Limiti delle funzioni elementari

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

analisi

Limiti delle funzioni elementari

lim

𝑥𝑥→−∞

𝑥𝑥

^𝑛𝑛

= +∞ lim

𝑥𝑥→−∞^𝑛𝑛

√𝑥𝑥 = 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 lim

𝑥𝑥→0

𝑥𝑥

^𝑛𝑛

= 0

⁺

lim

𝑥𝑥→0⁺^𝑛𝑛

√𝑥𝑥 = 0

⁺

lim

𝑥𝑥→+∞

𝑥𝑥

^𝑛𝑛

= +∞ lim

𝑥𝑥→+∞^𝑛𝑛

√𝑥𝑥 = +∞

𝒚𝒚 = 𝒙𝒙^𝒏𝒏 potenza con esponente n pari 𝒚𝒚 = √𝒙𝒙^𝒏𝒏 radice con indice n pari

lim

𝑥𝑥→−∞

𝑥𝑥

^𝑛𝑛

= −∞

_{𝑥𝑥→−∞}

lim

^𝑛𝑛

√𝑥𝑥 = −∞

lim

_𝑥𝑥→0

𝑥𝑥

^𝑛𝑛

= 0 lim

_𝑥𝑥→0 ^𝑛𝑛

√𝑥𝑥 = 0

lim

𝑥𝑥→+∞

𝑥𝑥

^𝑛𝑛

= +∞

_{𝑥𝑥→+∞}

lim

^𝑛𝑛

√𝑥𝑥 = +∞

𝒚𝒚 = 𝒙𝒙^𝒏𝒏 potenza con esponente n dispari 𝒚𝒚 = √𝒙𝒙^𝒏𝒏 radice con indice n dispari

lim

𝑥𝑥→−∞

log

_𝑎𝑎

(𝑥𝑥) = 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 lim

𝑥𝑥→−∞

𝑎𝑎

^𝑥𝑥

= 0

⁺

lim

𝑥𝑥→0⁺

log

_𝑎𝑎

(𝑥𝑥) = −∞ lim

𝑥𝑥→0

𝑎𝑎

^𝑥𝑥

= 1 lim

𝑥𝑥→+∞

log

_𝑎𝑎

(𝑥𝑥) = +∞ lim

𝑥𝑥→+∞

𝑎𝑎

^𝑥𝑥

= +∞

𝒚𝒚 = 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝒂𝒂(𝒙𝒙) logaritmo con base a > 1 𝒚𝒚 = 𝒂𝒂^𝒙𝒙 esponenziale con base a > 1

lim

𝑥𝑥→−∞

log

_𝑎𝑎

(𝑥𝑥) = 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 lim

𝑥𝑥→−∞

𝑎𝑎

^𝑥𝑥

= +∞

lim

𝑥𝑥→0⁺

log

_𝑎𝑎

(𝑥𝑥) = +∞ lim

𝑥𝑥→0

𝑎𝑎

^𝑥𝑥

= 1 lim

𝑥𝑥→+∞

log

_𝑎𝑎

(𝑥𝑥) = −∞ lim

𝑥𝑥→+∞

𝑎𝑎

^𝑥𝑥

= 0

⁺

𝒚𝒚 = 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥_𝒂𝒂𝒙𝒙 logaritmo con base 0 < a < 1 𝒚𝒚 = 𝒂𝒂^𝒙𝒙 esponenziale con base 0 <a < 1

(11)

analisi

Limiti delle funzioni elementari

lim

𝑥𝑥→±∞

𝑒𝑒𝑒𝑒𝑛𝑛 (𝑥𝑥) = 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 lim

𝑥𝑥→−1⁺

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑒𝑒𝑛𝑛 (𝑥𝑥) = − 𝜋𝜋 2 �

il limite non esiste ma è un valore compreso tra -1 ed 1

lim

𝑥𝑥→0

𝑒𝑒𝑒𝑒𝑛𝑛 (𝑥𝑥) = 0 lim

𝑥𝑥→0

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑒𝑒𝑛𝑛 (𝑥𝑥) = 0 lim

𝑥𝑥→𝜋𝜋 2�

𝑒𝑒𝑒𝑒𝑛𝑛 (𝑥𝑥) = 1

_𝑥𝑥→1

lim

₋

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑒𝑒𝑛𝑛 (𝑥𝑥) = 𝜋𝜋 2 �

𝒚𝒚 = 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒏𝒏 (𝒙𝒙) seno 𝒚𝒚 = 𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚 (𝒙𝒙) arcoseno

