Universit`a dell’Aquila - Elettromagnetismo e Fisica 2
Nome Cognome N. Matricola Corso di Studio CFU ... ... ... ... ....
Prova scritta - 24/11/2017 Tempo a disposizione due ore e mezza.
Problema 1 La carica Q `e distribuita in maniera linearmente crescente in una regione di spazio (guscio sferico) compresa tra R/2 ed R:
ρ = Ar
Determinare a) La carica totale della nuvola; b) a che distanza dal centro all’esterno della distribuzione il campo vale la met`a del valore massimo; c) a che distanza dal centro all’interno della distribuzione il campo vale la met`a
del valore massimo; d) la differenza di potenziale tra il bordo interno ed esterno del guscio sferico.
(Dati del problema: R = 12 m, A = 10−11 C/m4)
Problema 2 Il circuito mostrato in figura `e inizialmente con l’in-terruttore aperto. Il condensatore C1 `e inizialmente
carico e tra le sue armature vi `e una d.d.p. di V10.
L’altro condensatore C2 ha una d.d.p. di V20. Al
tempo t = 0 l’interruttore viene chiuso. Determinare a)la carica a regime ai capi dei due condensatori cio`e
trascorso un tempo molto lungo; b) la legge di carica e scarica dei due condensatori calcolandone la costante di tempo; c) quando la corrente diventa la met`a del valore massimo.
(Dati del problema C1 = 1 µF , V10 = 10 V , C2 = 10 µF , V20= 1 V , R = 9 kΩ )
Problema 3
Una sbarretta metallica di massa m scivola senza attrito su due lunghe guide parallele e conduttrici, poste a distanza ` l’una dall’altra. Perpendicolarmente al piano delle guide vi `
e un campo di induzione magnetica |B| come mostrato in figura. Esse sono collegate ad una delle estremit`a ad una resistenza R1 (La resistenza della sbarretta e delle guide
so-no trascurabili) . Determinare: a) Se la sbarretta si muove con velocit`a iniziale v0 la corrente iniziale che scorre nel
circuito; b) dopo quanto tempo la velocit`a si `e dimezzata;
c) se a vo/2 viene chiuso l’interruttore T quale diventa la corrente che scorre nella resistenza R2?
(Dati del problema m = 3 kg ` = 20 cm, B = 0.5 T , R1 = 0.1 Ω, R2 = 0.05 Ω, v0 = 5 m/s )
Soluzioni: Problema 1
a)
La carica totale vale: Q = A Z R R/2 r4πr2dr = 4Aπ " r4 4 #R R/2 = Aπ(R4− R 4 16) = Aπ 15 16R 4 = 0.61 µC
b) Il campo elettrico all’esterno della distribuzione `e radiale e vale: Er =
Q 4πεor2
Quindi il massimo `e sul bordo:
Emax =
Q 4πεoR2
= 38 V /m Quindi all’esterno imponendo che:
Q 4πεor2x = Q 8πεoR2 rx= R √ 2 ≈ 17m c)
All’interno bisogna applicando il teorema di Gauss nella regione (R/2 < r < R): E(r)4πr2 = A Rr R/2x4πx 2dx εo E(r) = A εor2 " x4 4 #r R/2 = A 4εor2 (r4− R4/16) Il cui valore massimo si ha per r = R:
E(R) = A 4εoR2
(R4− R4/16) = E
max = 38 V /m
Quindi all’interno imponendo che: A 4εor2x (rx4− R4/16) = A 8εoR2 (R4− R4/16) 1 r2 x (r4x− R4/16) = 1 2R2(R 4− R4/16) = 15R2 32 = 67.5 m 2 Detto b = 15R322 e c = R4/16 = 1296 m4: r4x− brx2− c = 0 rx = s b +√b2+ 4c 2 = 9.1 m 2
d)
Quindi la d.d.p. tra R/2 ed R (nella zona centrale il campo `e nullo) vale: DV = Z R R/2 E(r)dr = A 4εo Z R R/2 (r4− R4/16) r2 dr = 11AR3 192εo = 112 V Problema 2 a)
La carica totale si conserva inizialmente il primo condensatore ha una carica: Q10 = C1V10 = 10 µC
come l’altro condensatore:
Q20 = C2V20 = 10 µC Qo = Q10+ Q20= 20 µC Dobbiamo avere: Q1f + Q2f = Qo ma anche: Q1f C1 = Q2f C2 Quindi: Q1f = C1 Qo C1+ C2 = 1.8 µC Q2f = Qo− Q1f = 18.2 µC b)
Il circuito `e una semplice maglia con due condensatori in serie per cui la costante di tempo `e: τ = R C1C2
C1+ C2
= 8.2 µs Quindi la legge di scarica del primo condensatore `e:
Q1(t) = Q1f + (Q10− Q1f)e−t/τ
La legge di carica del secondo:
Q2(t) = Q2f + (Q20− Q2f)e−t/τ
c)
La corrente massima si ha alla chisura dell’interruttore in cui: Imax =
V10− V20
R = 1 mA
tale corrente diminuisce nel tempo con la legge:
I(t) = Imaxe−t/tau
quindi imponendo che:
Imaxe−tx/tau=
Imax
2 segue che:
tx= τ log 2 = 5.7 ms
La stessa legge poteva anche ricavarsi derivando la carica dei condensatori: I(t) = dQ1 dt = Q10− Q1f τ e −t/τ = C1V10− C1 Qo C1+C2 R C1C2 C1+C2 e−t/τ = V10− V20 R e −t/τ = Imaxe−t/tau Problema 3 a)
Inizialmente la f.e.m. indotta dal moto `e:
f = B`vo
Quindi la corrente iniziale `e semplicemente: I0 =
B`vo
R1
= 5 A b)
La corrente che scorre nel circuito in senso antiorario: I(t) = B`v(t)
R1
Che determina una forza di attrito viscoso (II equazione di Laplace): mdv
dt = −I(t)B` Quindi:
v(t) = v0e−t/τ
con τ = R1m/B2`2 = 30s, imponendo che:
v0
2 = v0e
−tx/τ → t
x = τ log 2 = 21 s
c)
Chiuso l’interruttore la f.e.m. indotta dal moto `e: f2 = B`
vo
2 quindi inizialmente scorre una corrente pari a:
I2 =
B`vo
2R2
= 5 A
