corrente [A]corrente [A]

Introduzione a MATLAB Introduzione a MATLAB

Università degli Studi di Napoli Federico II CdL Ing. Elettrica

Corso di Laboratorio di Circuiti Elettrici

Parte 4 Parte 4

Dr. Carlo Petrarca

Dipartimento di Ingegneria Elettrica Università di Napoli FEDERICO II

Parte 4 Parte 4

Numeri complessi

In MATLAB è possibile fare operazioni con numeri complessi L’unità immaginaria (√-1) “i” oppure “j” è assegnata per default

>> i ans =

0 + 1.0000i 0 + 1.0000i

Attenzione perchè, se si assegna un valore diverso a queste variabili, esse perdono il loro valore di default!!

>> i=5;

>> i i =

5

Operazioni con i numeri complessi

>> x=5+i*4 x =

5.0000 + 4.0000i

Assegnazione (forma cartesiana o algebrica): x=5+i4

Coniugato:

>> conj(x) ans =

ans =

5.0000 - 4.0000i

Parte reale e parte immaginaria:

>> real(x) ans =

5

>> imag(x) ans =

4

Operazioni con i numeri complessi

>> y=8*exp(i*pi/6) y =

6.9282 + 4.0000i

Assegnazione (forma esponenziale o polare): y=8e^i(π/6)

Modulo:

>> abs(y) ans =

8

Argomento (in radianti):

>> angle(y) ans =

0.5236

Esercizi con i numeri complessi

1. Convertire i seguenti numeri dalla forma algebrica a quella polare

j 3 5 5 − j

4

3+ − 6 − 6j

2. Convertire i seguenti numeri dalla forma polare a quella algebrica

6 /

ej

6 _e ^π 7 2 e^−jπ/4 _{10 e}^j2π/3

6 7 2 e _{10 e}

3. Eseguire le seguenti operazioni:

(

)(

) (

) (

) (

) (

)

Esercizi con i numeri complessi

4. Esprimere la corrente i(t) in termini di fasore

5. Dati i seguenti fasori:

6 / 1 10 e^jπ

V = V₂ =10e^−jπ/6 V3 = 5 e ^jπ/3

( ) ^;

sin 4

50 t A

t

i 



 



 −

= ω π ( ) ^;

cos 3 2

10 t A

t

i 



 



 −

= ω π ( ) ^;

cos 4 2

50 t A

t

i 



 



 +

= ω π

1 10 e

V = V₂ =10e V3 = 5 e

rappresentare su grafico le tensioni corrispondenti ai fasori

2

1 V

V + V₁ −V₂ V1 −V3

utilizzando la seguente trasformazione fasoriale:

( ) (

)

α ⇔ = +

=V e v t V t

V _M ^j _M sin 500

Esercizio

La rete di figura è a regime sinusoidale. Ricavare l’intensità di corrente nell’induttore, tracciarne il grafico in un intervallo di tempo pari a 2 volte il periodo T, calcolare la potenza media erogata dal generatore di tensione e₁

R1

A

( ) ( ) ( )

s 800rad

6 ; sin

50

; sin

40

; 4 . 0

; 2

;

5 _{1 2}

2

1  =



 



 −

=

=

=

= Ω

=

= ^{R L mH C mF e t} ω^{t A e t} ω^t π ^V ω

R

L

R1 C

+- e1(t)

B

+-

R2

e2(t) il(t)

Adottiamo il metodo simbolico:

ZL

ZR1 ZC

+- E1

A

IL

IE1

+-

ZR2

E2 IE2

B

IL

( )

( )

 

 



= +

−

= +

−

= +

+

1 L

E1

2 L

E2

L E2

E1

E I

I

E I

I

0 I

I I

L C

R

L C

R

Z Z

Z

Z Z

Z

1

E risolviamo il sistema: 2

% Assegnazione dati R1=5;

R2=5;

L=2e-3;

C=0.4e-3;

w=800;

E1=40*exp(j*0);

E2=50*exp(-j*pi/6);

ZR1=R1; ZR2=R2;

XL=w*L; ZL=j*XL;

Assegniamo i dati del problema:

XL=w*L; ZL=j*XL;

XC=1/(w*C); ZC=-j*XC;

