒚 = 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒕𝒕 (𝒙𝒙) cotangente 𝒚𝒚 = 𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐥𝐥𝐚𝐚 (𝒙𝒙) arcocotangente

(12)

analisi

Algebra ^dei limiti

algebra dei limiti

Le regole dell’algebra dei limiti di seguito presentate si applicano esclusivamente al calcolo dei limiti e non nell’ambito dell’algebra classica.

Ricordando che nell’algebra classica si ha:

∀ 𝑎𝑎 ∈ ℝ 𝑒𝑒 ∀ 𝑛𝑛 ∈ ℕ 𝑎𝑎

⁰

= 1

^{𝑎𝑎 ≠ 0}

0 𝑎𝑎 = 0

^{𝑎𝑎 ≠ 0}

nell’algebra dei limiti valgono le seguenti regole:

rapporti tra numeri ed infiniti

𝑎𝑎

0 = ± ∞

^{𝑎𝑎 ≠ 0}

𝑎𝑎

± ∞ = 0 ± ∞

0 = ± ∞ 0

± ∞ = 0

somme, prodotti e rapporti tra numeri ed infiniti

+ ∞ ± 𝑎𝑎 = + ∞ − ∞ ± 𝑎𝑎 = − ∞ ± ∞ ∙ 𝑎𝑎 = ± ∞ ± ∞

𝑎𝑎 = ± ∞

somme e prodotti tra infiniti

+ ∞ + ∞ = + ∞ − ∞ − ∞ = −∞ (± ∞) ∙ (± ∞) = ± ∞

potenze con infiniti

+ ∞

^𝑎𝑎

= + ∞

^{𝑎𝑎 > 0}

+ ∞

^𝑎𝑎

= 0

^{𝑎𝑎 < 0}

(− ∞)

^𝑛𝑛

= + ∞

𝑛𝑛 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑝𝑝

(− ∞)

^𝑛𝑛

= − ∞

𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑝𝑝𝑑𝑑𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑝𝑝

+ ∞

^+∞

= + ∞ + ∞

^−∞

= 0 0

^+∞

= 0 0

^−∞

= + ∞

con il simbolo

∞

si intende

± ∞

, se si vuole indicare più infinito bisogna scrivere

+∞

cosi per meno infinito

−∞

,

il segno

±

davanti a

∞

nei precedenti risultati va stabilito in base alla regola dei segni (vedi schede successive)

forme indeterminate

Nel calcolo dei limiti si possono presentare i seguenti sette casi dette forme indeterminate.

Per poterle risolvere sono necessari altri procedimenti che saranno illustrati in schede successive.

0 0 ^{± ∞}

± ∞ 0 ∙ (± ∞) + ∞ − ∞ 0

⁰

1

^{± ∞}

+ ∞

⁰

(13)

analisi

Algebra ^dei limiti

esempi di calcolo di limiti che si presentano in forme Determinate Per calcolare i limiti degli esempi proposti di seguito si procede nel seguente modo:

1. si sostituisce al posto della 𝑥𝑥 nel testo della funzione il valore a cui tende la 𝑥𝑥 nel limite

2. si sviluppano i calcoli tenendo conto dell’algebra classica, dell’algebra dei limiti e dei grafici delle funzioni elementari

𝑙𝑙𝑝𝑝𝑙𝑙

𝑥𝑥→2

2𝑥𝑥

³

+ 𝑥𝑥

²

− 3𝑥𝑥 − 1 = 2 ∙ (2

³

) + (2)

²

− 3 ∙ (2) − 1 = 2 ∙ 8 + 4 − 6 − 1 = 16 + 4 − 6 − 1 = 13

𝑙𝑙𝑝𝑝𝑙𝑙

𝑥𝑥→+∞

2𝑥𝑥

³

+ 𝑥𝑥

²

+ 1 = 2 ∙ (+∞)

³

+ (+∞)

²

+ 1 = 2 ∙ (+∞) + (+∞) + 1 = +∞ + ∞ + 1 = +∞

𝑙𝑙𝑝𝑝𝑙𝑙

𝑥𝑥→0

𝑥𝑥

²

− 4 𝑥𝑥 + 2 =

(0)

²

− 4 (0) + 2 =

− 4

2 = −2

𝑙𝑙𝑝𝑝𝑙𝑙

𝑥𝑥→3

� 3 + 𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 2 �

𝑥𝑥−3

= � 3 + 3 3 + 2 �

3−3

= � 6 5 �

0

= 1

𝑙𝑙𝑝𝑝𝑙𝑙

𝑥𝑥→−∞

�𝑥𝑥

²

− 2 = �(−∞)

²

− 2 = √+∞ − 2 = √+∞ = +∞

𝑙𝑙𝑝𝑝𝑙𝑙

𝑥𝑥→−∞

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

2

(2𝑥𝑥

²

+ 1) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

2

(2(−∞)

²

+ 1) =

= 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

2

(2 ∙ (+∞) + 1) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

2

(+∞) = + ∞

𝑙𝑙𝑝𝑝𝑙𝑙

𝑥𝑥→2

7 4 − 2

^𝑥𝑥

= 7

4 − 2

²

= 7 4 − 4 =

7 0 = ±∞

in seguito si vedrà come stabilire il segno dell’infinito

𝑙𝑙𝑝𝑝𝑙𝑙

𝑥𝑥→0

𝑒𝑒

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛 (𝑥𝑥)