lim

𝑥𝑥→±∞

𝑎𝑎𝑛𝑛𝑒𝑒 (𝑥𝑥) = 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 lim

𝑥𝑥→−1⁺

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑒𝑒 (𝑥𝑥) = 𝜋𝜋

il limite non esiste ma è un valore compreso tra -1 ed 1

lim

_𝑥𝑥→0

𝑎𝑎𝑛𝑛𝑒𝑒 (𝑥𝑥) = 1 lim

_𝑥𝑥→0

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑒𝑒 (𝑥𝑥) = 𝜋𝜋 2 �

lim

𝑎𝑎𝑛𝑛𝑒𝑒 (𝑥𝑥) = 0

_𝑥𝑥→1

lim

₋

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑒𝑒 (𝑥𝑥) = 0

𝒚𝒚 = 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔 (𝒙𝒙) coseno 𝒚𝒚 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔 (𝒙𝒙) arcocoseno

lim

𝑥𝑥→0

𝑒𝑒𝑎𝑎𝑛𝑛 (𝑥𝑥) = 0 lim

𝑥𝑥→−∞

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎𝑛𝑛(𝑥𝑥) = − 𝜋𝜋 2 � lim

𝑥𝑥→𝜋𝜋 2� ⁻

𝑒𝑒𝑎𝑎𝑛𝑛 (𝑥𝑥) = +∞ lim

_𝑥𝑥→0

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎𝑛𝑛(𝑥𝑥) = 0

lim

𝑥𝑥→𝜋𝜋 2� ⁺

𝑒𝑒𝑎𝑎𝑛𝑛 (𝑥𝑥) = −∞ lim

𝑥𝑥→+∞

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎𝑛𝑛(𝑥𝑥) = 𝜋𝜋 2 �

𝒚𝒚 = 𝒕𝒕𝒂𝒂𝒏𝒏 (𝒙𝒙) tangente 𝒚𝒚 = 𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚 (𝒙𝒙) arcotangente

lim

𝑥𝑥→0⁻

𝑎𝑎𝑛𝑛𝑒𝑒(𝑥𝑥) = −∞

_{𝑥𝑥→−∞}

lim 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑒𝑒(𝑥𝑥) = 𝜋𝜋

lim

𝑥𝑥→0⁺

𝑎𝑎𝑛𝑛𝑒𝑒(𝑥𝑥) = +∞ lim

_𝑥𝑥→0

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑒𝑒(𝑥𝑥) = 𝜋𝜋 2 �

lim

𝑎𝑎𝑛𝑛𝑒𝑒(𝑥𝑥) = 0 lim

𝑥𝑥→+∞

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑒𝑒(𝑥𝑥) = 0

𝒚𝒚 = 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒕𝒕 (𝒙𝒙) cotangente 𝒚𝒚 = 𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐥𝐥𝐚𝐚 (𝒙𝒙) arcocotangente

(12)

analisi

Algebra

^dei

limiti

algebra dei limiti

Le regole dell’algebra dei limiti di seguito presentate si applicano esclusivamente al calcolo dei limiti e non nell’ambito dell’algebra classica.

Ricordando che nell’algebra classica si ha:

∀ 𝑎𝑎 ∈ ℝ 𝑒𝑒 ∀ 𝑛𝑛 ∈ ℕ 𝑎𝑎

⁰

= 1

^{𝑎𝑎 ≠ 0}

0 𝑎𝑎 = 0

^{𝑎𝑎 ≠ 0}

nell’algebra dei limiti valgono le seguenti regole:

rapporti tra numeri ed infiniti

𝑎𝑎

0 = ± ∞

^{𝑎𝑎 ≠ 0}

𝑎𝑎

± ∞ = 0 ± ∞

0 = ± ∞ 0

± ∞ = 0

somme, prodotti e rapporti tra numeri ed infiniti

+ ∞ ± 𝑎𝑎 = + ∞ − ∞ ± 𝑎𝑎 = − ∞ ± ∞ ∙ 𝑎𝑎 = ± ∞ ± ∞

𝑎𝑎 = ± ∞

somme e prodotti tra infiniti

+ ∞ + ∞ = + ∞ − ∞ − ∞ = −∞ (± ∞) ∙ (± ∞) = ± ∞

potenze con infiniti

+ ∞

^𝑎𝑎

= + ∞

^{𝑎𝑎 > 0}

+ ∞

^𝑎𝑎

= 0

^{𝑎𝑎 < 0}

(− ∞)