% Scrittura sistema di equazioni

% Matrice A dei coeff. delle incognite

A=[1 1 1;0 ZR2 -(ZC+ZL);ZR1 0 -(ZC+ZL)];

% Vettore colonna dei termini noti Noti=[0;E2;E1];

Scriviamo il sistema da risolvere:

I=inv(A)*Noti;

% Calcolo del fasore della corrente IL IL=I(3);

% Valore massimo di IL ILmax=abs(IL)

% Fase di IL ILfase=angle(IL)

Ricaviamo la corrente i_L(t)

Ricaviamo la potenza media erogata da E1

i_L(t)=14.8 sin(800t-2.88) A

% Calcolo della potenza complessa erogata da E1 IE1=I(1);

PcE1=0.5*E1*conj(IE1);

% Potenza media erogata da E1 PE1=real(PcE1)

Ricaviamo la potenza media erogata da E1

P_E1=137 W

% Tracciamo il grafico di iL(t)

% Calcolo del periodo T=2*pi/w;

% Definizione dell'asse dei tempi t=[0:T/100:2*T];

% Calcolo della il(t)

iL=ILmax*sin(w.*t+ILfase);

Grafico di i_L(t):

iL=ILmax*sin(w.*t+ILfase);

% Grafico di iL(t) plot(t,iL);

xlabel('tempo [s]');

ylabel('corrente [A]');

title('Corrente nell''induttore');

0 5 10 15

corrente [A]

Corrente nell'induttore

Grafico della corrente nell’induttore:

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016

-15 -10 -5 0

tempo [s]

corrente [A]

Metodo sistematico

La matrice di incidenza completa A_C definisce univocamente il grafo della rete

Dato un grafo orientato con N nodi e L lati la matrice A_C ha N righe e L colonne e il generico elemento a_ik della matrice di incidenza completa è così definito:

di incidenza completa è così definito:

1 se il lato k esce dal nodo i 1 se il lato k entra nel nodo i

0 se il lato k non interessa il nodo i aik

+



= −



[ ]

{ } { }

1

11 12 1

2

.. .. 0 .. .. 0

L

a a a i

a a a i

   

     

        

Indicato con I il vettore colonna delle correnti di lato,la matrice di incidenza completa ci permette di scrivere in forma compatta

matriciale le LKC a tutti gli N nodi della rete:

2

21 22 2

1 2

.. .. 0

.. 0

.. .. ..

.. 0

.. ..

0

L ii ik

N N NL

L

a a a i

a a

a a a

i

        

     =

     

     

 

    

 

Eliminando una qualsiasi delle N equazioni ai nodi, le (N-1) equazioni rimanenti sono linearmente indipendenti.

La matrice che si ottiene dalla matrice di incidenza completa eliminando la generica k-esima riga è la matrice di incidenza ridotta A

Le (N-1) equazioni indipendenti esprimenti la LKC verranno pertanto espresse in forma matriciale come:

[ ]

{ } { }

Per la LKT, basta ricordare che essa è identicamente soddisfatta se si esprimono le tensioni di lato in funzione dei potenziali nodali. Per semplicità è opportuno fissare un nodo a potenziale zero di riferimento. La scelta più semplice è quella di adottare come nodo di riferimento il nodo k-esimo per il quale non si è scritta la LKC

[ ]

{ } { }

Detto V il vettore delle tensioni di lato e v il vettore degli (N-1) potenziali nodali, è possibile scrivere la relazione:

In conclusione le equazioni topologiche della rete sono:

[ ]

{ }

[ ]

{ } { }

Per completare il sistema di equazioni non rimane ora che esprimere le caratteristiche di lato

Al fine di rendere sistematica e automatizzata le scrittura delle equazioni di lato è necessario che le equazioni caratteristiche assumano la forma più generale possibile Per bipoli controllabili in tensione, ci viene incontro il teorema del generatore equivalente di Norton

I _k

J _k

G_k V_k I^k = J^k +G V^{k k}

In simboli matriciali, le caratteristiche di lato possono essere espresse dalla relazione:

{ } { }

[ ]

{ }

in cui il vettore J di dimensione L è rappresentativo dei generatori di corrente e la matrice G è detta matrice della conduttanze di lato ed è una matrice diagonale (G_ii≠0) di conduttanze di lato ed è una matrice diagonale (G_ii≠0) di dimensione L×L.