− 1 𝑐𝑐𝑙𝑙𝑑𝑑𝑥𝑥 + 2 =

𝑒𝑒

^{𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛 (0)}

− 1 𝑐𝑐𝑙𝑙𝑑𝑑(0) + 2 =

𝑒𝑒

⁰

− 1 1 + 2 =

1 − 1 3 =

0 3 = 0

𝑙𝑙𝑝𝑝𝑙𝑙

𝑥𝑥→−∞

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

5

[𝑑𝑑𝑝𝑝𝑛𝑛

^𝟐𝟐

( 2

^𝑥𝑥

+ 𝜋𝜋 )] = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

5

[𝑑𝑑𝑝𝑝𝑛𝑛

^𝟐𝟐

( 2

^−∞

+ 𝜋𝜋 )] = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

5

[𝑑𝑑𝑝𝑝𝑛𝑛

^𝟐𝟐

�(0) + 𝜋𝜋�]

= 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

₅

[𝑑𝑑𝑝𝑝𝑛𝑛

^𝟐𝟐

(𝜋𝜋)] = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

₅

( 0

^𝟐𝟐

) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

₅

(0

⁺

) = −∞

I due esercizi che seguono sono esempi di calcolo di limite che si presentano in forma indeterminata.

Nelle schede successive verranno trattati questi casi 𝑙𝑙𝑝𝑝𝑙𝑙

𝑥𝑥→+∞

3 𝑥𝑥

²

4 𝑥𝑥

²

= 3 (+∞)

²

4 (+∞)

²

= 3 (+∞) 4 (+∞) =

+∞

𝑙𝑙𝑝𝑝𝑙𝑙

𝑥𝑥→+∞

3𝑥𝑥

²

− 2𝑥𝑥 = 3 (+∞)

²

− 2(+∞) = 3(+∞) − ∞ = +∞ − ∞

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2

^𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙2(𝑥𝑥)

(14)

analisi

Calcolo ^di limiti

calcolo di limiti di funzioni algebriche che si presentano in forma indeterminata

Le funzioni algebriche sono quelle funzioni che si presentano sotto forma di polinomi o di radici.

Dopo la sostituzione se il limite si presenta in forma indeterminata è possibile applicare i seguenti procedimenti in modo da sciogliere la forma indeterminata.

Di seguito sono illustrate le tecniche di risoluzione più comuni.

forma indeterminata cosa fare:

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑥𝑥→±∞

𝑝𝑝𝑝𝑝𝑙𝑙𝑙𝑙𝑝𝑝𝑝𝑝𝑙𝑙𝑙𝑙𝑝𝑝 = + ∞ − ∞ • raccogliere la 𝑥𝑥 di grado massimo

• ricalcolare il limite tenendo conto dei segni

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑥𝑥→±∞

𝑝𝑝𝑝𝑝𝑙𝑙𝑙𝑙𝑝𝑝𝑝𝑝𝑙𝑙𝑙𝑙𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑙𝑙𝑙𝑙𝑝𝑝𝑝𝑝𝑙𝑙𝑙𝑙𝑝𝑝 =

± ∞

• raccogliere la 𝑥𝑥 di grado massimo al numeratore

• raccogliere la 𝑥𝑥 di grado massimo al denominatore

• semplificare

• ricalcolare il limite tenendo conto dei segni

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑥𝑥→𝑥𝑥₀

𝑝𝑝𝑝𝑝𝑙𝑙𝑙𝑙𝑝𝑝𝑝𝑝𝑙𝑙𝑙𝑙𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑙𝑙𝑙𝑙𝑝𝑝𝑝𝑝𝑙𝑙𝑙𝑙𝑝𝑝 =

0 0

• scomporre numeratore e denominatore

• semplificare

• ricalcolare il limite tenendo conto dei segni

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑥𝑥→+∞

√𝐴𝐴 − √𝐵𝐵 = + ∞ − ∞

ricordando che: �√𝐴𝐴 − √𝐵𝐵��√𝐴𝐴 + √𝐵𝐵� = 𝐴𝐴 − 𝐵𝐵

• moltiplicare e dividere per √𝐴𝐴 + √𝐵𝐵

• sviluppare i calcoli

• ricalcolare il limite tenendo conto dei segni

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑥𝑥→+∞³

√𝐴𝐴 − √𝐵𝐵

³

= + ∞ − ∞

ricordando che:

�√𝐴𝐴

³

− √𝐵𝐵

³

� ��√𝐴𝐴

³

�

²

+ √𝐴𝐴𝐵𝐵

³

+ �√𝐵𝐵

³

�

²

� = 𝐴𝐴 − 𝐵𝐵

• moltiplicare e dividere per �√𝐴𝐴

³

�

²

+ √𝐴𝐴𝐵𝐵

³

+ �√𝐵𝐵

³

�

²

• sviluppare i calcoli

• ricalcolare il limite tenendo conto dei segni

la teoria degli infiniti ci fornisce un’alternativa più rapida ai primi due casi

𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍

𝒙𝒙→±∞

𝒑𝒑𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑 = + ∞ − ∞

• sostituire

+ ∞ o −∞

al monomio di grado massimo e trascurare gli altri termini del polinomio

• tenere conto dei segni

𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍

_{𝒙𝒙→±∞}

𝒑𝒑𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑

=

^{± ∞}_{± ∞}

• bisogna considerare il grado del polinomio al

numeratore e il grado del polinomio al denominatore

• se il polinomio al numeratore ha grado maggiore il risultato è

± ∞

tenendo conto dei segni

• se i gradi sono uguali il risultato è il rapporto tra i coefficienti dei monomi di grado massimo