^𝑛𝑛

= + ∞

𝑛𝑛 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑝𝑝

(− ∞)

^𝑛𝑛

= − ∞

𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑝𝑝𝑑𝑑𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑝𝑝

+ ∞

^+∞

= + ∞ + ∞

^−∞

= 0 0

^+∞

= 0 0

^−∞

= + ∞

con il simbolo

∞

si intende ± ∞, se si vuole indicare più infinito bisogna scrivere +∞ cosi per meno infinito −∞

,

il segno

±

davanti a

∞

nei precedenti risultati va stabilito in base alla regola dei segni (vedi schede successive) forme indeterminate

Nel calcolo dei limiti si possono presentare i seguenti sette casi dette forme indeterminate.

Per poterle risolvere sono necessari altri procedimenti che saranno illustrati in schede successive.

0 0 ^{± ∞}

± ∞ 0 ∙ (± ∞) + ∞ − ∞ 0

⁰

1

^{± ∞}

+ ∞

⁰

(13)

analisi

Algebra

^dei

limiti

esempi di calcolo di limiti che si presentano in forme Determinate

Per calcolare i limiti degli esempi proposti di seguito si procede nel seguente modo:

1. si sostituisce al posto della 𝑥𝑥 nel testo della funzione il valore a cui tende la 𝑥𝑥 nel limite

2. si sviluppano i calcoli tenendo conto dell’algebra classica, dell’algebra dei limiti e dei grafici delle funzioni elementari

𝑙𝑙𝑝𝑝𝑙𝑙

𝑥𝑥→2

2𝑥𝑥

³

+ 𝑥𝑥

²

− 3𝑥𝑥 − 1 = 2 ∙ (2

³

) + (2)

²

− 3 ∙ (2) − 1 = 2 ∙ 8 + 4 − 6 − 1 = 16 + 4 − 6 − 1 = 13

𝑙𝑙𝑝𝑝𝑙𝑙

𝑥𝑥→+∞

2𝑥𝑥

³

+ 𝑥𝑥

²

+ 1 = 2 ∙ (+∞)

³

+ (+∞)

²

+ 1 = 2 ∙ (+∞) + (+∞) + 1 = +∞ + ∞ + 1 = +∞

𝑙𝑙𝑝𝑝𝑙𝑙

𝑥𝑥→0

𝑥𝑥

²

− 4 𝑥𝑥 + 2 =

(0)

²

− 4 (0) + 2 =

− 4

2 = −2

𝑙𝑙𝑝𝑝𝑙𝑙

𝑥𝑥→3

� 3 + 𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 2 �

𝑥𝑥−3

= � 3 + 3 3 + 2 �

3−3

= � 6 5 �

0

= 1

𝑙𝑙𝑝𝑝𝑙𝑙

𝑥𝑥→−∞

�𝑥𝑥

²

− 2 = �(−∞)

²

− 2 = √+∞ − 2 =

√+∞

= +∞

𝑙𝑙𝑝𝑝𝑙𝑙

𝑥𝑥→−∞

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

2

(2𝑥𝑥

²

+ 1) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

2

(2(−∞)

²

+ 1) =

= 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

2

(2 ∙ (+∞) + 1) =

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙2(+∞)

= + ∞

𝑙𝑙𝑝𝑝𝑙𝑙

𝑥𝑥→2

7 4 − 2

^𝑥𝑥

= 7

4 − 2

²

= 7 4 − 4 =

7 0 = ±∞

in seguito si vedrà come stabilire il segno dell’infinito

𝑙𝑙𝑝𝑝𝑙𝑙

𝑥𝑥→0

𝑒𝑒

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛 (𝑥𝑥)

− 1 𝑐𝑐𝑙𝑙𝑑𝑑𝑥𝑥 + 2 =

𝑒𝑒

^{𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛 (0)}

− 1 𝑐𝑐𝑙𝑙𝑑𝑑(0) + 2 =

𝑒𝑒

⁰

− 1 1 + 2 =

1 − 1 3 =

0 3 = 0

𝑙𝑙𝑝𝑝𝑙𝑙

𝑥𝑥→−∞

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

5

[𝑑𝑑𝑝𝑝𝑛𝑛

^𝟐𝟐

( 2

^𝑥𝑥

+ 𝜋𝜋 )] = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

5

[𝑑𝑑𝑝𝑝𝑛𝑛

^𝟐𝟐

( 2

^−∞

+ 𝜋𝜋 )] = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

5

[𝑑𝑑𝑝𝑝𝑛𝑛

^𝟐𝟐

�(0) + 𝜋𝜋�]

