Logaritmi

CORSO DI LAUREA IN INFORMATICA APPLICATA

PRECORSO DI MATEMATICA

RICHIAMI TEORICI ED ESERCIZI SUI

LOGARITMI

Siano a, b ∈ R con a > 0, a 6= 1 e b > 0.

x = log_ab ⇐⇒ ax = b .

a si chiama base e b argomento del logaritmo.

Propriet`a dei logaritmi: • log_a(b · c) = logab + logac

• log_a(b c) = logab − logac • log_a(bn) = n log_ab , n ∈ R • log_ab = logrb log_rc, r > 0 , r 6= 1 • log_aa = 1 • log_a1 = 0

Esercizio 1: Calcolare il valore della seguente espressione

log₂ 4 s 4p2√34 3 √ 2 .

Svolgimento: Usando le propriet`a dei logaritmi si ha

log₂ 4 s 4p2√34 3 √ 2 = log2 4p2√34 3 √ 2 !1₄ = 1 4log2 4p2√3 4 3 √ 2 = 1 4  log₂  4 q 23 √ 22  − log₂√32  1

= 1 4  log₂22p2 · 22/3₋1 3log22  = 1 4  log₂  22·2 · 22/3 1₂ −1 3  = 1 4  log₂217/6−1 3  = 1 4  17 6 log22 − 1 3  = 1 4  17 6 − 1 3  = 5 8.

Esercizi: Calcolare il valore delle seguenti espressioni

1. log₅ r 125 57 2. log_a a 3 √ a p a√a3 3. log₂  4 √ 2 · 3 √ 4  4. log₃81 5 √ 27 √ 3 5. log₂16 3 √ 2 p√₄ 8 6. log₂  43 v u u t 8p4√8 p 32√3 2   7. log₂  16 · 29 √ 2  8. log_a a 5√_a 3 √ a2  9. log₉ 3√3 4 √ 27 5 √ 81 ! 10. log₄√34 · 45 11. log₈  23 s√ 32 2√32   12. log1 3 v u u t q p 27√3 9√3 13. log₄ 5 v u u t4 p 2√2 3 p 4√2

14. log₃9√3 15. log_a  a q a√a 

Esercizio 2: Semplificare la seguente espressione

log 4 p a2_b3√3 ab p ab√a .

Svolgimento: Usando le propriet`a dei logaritmi si ha

log 4 p a2_b3√3 ab p ab√a = log 4 q a2_b3_(ab)1/3 √ ab · a1/2 = log 4 √ a2+1/3_{· b}3+1/3 √ a1+1/2_{· b} = log a 7/3_{· b}10/3
1₄ a3/2_{· b}
1₂ = loga7/12−3/4· b5/6−1/2 = log  a−1/6· b1/3 = log a−1/6+ log b1/3 = −1 6log a + 1 3log b .

Esercizi: Semplificare le seguenti espressioni

1. log x24 s xy √ x : r x y ! 2. log 4 s ab2_c√3 a2_b √ abc : r a q b√c 3. log ab 2√_b p a√ab

4. log   s a (a2_{− 1)}p a√a √ a + 1 : p a (a − 1)   5. log√3x (x + y) 6. log  3 (x + 1)3 4 s√ x2_{− 1} 3x + 3 : √ 3x − 3   7. log₈  43 s 8√42 2  − 2 log1 3   1 27 3 s 94 r 1 81 : √ 3  + log₉ 3 3 r 1 3 ! 8. log 4 s a2 3 3 √ a a + 3 9. log "r (a − 1) q (a − 1)pa2_{− 1 :}q3 (a2_{− 1)}2 # 10. log 3 √ a √ ac r a − 2 2ac !

Esercizio 3: Ridurre ad un unico logaritmo la seguente espressione

2  log 2 − 1 2log 3  +1 2(log 3 − 3 log 2) .

Svolgimento: Usando le propriet`a dei logaritmi si ha

2  log 2 − 1 2log 3  +1 2(log 3 − 3 log 2) = 2  log 2 − log 31/2  +1 2 log 3 − log 2 3
= 2 log√2 3 + 1 2log 3 8 = log  2 √ 3 2 + log 3 8 1/2 = log4 3 + log r 3 8 = log 4 3 r 3 8 ! = log r 2 3 .

Esercizi: Ridurre ad un unico logaritmo le seguenti espressioni 1. log a − 3 log b + 2 (log a − log b)

2. x log 4 − (x − 1) log 2 + 3 (x log 2 − log 3) + (x + 1) log 3

3. 1 3log m − 1 2log n − 1 2  log m +2 5log n  4. 2 3  log (a − b) −2

3(log a + log b) + 3 log a  5. 3 4log x − 1 2  log x − 2  log x +1 3log x  6. 1 4  1 3  1 2log x + log y  + 3 log x − log y  7. 2 log b + 1 2  log a − 1 2(log a − log b)  8. log a + 1 3  2 log a +1

2[2 log a − log (2 − a)] 

9. log 6 −2

3log 27 + log 3 − 2 log 2

10. 1

2log (1 − x) − 1

2log 1 − x