• se il denominatore ha grado maggiore il risultato è zero

(15)

analisi

Calcolo ^di limiti

esempi di calcolo di limiti che si presentano in forma indeterminata 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍

𝒙𝒙→±∞

𝒑𝒑𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑 = + ∞ − ∞ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑥𝑥→+∞

2𝑥𝑥

³

− 𝑥𝑥

²

+ 3 = 2 ∙ (+∞)

³

− (+∞)

²

+ 3 = 2 ∙ (+∞) − (+∞) + 3 = +∞ − ∞

la forma indeterminata +∞ − ∞ si risolve raccogliendo la 𝑥𝑥 di grado massimo del polinomio, cioè:

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑥𝑥→+∞

2𝑥𝑥

³

− 𝑥𝑥

²

+ 3

= 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍_{𝒙𝒙→+∞} 𝒙𝒙^𝟑𝟑� 𝟐𝟐 −𝟏𝟏 𝒙𝒙 +

𝟑𝟑

𝒙𝒙^𝟑𝟑�

= (+∞)

³

∙ � 2 − 1 +∞ +

3 (+∞)

³

� = = +∞ ∙ (2 − 0 + 0) = +∞ ∙ 2 = +∞

𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍

𝒙𝒙→±∞

𝒑𝒑𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑 =

± ∞

± ∞ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑥𝑥→+∞

𝑥𝑥 + 2 2𝑥𝑥

²

− 5 =

(+∞) + 2 2 ∙ (+∞)

²

− 5 =

+∞

2 ∙ (+∞) − 5 = +∞

+∞

la forma indeterminata

^+∞_+∞

si risolve raccogliendo la 𝑥𝑥 di grado massimo al numeratore e al denominatore:

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑥𝑥→+∞

𝑥𝑥 + 2

2𝑥𝑥

²

− 5 = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

^{𝑥𝑥→+∞}

𝑥𝑥 ∙ �1 + 2𝑥𝑥�

𝑥𝑥

²

∙ �2 − 5 𝑥𝑥

²

� =

_{𝒙𝒙→+∞}𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 �𝟏𝟏 + 𝟐𝟐𝒙𝒙�

𝒙𝒙 ∙ �𝟐𝟐 − 𝟓𝟓𝒙𝒙^𝟐𝟐�

= 1 + 2 (+∞) (+∞) ∙ �2 − 5

(+∞)

²

� = 1 (+∞) ∙ 2 =

1 (+∞) = 0

𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍

𝒙𝒙→𝒙𝒙_𝟎𝟎

𝒑𝒑𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑 =

𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑥𝑥→1

𝑥𝑥

²

− 1 𝑥𝑥 − 1 =

1 − 1 1 − 1 =

0 0

la forma indeterminata

⁰₀

si risolve scomponendo numeratore e denominatore e poi semplificando:

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑥𝑥→1

𝑥𝑥

²

− 1

𝑥𝑥 − 1 = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

^𝑥𝑥→1

(𝑥𝑥 − 1) ∙ (𝑥𝑥 + 1)

𝑥𝑥 − 1 =

𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍_{𝒙𝒙→𝟏𝟏} (𝒙𝒙 + 𝟏𝟏)

= 1 + 1 = 2

𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍

𝒙𝒙→+∞

√𝑨𝑨 − √𝑩𝑩 = + ∞ − ∞

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑥𝑥→+∞

�√3𝑥𝑥 + 1 − √𝑥𝑥� = �3 ∙ (+∞) − �(+∞) = √+∞ − √+∞ = +∞ − ∞

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑥𝑥→+∞

�√3𝑥𝑥 + 1 − √𝑥𝑥� = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

_{𝑥𝑥→+∞}

�√3𝑥𝑥 + 1 − √𝑥𝑥� ∙ �√3𝑥𝑥 + 1 + √𝑥𝑥�

√3𝑥𝑥 + 1 + √𝑥𝑥 = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑥𝑥→+∞

(3𝑥𝑥 + 1) − 𝑥𝑥

√3𝑥𝑥 + 1 + √𝑥𝑥 =

=

_{𝒙𝒙→+∞}𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝟏𝟏

√𝟑𝟑𝒙𝒙 + 𝟏𝟏 + √𝒙𝒙

= 2 ∙ (+∞) + 1

�3 ∙ (+∞) + 1 + �(+∞) = +∞

+∞

la forma indeterminata

^+∞_+∞

si risolve applicando la tecnica vista in precedenza, cioè:

𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍

𝒙𝒙→+∞

𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝟏𝟏

√𝟑𝟑𝒙𝒙 + 𝟏𝟏 + √𝒙𝒙

= 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

_{𝑥𝑥→+∞}

𝑥𝑥 ∙ �2 + 1𝑥𝑥�

√𝑥𝑥 ∙ �� 3 + 1𝑥𝑥 + 1 �

=

_{𝒙𝒙→+∞}𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 √𝒙𝒙 ∙ �𝟐𝟐 + 𝟏𝟏𝒙𝒙�

�𝟑𝟑 + 𝟏𝟏𝒙𝒙 + 𝟏𝟏

= √+∞ ∙ �2 + 1 (+∞)�

� 3 + 1 (+∞) + 1

= +∞

√3 + 1 = +∞

(16)

analisi

Calcolo ^di limiti

altre tecniche risolutive

caso

_{𝒙𝒙→±∞}

𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑 = + ∞ − ∞

Nel caso si debba calcolare il limite per 𝑥𝑥 che tende a infinito di un polinomio, si può applicare la teoria degli infiniti che afferma che il risultato del limite dipende solo dal monomio di grado massimo del polinomio potendosi trascurare i monomi di grado inferiore.