= 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

₅

[𝑑𝑑𝑝𝑝𝑛𝑛

^𝟐𝟐

(𝜋𝜋)] = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

₅

( 0

^𝟐𝟐

) =

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙₅(0⁺)

= −∞

I due esercizi che seguono sono esempi di calcolo di limite che si presentano in forma indeterminata.

Nelle schede successive verranno trattati questi casi 𝑙𝑙𝑝𝑝𝑙𝑙

𝑥𝑥→+∞

3 𝑥𝑥

²

4 𝑥𝑥

²

= 3 (+∞)

²

4 (+∞)

²

= 3 (+∞) 4 (+∞) =

+∞

𝑙𝑙𝑝𝑝𝑙𝑙

𝑥𝑥→+∞

3𝑥𝑥

²

− 2𝑥𝑥 = 3 (+∞)

²

− 2(+∞) = 3(+∞) − ∞ = +∞ − ∞

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2^𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙2(𝑥𝑥)

(14)

analisi

Calcolo

^di

limiti

calcolo di limiti di funzioni algebriche che si presentano in forma indeterminata

Le funzioni algebriche sono quelle funzioni che si presentano sotto forma di polinomi o di radici.

Dopo la sostituzione se il limite si presenta in forma indeterminata è possibile applicare i seguenti procedimenti in modo da sciogliere la forma indeterminata.

Di seguito sono illustrate le tecniche di risoluzione più comuni.

forma indeterminata cosa fare:

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑥𝑥→±∞

𝑝𝑝𝑝𝑝𝑙𝑙𝑙𝑙𝑝𝑝𝑝𝑝𝑙𝑙𝑙𝑙𝑝𝑝 = + ∞ − ∞

• raccogliere la 𝑥𝑥 di grado massimo

• ricalcolare il limite tenendo conto dei segni

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑥𝑥→±∞

𝑝𝑝𝑝𝑝𝑙𝑙𝑙𝑙𝑝𝑝𝑝𝑝𝑙𝑙𝑙𝑙𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑙𝑙𝑙𝑙𝑝𝑝𝑝𝑝𝑙𝑙𝑙𝑙𝑝𝑝 =

± ∞

• raccogliere la 𝑥𝑥 di grado massimo al numeratore

• raccogliere la 𝑥𝑥 di grado massimo al denominatore

• semplificare

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑥𝑥→𝑥𝑥₀

𝑝𝑝𝑝𝑝𝑙𝑙𝑙𝑙𝑝𝑝𝑝𝑝𝑙𝑙𝑙𝑙𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑙𝑙𝑙𝑙𝑝𝑝𝑝𝑝𝑙𝑙𝑙𝑙𝑝𝑝 =

0 0

• scomporre numeratore e denominatore

• semplificare

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑥𝑥→+∞

√𝐴𝐴 − √𝐵𝐵 = + ∞ − ∞

ricordando che: �√𝐴𝐴 − √𝐵𝐵��√𝐴𝐴 + √𝐵𝐵� = 𝐴𝐴 − 𝐵𝐵

• moltiplicare e dividere per √𝐴𝐴 + √𝐵𝐵

• sviluppare i calcoli

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑥𝑥→+∞³

√𝐴𝐴 − √𝐵𝐵

³

= + ∞ − ∞

ricordando che:

�√𝐴𝐴³ − √𝐵𝐵³ � ��√𝐴𝐴³ �²+ √𝐴𝐴𝐵𝐵³ + �√𝐵𝐵³ �²� = 𝐴𝐴 − 𝐵𝐵

• moltiplicare e dividere per �√𝐴𝐴³ �²+ √𝐴𝐴𝐵𝐵³ + �√𝐵𝐵³ �²

• sviluppare i calcoli

• ricalcolare il limite tenendo conto dei segni la teoria degli infiniti ci fornisce un’alternativa più rapida ai primi due casi

𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍

𝒙𝒙→±∞ 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑 = + ∞ − ∞

• sostituire

+ ∞

o

−∞

al monomio di grado massimo e trascurare gli altri termini del polinomio

• tenere conto dei segni

𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍

_{𝒙𝒙→±∞}

𝒑𝒑𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑

=

^{± ∞}_{± ∞}

• bisogna considerare il grado del polinomio al

numeratore e il grado del polinomio al denominatore

• se il polinomio al numeratore ha grado maggiore il risultato è

± ∞

tenendo conto dei segni

• se i gradi sono uguali il risultato è il rapporto tra i coefficienti dei monomi di grado massimo

• se il denominatore ha grado maggiore il risultato è zero

(15)

analisi

Calcolo

^di

limiti

esempi di calcolo di limiti che si presentano in forma indeterminata 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍

𝒙𝒙→±∞ 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑 = + ∞ − ∞ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑥𝑥→+∞2𝑥𝑥³− 𝑥𝑥²+ 3 = 2 ∙ (+∞)³− (+∞)²+ 3 = 2 ∙ (+∞) − (+∞) + 3 = +∞ − ∞

la forma indeterminata +∞ − ∞ si risolve raccogliendo la 𝑥𝑥 di grado massimo del polinomio, cioè:

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑥𝑥→+∞2𝑥𝑥³− 𝑥𝑥²+ 3 = 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍_{𝒙𝒙→+∞} 𝒙𝒙^𝟑𝟑� 𝟐𝟐 −𝟏𝟏 𝒙𝒙 +

𝟑𝟑

𝒙𝒙^𝟑𝟑�= (+∞)³∙ � 2 − 1 +∞ +

3

(+∞)³� = = +∞ ∙ (2 − 0 + 0) = +∞ ∙ 2 = +∞

𝒙𝒙→±∞ 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑 =

± ∞

± ∞ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑥𝑥→+∞

𝑥𝑥 + 2 2𝑥𝑥²− 5 =

(+∞) + 2 2 ∙ (+∞)²− 5 =

+∞

2 ∙ (+∞) − 5 = +∞

+∞

la forma indeterminata ^+∞_+∞ si risolve raccogliendo la 𝑥𝑥 di grado massimo al numeratore e al denominatore:

𝑥𝑥→+∞

𝑥𝑥 + 2

2𝑥𝑥²− 5 = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙^{𝑥𝑥→+∞} 𝑥𝑥 ∙ �1 + 2𝑥𝑥�

𝑥𝑥²∙ �2 − 5𝑥𝑥²� = _{𝒙𝒙→+∞}𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 �𝟏𝟏 + 𝟐𝟐𝒙𝒙�

𝒙𝒙 ∙ �𝟐𝟐 − 𝟓𝟓𝒙𝒙^𝟐𝟐� = 1 + 2(+∞) (+∞) ∙ �2 − 5

(+∞)²�= 1 (+∞) ∙ 2 =

1 (+∞) = 0

𝒙𝒙→𝒙𝒙_𝟎𝟎 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑 =

𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑥𝑥→1

𝑥𝑥²− 1 𝑥𝑥 − 1 =

1 − 1 1 − 1 =

0 0

la forma indeterminata ⁰₀ si risolve scomponendo numeratore e denominatore e poi semplificando:

𝑥𝑥→1

𝑥𝑥²− 1

𝑥𝑥 − 1 = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙^𝑥𝑥→1

(𝑥𝑥 − 1) ∙ (𝑥𝑥 + 1)

𝑥𝑥 − 1 = 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍_{𝒙𝒙→𝟏𝟏} (𝒙𝒙 + 𝟏𝟏)= 1 + 1 = 2

𝒙𝒙→+∞ √𝑨𝑨 − √𝑩𝑩 = + ∞ − ∞

𝑥𝑥→+∞ �√3𝑥𝑥 + 1 − √𝑥𝑥� = �3 ∙ (+∞) − �(+∞) = √+∞ − √+∞ = +∞ − ∞

𝑥𝑥→+∞ �√3𝑥𝑥 + 1 − √𝑥𝑥� = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙_{𝑥𝑥→+∞} �√3𝑥𝑥 + 1 − √𝑥𝑥� ∙�√3𝑥𝑥 + 1 + √𝑥𝑥�

√3𝑥𝑥 + 1 + √𝑥𝑥 = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑥𝑥→+∞

(3𝑥𝑥 + 1) − 𝑥𝑥

√3𝑥𝑥 + 1 + √𝑥𝑥=

= _{𝒙𝒙→+∞}𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝟏𝟏

√𝟑𝟑𝒙𝒙 + 𝟏𝟏 + √𝒙𝒙 = 2 ∙ (+∞) + 1

�3 ∙ (+∞) + 1 + �(+∞) = +∞

+∞

la forma indeterminata ^+∞_+∞ si risolve applicando la tecnica vista in precedenza, cioè:

𝒙𝒙→+∞

𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝟏𝟏

√𝟑𝟑𝒙𝒙 + 𝟏𝟏 + √𝒙𝒙 = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙_{𝑥𝑥→+∞} 𝑥𝑥 ∙ �2 + 1𝑥𝑥�

√𝑥𝑥 ∙ �� 3 + 1𝑥𝑥 + 1 �

= _{𝒙𝒙→+∞}𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 √𝒙𝒙 ∙ �𝟐𝟐 + 𝟏𝟏𝒙𝒙�

�𝟑𝟑 + 𝟏𝟏𝒙𝒙 + 𝟏𝟏 =√+∞ ∙ �2 + 1(+∞)�

� 3 + 1(+∞) + 1

= +∞

√3 + 1= +∞

(16)

analisi

Calcolo

^di

limiti

altre tecniche risolutive

caso _{𝒙𝒙→±∞}

𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍

𝒑𝒑𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑 = + ∞ − ∞

Nel caso si debba calcolare il limite per 𝑥𝑥 che tende a infinito di un polinomio, si può applicare la teoria degli infiniti che afferma che il risultato del limite dipende solo dal monomio di grado massimo del polinomio potendosi trascurare i monomi di grado inferiore.

Ad esempio:

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑥𝑥→+∞2𝑥𝑥³− 𝑥𝑥²+ 3 = _{𝑥𝑥→+∞}

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝟐𝟐𝒙𝒙^𝟑𝟑 = 2 ∙ (+∞)³ = 2 ∙ (+∞) = +∞

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑥𝑥→−∞2𝑥𝑥³− 𝑥𝑥²+ 3 = _{𝑥𝑥→−∞}

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝟐𝟐𝒙𝒙^𝟑𝟑 = 2 ∙ (−∞)³ = 2 ∙ (−∞) = −∞

caso _{𝒙𝒙→±∞}

𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍

𝒑𝒑𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑 =

± ∞

Nel caso si debba calcolare il limite per 𝑥𝑥 che tende a infinito del rapporto di due polinomi, si possono confrontare i gradi del polinomio a numeratore e del polinomio a denominatore.

Dal confronto si possono avere tre casi possibili

1° caso: il polinomio a numeratore ha grado maggiore del polinomio a denominatore Se il polinomio a numeratore ha grado maggiore il risultato del limite per 𝑥𝑥 che tende a infinito è ±∞.

Il segno + o – si stabilisce in base alla regola dei segni sostituendo +∞ (o −∞ ) al monomio di grado massimo del numeratore. Ad esempio:

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑥𝑥→+∞ 𝟒𝟒𝒙𝒙^𝟓𝟓− 3𝑥𝑥 + 2

2𝑥𝑥²+ 4 = +∞ _{𝑥𝑥→+∞}

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

−𝟑𝟑𝒙𝒙^𝟐𝟐+ 2𝑥𝑥 − 5

𝑥𝑥 − 4 = − ∞

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑥𝑥→−∞ 𝟒𝟒𝒙𝒙^𝟓𝟓− 3𝑥𝑥 + 2

2𝑥𝑥²+ 4 = − ∞ _{𝑥𝑥→−∞}

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝟐𝟐𝒙𝒙^𝟒𝟒+ 5𝑥𝑥³

𝑥𝑥³+ 2𝑥𝑥²− 1 = +∞

2° caso: il polinomio a numeratore ha lo stesso grado del polinomio a denominatore

Se i polinomi a numeratore e a denominatore hanno lo stesso grado il risultato del limite per 𝑥𝑥 che tende a infinito è uguale al rapporto dei coefficienti dei monomi di grado massimo

Il segno + o – si stabilisce in base alla regola dei segni sostituendo +∞ (o −∞ ) al monomio di grado massimo del numeratore e del denominatore. Ad esempio:

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑥𝑥→+∞ 𝟕𝟕𝒙𝒙^𝟑𝟑− 3𝑥𝑥 + 2 𝟐𝟐𝒙𝒙^𝟑𝟑+ 4 =

7

2 _{𝑥𝑥→+∞}

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝟑𝟑𝒙𝒙^𝟐𝟐− 𝑥𝑥 + 2

4𝑥𝑥− 𝟐𝟐𝒙𝒙^𝟐𝟐− 1 = − 3 2

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑥𝑥→−∞ 𝟕𝟕𝒙𝒙^𝟑𝟑− 3𝑥𝑥 + 2 𝟐𝟐𝒙𝒙^𝟑𝟑+ 4 =

7

2 _{𝑥𝑥→−∞}

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝟑𝟑𝒙𝒙^𝟐𝟐− 𝑥𝑥 + 2

4𝑥𝑥− 𝟐𝟐𝒙𝒙^𝟐𝟐− 1 = − 3 2

3° caso: il polinomio a numeratore ha grado minore del polinomio a denominatore Se il polinomio a numeratore ha grado minore il risultato del limite per 𝑥𝑥 che tende a infinito è 0.

Ad esempio:

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑥𝑥→+∞ 5𝑥𝑥³− 3𝑥𝑥 + 1

𝟐𝟐𝒙𝒙^𝟒𝟒+ 4 = 0 _{𝑥𝑥→+∞}

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑥𝑥²+ 2𝑥𝑥 + 1 𝟐𝟐𝒙𝒙^𝟑𝟑+ 4 = 0

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑥𝑥→−∞ 5𝑥𝑥³− 3𝑥𝑥 + 1

𝟐𝟐𝒙𝒙^𝟒𝟒+ 4 = 0 _{𝑥𝑥→−∞}

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

2𝑥𝑥 + 1

−𝟐𝟐𝒙𝒙^𝟐𝟐+ 4𝑥𝑥 + 3 = 0

(17)

analisi

Definizione di rapporto incrementale e di Derivata di una funzione

definizione di rapporto incrementale di una funzione in un punto

• data una funzione ed un punto appartenente al dominio D della funzione

• si chiama rapporto incrementale della funzione nel punto il rapporto:

• si chiama incremento della variabile x

• si chiama incremento della funzione

il rapporto incrementale ha senso per ogni tale che appartiene ancora al dominio D della funzione

definizione di derivata prima di una funzione in un punto

• data una funzione ed un punto appartenente al dominio D della funzione

• si definisce derivata prima di nel punto il limite, se esiste ¹ ed è finito, del rapporto incrementale di in :

1 ) si ricorda che affinché il limite esista devono esistere essere uguali i limiti da sinistra e da destra della funzione se una funzione è derivabile in tutti i punti di un intervallo o del dominio si dice che è derivabile nell’intervallo o nel dominio. Per indicare la derivata prima si usano equivalentemente i seguenti simboli: , ,

definizione di derivata prima sinistra e destra di una funzione in un punto si definisce derivata prima sinistra di nel punto il

limite sinistro, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale di in :

si definisce derivata prima destra di nel punto il limite destro, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale di in :

significato geometrico di derivata

la derivata prima di una funzione in un punto rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto di ascissa cioè nel punto

:

per trovare l’equazione della retta tangente al grafico di una funzione nel punto :

• si calcola la derivata prima della funzione nel punto , il suo valore rappresenta il coefficiente angolare della tangente

• nell’equazione del fascio di rette si sostituiscono ad ed le coordinate del punto e ad il valore della derivata prima della funzione cioè

• si ottiene così l’equazione della retta tangente:

x0

P0

f(x0)

y = mx+q xo

f(x0)

xo+h

f(x0+h) y = f(x)

Δx Δy

(18)

analisi

Derivate

derivate delle funzioni elementari

^dove^kè una costante

regole di derivazione

prodotto di una costante k per una funzione

somma di due o più funzioni

prodotto di due funzioni

prodotto di tre funzioni

rapporto di due funzioni

funzione composta

funzione elevata ad una funzione

(19)

analisi

Derivate

esempi di derivate di alcune funzioni elementari

= =

esempi di derivate con le regole di derivazione

Derivata del prodotto di una costante per una funzione

Derivata della somma di due o più funzioni

Derivata del prodotto di due funzioni

Derivata del rapporto di due funzioni

Derivata di una funzione composta

Derivata di una funzione elevata ad una funzione

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)