Moltiplichiamo a sinistra l’espressione per la matrice A:

[ ]

^{{ }}

[ ]

^{{ }}

[ ][ ]

^{{ }}

[ ]

{ }

[ ][ ]

{ }

[ ]

{ }

[ ][ ][ ]

{ }

Per la LKC si ha:

Utilizzando i potenziali nodali otteniamo:

[ ] [ ][ ][ ]

{ }

[ ]

{ }

{ }

[ ]

^{{ }}

da cui:

è la matrice conduttanza di nodo

è il vettore delle correnti impresse di nodo

{ }

[ ]

{ }

Il vettore incognito dei potenziali di nodo si ottiene da:

Proprietà della matrice G_N:

1. Il termine diagonale g_iiii è la somma delle conduttanze di tutti i lati collegati al nodo i, ed è detta autoconduttanza del nodo i;

2. Il termine g_ik è la cosiddetta mutua ammettenza tra il nodo i ed il nodo k; essa è l’opposto della somma di tutte le conduttanze di tutti i lati che collegano il nodo i al nodo k.

Il generico elemento J_N (i) del vettore J_N è pari alla somma algebrica delle correnti impresse nel nodo i. Le correnti sono pesate con il segno + se il riferimento di corrente è entrante nel nodo i, altrimenti sono pesate con il segno -.

Proprietà del vettore J_N:

Noto il vettore dei potenziali di nodo, si ricavano le

[ ]

{ } { }

{ } { }

[ ]

{ }

tensioni di lato:

E, infine, anche le correnti:

R1 R2

R4

I I

R1 J1

R2 J2

R4 J4

J5

Esercizio

Risolvere con Matlab la rete di figura:

+ -

E4

R3

J5 J6

R5

II III

IV

J6

II IV III

R5 J5

R3 J3

1) Trasformare ogni lato nel suo equivalente di Norton 2) Assegnare i dati del problema

3) Scrivere la matrice di incidenza Ac e A

4) Scrivere la matrice delle conduttanze di lato G

5) Scrivere il vettore delle correnti impresse di lato J 6) Ricavare la matrice delle conduttanze di nodo G_N

7) Ricavare il vettore delle correnti impresse di nodo J_N Procedere secondo i seguenti passi:

N

8) Risolvere il sistema:

9) Ricavare le tensioni di lato:

10) Ricavare le correnti di lato:

{ }

[ ]

{ }

[ ]

{ } { }

{ } { }

[ ]

^{{ }}

% Forma matriciale delle equazioni nei potenziali ai nodi clear all; clc;

N=4; %numero di nodi L=6; % numero di lati

% resistenze di lato R1=10;

R2=5;

R3=8;

R4=10;

R4=10;

R5=5;

% sorgenti J5=10;

J6=4;

E=100;

% Matrice di incidenza completa Ac

Ac=[-1 1 0 -1 0 0;0 -1 -1 0 -1 0; 0 0 0 1 1 -1; 1 0 1 0 0 1];

% Matrice di incidenza ridotta A A=Ac(1:N-1,1:L);

% Matrice delle conduttanze di lato G G=zeros(L,L);

G(1,1)=1/R1;

G(2,2)=1/R2;

G(3,3)=1/R3;

G(4,4)=1/R4;

G(5,5)=1/R5;

G(6,6)=0;

% Vettore delle correnti impresse di lato J J=zeros(L,1);

J(1,1)=0;

J(2,1)=0;

J(3,1)=0;

J(4,1)=E/R4;

J(5,1)=J5;

J(6,1)=J6;

% Matrice delle conduttanze di nodo Gn Gn=A*G*A';

% Vettore delle correnti impresse di nodo Jn Jn=A*J;

%%%%%%%% RISOLUZIONE DEL SISTEMA

%%%%%%%%%%%%%%

% Vettore dei potenziali di nodo v v=-inv(Gn)*Jn;

% Vettore delle tensioni di lato V=A'*v;

% vettore delle correnti di lato I=J+G*V;