Ad esempio:

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑥𝑥→+∞

2𝑥𝑥

³

− 𝑥𝑥

²

+ 3 =

_{𝑥𝑥→+∞}

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝟐𝟐𝒙𝒙^𝟑𝟑

= 2 ∙ (+∞)

³

= 2 ∙ (+∞) = +∞

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑥𝑥→−∞

2𝑥𝑥

³

− 𝑥𝑥

²

+ 3 =

_{𝑥𝑥→−∞}

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝟐𝟐𝒙𝒙^𝟑𝟑

= 2 ∙ (−∞)

³

= 2 ∙ (−∞) = −∞

caso

_{𝒙𝒙→±∞}

𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑 =

± ∞

Nel caso si debba calcolare il limite per 𝑥𝑥 che tende a infinito del rapporto di due polinomi, si possono confrontare i gradi del polinomio a numeratore e del polinomio a denominatore.

Dal confronto si possono avere tre casi possibili

1° caso: il polinomio a numeratore ha grado maggiore del polinomio a denominatore Se il polinomio a numeratore ha grado maggiore il risultato del limite per 𝑥𝑥 che tende a infinito è ±∞.

Il segno + o – si stabilisce in base alla regola dei segni sostituendo +∞ (o −∞ ) al monomio di grado massimo del numeratore. Ad esempio:

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑥𝑥→+∞

𝟒𝟒𝒙𝒙^𝟓𝟓

− 3𝑥𝑥 + 2

2𝑥𝑥

²

+ 4 = +∞

_{𝑥𝑥→+∞}

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

−𝟑𝟑𝒙𝒙^𝟐𝟐

+ 2𝑥𝑥 − 5

𝑥𝑥 − 4 = − ∞

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑥𝑥→−∞

𝟒𝟒𝒙𝒙^𝟓𝟓

− 3𝑥𝑥 + 2

2𝑥𝑥

²

+ 4 = − ∞

_{𝑥𝑥→−∞}

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝟐𝟐𝒙𝒙^𝟒𝟒

+ 5𝑥𝑥

³

𝑥𝑥

³

+ 2𝑥𝑥

²

− 1 = +∞

2° caso: il polinomio a numeratore ha lo stesso grado del polinomio a denominatore

Se i polinomi a numeratore e a denominatore hanno lo stesso grado il risultato del limite per 𝑥𝑥 che tende a infinito è uguale al rapporto dei coefficienti dei monomi di grado massimo

Il segno + o – si stabilisce in base alla regola dei segni sostituendo +∞ (o −∞ ) al monomio di grado massimo del numeratore e del denominatore. Ad esempio:

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑥𝑥→+∞

𝟕𝟕𝒙𝒙^𝟑𝟑

− 3𝑥𝑥 + 2

𝟐𝟐𝒙𝒙^𝟑𝟑

+ 4 =

7

2

_{𝑥𝑥→+∞}

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝟑𝟑𝒙𝒙^𝟐𝟐

− 𝑥𝑥 + 2

4𝑥𝑥

− 𝟐𝟐𝒙𝒙^𝟐𝟐

− 1 = − 3 2

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑥𝑥→−∞

𝟕𝟕𝒙𝒙^𝟑𝟑

− 3𝑥𝑥 + 2

𝟐𝟐𝒙𝒙^𝟑𝟑

+ 4 =

7

2

_{𝑥𝑥→−∞}

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝟑𝟑𝒙𝒙^𝟐𝟐

− 𝑥𝑥 + 2

4𝑥𝑥

− 𝟐𝟐𝒙𝒙^𝟐𝟐

− 1 = − 3 2

3° caso: il polinomio a numeratore ha grado minore del polinomio a denominatore Se il polinomio a numeratore ha grado minore il risultato del limite per 𝑥𝑥 che tende a infinito è 0.

Ad esempio:

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑥𝑥→+∞

5𝑥𝑥

³

− 3𝑥𝑥 + 1

𝟐𝟐𝒙𝒙^𝟒𝟒

+ 4 = 0

_{𝑥𝑥→+∞}

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑥𝑥

²

+ 2𝑥𝑥 + 1

𝟐𝟐𝒙𝒙^𝟑𝟑

+ 4 = 0

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑥𝑥→−∞

5𝑥𝑥

³

− 3𝑥𝑥 + 1

𝟐𝟐𝒙𝒙^𝟒𝟒

+ 4 = 0

_{𝑥𝑥→−∞}

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 2𝑥𝑥 + 1

−𝟐𝟐𝒙𝒙^𝟐𝟐

+ 4𝑥𝑥 + 3 = 0

(17)

analisi

Definizione di rapporto incrementale e di Derivata di una funzione

definizione di rapporto incrementale di una funzione in un punto

• data una funzione ed un punto appartenente al dominio D della funzione

• si chiama rapporto incrementale della funzione nel punto il rapporto:

• si chiama incremento della variabile x

•

si chiama incremento della funzione

il rapporto incrementale ha senso per ogni tale che appartiene ancora al dominio D della funzione

definizione di derivata prima di una funzione in un punto

• data una funzione ed un punto appartenente al dominio D della funzione

• si definisce derivata prima di nel punto il limite, se esiste ¹ ed è finito, del rapporto incrementale di in :

1 ) si ricorda che affinché il limite esista devono esistere essere uguali i limiti da sinistra e da destra della funzione se una funzione è derivabile in tutti i punti di un intervallo o del dominio si dice che è derivabile nell’intervallo o nel dominio. Per indicare la derivata prima si usano equivalentemente i seguenti simboli: , ,

definizione di derivata prima sinistra e destra di una funzione in un punto si definisce derivata prima sinistra di nel punto il

limite sinistro, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale di in :

si definisce derivata prima destra di nel punto il limite destro, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale di in :

significato geometrico di derivata

la derivata prima di una funzione in un punto rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto di ascissa cioè nel punto

:

per trovare l’equazione della retta tangente al grafico di una funzione nel punto :

• si calcola la derivata prima della funzione nel punto , il suo valore rappresenta il coefficiente angolare della tangente

• nell’equazione del fascio di rette si sostituiscono ad ed le coordinate del punto e ad il valore della derivata prima della funzione cioè

• si ottiene così l’equazione della retta tangente:

x0

P

0

f(x0)

y = mx+q xo

f(x0)

xo+h

f(x0+h) y = f(x)

Δx Δy

(18)

analisi

Derivate

derivate delle funzioni elementari

^dove^kè una costante

regole di derivazione

prodotto di una costante k per una funzione

somma di due o più funzioni

prodotto di due funzioni

prodotto di tre funzioni

rapporto di due funzioni

funzione composta

funzione elevata ad

una funzione

(19)

analisi

Derivate

esempi di derivate di alcune funzioni elementari

= =

esempi di derivate con le regole di derivazione

Derivata del prodotto di una costante per una funzione

Derivata della somma di due o più funzioni

Derivata del prodotto di due funzioni

Derivata del rapporto di due funzioni

Derivata di una funzione composta

Derivata di una funzione elevata ad una funzione

(20)

analisi

Studio del grafico di una funzione

ricerca del dominio (o campo di esistenza) della funzione

n pari

Le funzioni che non compaiono in questa tabella (ad esclusione di quelle iperboliche) sono definite

2

studio del segno della funzione

• si pone la funzione maggiore di zero

• si risolve la disequazione

• si individuano le regioni di piano dove la funzione è positiva (+) o negativa ( ) all’interno del dominio

• si cancellano le regioni di piano dove la funzione non esiste

3

studio delle intersezioni della funzione con gli assi cartesiani

intersezioni con l’asse x o zeri della funzione:

• si pone la funzione uguale a zero, si risolve l’equazione

• le soluzioni dell’equazione sono gli zeri della funzione

intersezione con l’asse y (solo se il dominio lo consente):

• si sostituisce 0 alla x nella funzione

• si svolgono i calcoli e si ottiene l’ordinata del punto di intersezione con l’asse delle y

gli eventuali punti di intersezione della funzione con l’asse si possono anche dedurre osservando il grafico dello studio del segno. Se il dominio lo consente, due zone di segno opposto sono separate da un punto di intersezione della funzione con l’asse ; due zone dello stesso segno individuano invece un punto di contatto della funzione con l’asse 4

studio delle simmetrie e della periodicità di una funzione

una funzione simmetrica rispetto all’asse delle y si dice pari

una funzione simmetrica rispetto all’origine degli assi si dice dispari

una funzione che ripete periodicamente la forma si dice periodica

• si sostituisce x con

−

_x

• si sviluppano i calcoli

• se

• la funzione è pari

• si sostituisce x con

−

_x

• si sviluppano i calcoli e si raccoglie il “ “

• se

• la funzione è dispari

• si pone

• si risolve l’equazione ottenuta nell’in- cognita T

• il valore trovato di T è il periodo della funzione

lo studio delle simmetrie si effettua solo se il dominio e il segno sono a loro volta entrambi simmetrici

●

● ●

●

(21)

analisi

Studio del grafico di una funzione

●

f(x)

n

f(x)

●

f cresce f decresce f cresce

max min

+ - +

monotonia

concavità

verso l’alto verso il basso verso l’alto

flesso flesso

+ - +

5

ricerca degli asintoti di una funzione

asintoto verticale dove si cerca:

• nei punti di discontinuità della funzione

• nei punti agli estremi del dominio di se sono finiti e non appartenenti al dominio stesso

come si cerca:

asintoto orizzontale dove si cerca:

• a se il dominio lo consente come si cerca:

• solo se l’asintoto orizzontale non esiste, si cerca l’asintoto obliquo asintoto obliquo

dove si cerca:

• a se il dominio lo consente e se non esiste già l’asintoto orizzontale

come si cerca:

6

studio della monotonia di e ricerca dei massimi e minimi relativi

• si calcola la derivata prima di e la si pone maggiore di 0

• si individuano le regioni di piano dove:

è crescente

è decrescente

• osservando il grafico della crescenza e decrescenza si individuano i punti di massimo e di minimo. Essi vanno considerati solo se appartengono al dominio della funzione

7

studio della concavità e ricerca dei flessi di una funzione

• si calcola la derivata seconda di e la si pone maggiore di 0

• si individuano le regioni di piano dove:

è concava verso l’alto

è concava verso il basso

• osservando il grafico della concavità si possono individuare i punti di flesso. Essi vanno considerati solo se appartengono al dominio della funzione

Per ottenere una maggiore precisione nel disegno del grafico si possono calcolare le coordinate di alcuni suoi punti attribuendo alla valori arbitrari (appartenenti al dominio) nel testo della funzione e calcolando le rispettive

f(x)

(22)

analisi

Esempi di studio del grafico di una funzione

primo esempio

Studiamo la seguente funzione

• ricerca del dominio

si pone il denominatore diverso da zero perché la funzione assegnata è una funzione fratta:

• studio del segno

si pone la funzione maggiore di zero e si studia la disequazione individuando le regioni di piano dove la funzione esiste ed è positiva o negativa. Si cancellano le regioni di piano dove la funzione non esiste:

• studio delle intersezioni con gli assi cartesiani

dall’osservazione del grafico dello studio del segno è evidente che la funzione ha un solo punto di intersezione con gli assi, coincidente con l’origine (0,0).

Solo come esercizio algebrico, studiamo l’intersezione della funzione con l’asse :

e l’intersezione della funzione con l’asse :

• studio delle simmetrie

dall’osservazione del grafico dello studio del segno è evidente che la funzione non è pari men- tre potrebbe essere dispari. Verifichiamolo algebricamente sostituendo la con – nel testo della funzione e sviluppando i calcoli:

con quindi e non è pari

Verifichiamo se la funzione è dispari raccogliendo il – nell’espressione di : quindi la funzione è dispari

• ricerca degli asintoti verticali

si calcola il limite sinistro e destro della funzione per che tende ai punti di discontinuità individuati con la ricerca del dominio:

e

esistono due asintoti verticali di equazione

e

(23)

analisi

Esempi di studio del grafico di una funzione

• ricerca degli asintoti orizzontali

si calcola il limite della funzione per che tende a e a :

e

l’asse delle di equazione è un asintoto orizzontale per la funzione sia a che a

La presenza dell’asintoto orizzontale a e a esclude la presenza dell’asintoto obliquo

• studio della monotonia e dei punti di massimo e minimo

la crescenza e decrescenza della funzione si cerca studiando il segno della derivata prima della funzione, cioè si calcola la derivata prima e si pone maggiore di zero,

cioè :

la derivata è sempre negativa e quindi la funzione è sempre decrescente. Non esistono massimi e minimi

• studio della concavità e dei punti di flesso

la concavità della funzione si cerca studiando il segno della derivata seconda della funzione, cioè ponendo

: la derivata è negativa per e

e quindi la funzione ha concavità verso il basso; la derivata è positiva per

e e quindi la funzione ha concavità verso l’alto.

Esiste un punto di flesso di ascissa . Per trovarne l’ordinata basta sostituire l’ascissa nel testo della funzione:

• disegno del grafico

si traccia il grafico della funzione tenendo conto di tutti i risultati ottenuti precedentemente.

Per una maggiore precisione si possono calcolare le coordinate di alcuni punti della funzione attribuendo alla valori arbitrari del dominio e calcolandone le corrispondenti

(24)

analisi

Esempi di studio del grafico di una funzione

secondo esempio

Studiamo la seguente funzione

• ricerca del dominio

si pone il denominatore diverso da zero perché la funzione assegnata è una funzione fratta:

• studio del segno

si pone la funzione maggiore di zero e si risolve la disequazione individuando le regioni di piano dove la funzione è positiva o negativa. Si cancellano le regioni di piano dove la funzione non esiste:

• studio delle intersezioni con gli assi cartesiani

dall’osservazione del grafico dello studio del segno è evidente che la funzione non attraversa gli assi, ma presenta un solo punto di contatto coincidente con l’origine (0,0).

Solo come esercizio algebrico, studiamo l’intersezione della funzione con l’asse :

e l’intersezione della funzione con l’asse :

• studio delle simmetrie

dall’osservazione del grafico dello studio del segno è evidente che la funzione non presenta simmetrie. Verifichiamolo anche algebricamente sostituendo la con – nel testo della funzione e sviluppando i calcoli:

con quindi

la funzione non è pari la funzione non è dispari

• ricerca degli asintoti verticali

si calcola il limite sinistro e destro della funzione per che tende al punto di discontinuità :

e

esiste un solo asintoto verticale di equazione

(25)

analisi

Esempi di studio del grafico di una funzione

• ricerca degli asintoti orizzontali

si calcola il limite della funzione per che tende a e a : e

la funzione non presenta asintoto orizzontale né a nè a Ha senso ricercare l’asintoto obliquo

• ricerca degli asintoti obliqui

si calcolano i valori del coefficiente angolare e dell’ordinata all’origine dell’equazione

dell’asintoto obliquo :

la funzione ammette un asintoto obliquo di equazione

• studio della monotonia e dei punti di massimo e minimo

la crescenza e decrescenza della funzione si cerca studiando il segno della derivata prima della funzione, cioè si calcola la derivata prima e la si pone maggiore di zero,

cioè :

la derivata è negativa per e e quindi la funzione decresce; la derivata è positiva per

e quindi la funzione cresce. Il punto di ascissa è un punto di minimo e quello di ascissa è un massimo. Per trovare le rispettive ordinate basta sostituire le ascisse dei punti nel testo della funzione:

• studio della concavità e dei punti di flesso

la concavità della funzione si cerca studiando il segno della derivata seconda della funzione, cioè ponendo

: la derivata è positiva per e

negativa per e quindi la funzione ha concavità verso l’alto per e concavità verso il basso per .

Non esistono punti di flesso per- ché è un punto di discontinuità della funzione

• disegno del grafico

si traccia il grafico della funzione tenendo conto di tutti i risultati ottenuti precedentemente.

Per una maggiore precisione si possono calcolare le coordinate di alcuni punti della funzione attribuendo alla valori arbitrari del dominio e calcolandone le corrispondenti

(26)

analisi

Principali teoremi di Analisi

teoremi sui limiti

teorema di unicità del limite

Se una funzione in un punto è dotata di limite allora esso è unico

Dalla definizione di funzione, basta ricordare che ad ogni valore della x deve corrispondere uno ed un solo valore della y. Quindi, se per assurdo la funzione f(x) avesse nello stesso punto x0 due limiti diversi, essa non sarebbe più una funzione e ciò contraddice l’ipotesi del teorema

teorema della permanenza del segno

Se una funzione in un punto x

0

è dotata di limite  ≠ 0

allora esiste almeno un intorno I di x

0

tale che per tutti i punti di I (escluso al più x

0

) i valori della funzione hanno lo stesso segno del limite

teorema del confronto detto anche dei “carabinieri”

Date tre funzioni f(x) , g(x), h(x):

1.

se esiste un intorno I del punto x

0

in cui g(x) è compresa tra f(x) e h(x) in tutti i punti dell’intorno I escluso al più x

0

stesso

2.

se f(x) e h(x) tendono nel punto x

0

allo stesso limite finito  allora anche g(x) avrà in x

0

limite uguale ad 

teoremi sulle funzioni continue

teorema di Weierstrass

Se una funzione f(x) è continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b]

allora è dotata di massimo e minimo (assoluti)

Osserva che un massimo o minimo assoluto non deve necessariamente essere un massimo o un minimo relativo: vedi, ad esempio, il punto m sul grafico che è un minimo assoluto e non un minimo relativo

teorema dei valori intermedi o di Bolzano

Se una funzione f(x) è continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b]

allora assume tutti i valori compresi tra il suo minimo “m” ed il suo massimo “M”

In altre parole, il teorema afferma che ogni punto k dell’intervallo [m, M] è immagine di almeno un punto (x1,…) dell’intervallo [a, b]

teorema degli zeri

Se una funzione f(x):

1.

è continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b]

2.

e assume valori di segno opposto in a e b cioè f(a)

^•

f(b) < 0 allora esiste almeno un punto c interno all’intervallo ]a, b[ in cui la funzione si annulla cioè f(c) = 0

● ●

f(a)

f(x)

● ● b

c1 c2

a f(b)

m M



b

●

● k

f(x)

x1

● ●

m

M



a

●

f(x)

●

g(x)

x0





f(x) h(x)

f(x)

x0

x1 x2

 > 0 f(x1)>0



1



f(x)



2





 ●

●

f(x2)>0

x0

b

a

(27)

analisi

Principali teoremi di Analisi

teoremi sul calcolo differenziale

teorema sulla relazione tra derivabilità e continuità

Se una funzione f(x) è derivabile in un punto x

0

allora la funzione è ivi anche continua

Si osservi che il teorema non si può invertire, infatti: nel punto angoloso x0 della figura la funzione è continua ma non derivabile in quanto la derivata sinistra è diversa dalla derivata destra

il teorema può essere utilizzato per calcolare la derivata di funzioni inver- se. Si voglia ad esempio calcolare la derivata di inversa della funzione

teorema sulla derivata della funzione inversa

Se una funzione è derivabile in x

0

e la sua derivata è diversa da zero, allora anche la funzione inversa x = f

^-1

(x

0

) è derivabile nel punto corrispondente y

0

= f(x

0

) e si ha:

teorema sui massimi e minimi di una funzione (di Fermat)

Se una funzione f(x) ammette un massimo o un minimo relativo in un punto x

0

se f(x) è derivabile in x

0

allora la derivata prima in x

0

è nulla cioè f ′(x

0

) = 0

Il teorema non si può invertire infatti i punti in cui la derivata prima è nulla, cioè f ′(x0) = 0, detti punti stazionari , possono essere punti di massimo, di minimo o di flesso orizzontale

teorema di Rolle

Se una funzione f(x) è:

1.

continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b]

2.

derivabile nei punti interni dell’intervallo ]a, b[

3.

e assume valori uguali agli estremi dell’intervallo cioè f(a) = f(b) allora esiste almeno un punto c interno all’intervallo in cui la derivata prima si annulla cioè f ′(c) = 0

teorema di Lagrange

Se una funzione f(x) è:

1.

continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b]

2.

e derivabile nei punti interni dell’intervallo ]a, b[

allora esiste almeno un punto c interno all’intervallo tale che:

il teorema è detto degli incrementi finiti e si può enunciare anche dicendo:

se le funzioni f(x) e g(x) verificano le ipotesi indicate, in un opportuno punto c dell’intervallo ]a, b[ il rapporto tra le rispettive derivate in c è uguale al rapporto tra gli incrementi delle funzioni calcolate agli estremi a e b dell’intervallo [a, b]

teorema di Cauchy

Se f(x) e g(x) sono funzioni:

1.

continue nell’intervallo chiuso e limitato [a, b]

2.

derivabili nei punti interni dell’intervallo ]a, b[

3.

e inoltre g ‘(x) in ogni punto interno dell’intervallo ]a, b[

allora esiste almeno un punto c interno all’intervallo ]a, b[ tale che:

f(x)

f(a) a



A



B



●

b



f(b)

c



P



c1

a b

● ● f(x)

f(a)=f(b)

●

F M

m ●

●

x0 x0 x0

x0

f(x)

c2



(28)

analisi

Principali teoremi di Analisi

1. il teorema si estende anche al caso in cui e il imite si presenta nella forma indeterminata 2. il teorema, quando opportuno, può

essere applicato più volte consecu- tivamente

teorema di de L’Hopital

Se f(x) e g(x) sono funzioni:

1.

derivabili in un intorno I di x

0

2.

con derivate continue e g′(x) ≠ 0 in detto intorno

3.

il limite del loro rapporto si presenta nella forma allora

teorema sulla monotonia di una funzione in un intervallo

Se una funzione f(x) è continua in un intervallo chiuso I e derivabile nei punti interni di I e se la derivata prima in I è positiva

(negativa)

allora la funzione f(x) è crescente

(decrescente)

nell’intervallo I

vale anche il teorema inverso cioè

Se la funzione è crescente

(decrescente)

in un intervallo I allora la derivata prima in tale intervallo sarà positiva

(negativa)

teorema sulla concavità di una funzione in un intervallo

Se una funzione f(x) è derivabile due volte nei punti interni di un in- tervallo I e se la derivata seconda è positiva

(negativa)

allora la funzione è concava verso l’alto

(il basso)

nell’intervallo I

vale anche il teorema inverso cioè

Se la funzione è concava verso l’alto

^{(il basso)}

in un intervallo I allora la derivata seconda sarà positiva

^(negativa)

teorema sui flessi di una funzione

Se una funzione f(x) è dotata di derivata prima e di derivata seconda continua in x

0

e se tale punto è un flesso

allora la derivata seconda in x

0

è nulla, cioè f ′′(x

0

) = 0

Il teorema non si può invertire, basti pensare alla funzione y=x⁴ che nell’origine degli assi cartesiani ha derivata seconda uguale a 0: f ′′(x⁴) =12x² che calcola- ta in 0 risulta nulla. In tale punto però non vi è un flesso, bensì un punto di minimo come illustrato nel disegno affianco

teoremi sul calcolo integrale

teorema della media

Se una funzione f(x) è continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b], allora esiste almeno un punto c appartenente all’intervallo [a, b] tale che:

dal teorema deriva la formula che per- mette di calcolare il valore dell’integrale definito di una funzione f(x) conoscendo una sua primitiva F(x):

teorema fondamentale del calcolo integrale

Se f(x) è una funzione continua in [a, b] ed una fun- zione detta funzione integrale

allora esiste la derivata prima della funzione integrale in ogni punto x dell’intervallo [a, b] e si ha:

In altre parole il teorema, nell’ipotesi indicata, afferma che la funzione integrale è una primitiva di f(x) c b

a f(c)

x0 O

F

f ’’(x) > 0 f ’’(x) < 0 f ’(x) < 0 f ’(x) > 0

(29)

analisi

Definizione di monotonia e di punti di massimo e minimo relativi

definizione di funzione crescente e decrescente in un intervallo

una funzione si dice crescente in un intervallo chiuso se scelti due punti qualunque e dell’intervallo con minore di si ha che l’ordinata di è maggiore o uguale dell’ordi- nata di cioè:

una funzione si dice strettamente crescente in un intervallo chiuso se scelti due punti qualunque e dell’intervallo

con minore di si ha che l’ordinata di è maggiore dell’ordinata di cioè:

una funzione si dice decrescente in un intervallo chiuso se scelti due punti qualunque e dell’intervallo con minore di si ha che l’ordinata di è minore o uguale dell’ordi- nata di , cioè:

una funzione si dice strettamente decrescente in un intervallo chiuso se scelti due punti qualunque e dell’intervallo

con minore di si ha che l’ordinata di è minore dell’ordinata di , cioè:

definizione di punti di massimo e minimo relativi di una funzione

sia una funzione definita nel dominio , sia un punto appartenente al dominio, sia un intorno di

un punto si dice di massimo relativo per una funzione se esiste un intorno I di tale che l’ordinata di sia maggiore o uguale delle ordinate di tutti i punti di I interni al dominio

massimo

se

un punto si dice di minimo relativo per una funzione se esiste un intorno I di tale che l’ordinata di sia minore o uguale delle ordinate di tutti i punti di I interni al dominio

minimo

se

definizione di monotonia di una funzione

x

0

f(x

0

) f(x)

x

m

●

● ●

x

0

f(x

0

) f(x)

x M

●

x

1

x

2

f(x

1

)

b a

f(x

2

)

● ●

●

f(x)

x

1

x

2 b

a ^● ^●

●

f(x)

f(x

1

) = f(x

2

)

x

1

x

2

f(x

1

)

f(x

2

) f(x)

b

a ^● ^●

●

x

1

x

2

f(x

1

) = f(x

2

) f(x)

b

a ^● ^●

●