1. Si consideri la matrice:

Corso di Principi di Elettrotecnica e di Automatica - modulo di Automatica Risoluzione completa dell’ultimo esercizio della lezione del 09/03/2018

Ing. Luigi Rarit`a

Esercizio sulla diagonalizzazione

1. Si consideri la matrice:

A =

⎛

⎝ 0 2 1 2 0 2 0 0 3

⎞

⎠ .

(a) Verificare che A `e diagonalizzabile.

(b) Calcolare una base per ogni autospazio.

(c) Determinare, se possibile, una base di autovettori ed una matrice P che diagonalizzi A.

(d) Calcolare la forma diagonale D ottenibile dalla matrice P . Svolgimento

Si calcolano gli autovalori della matrice A. Si ha che:

det ( A − λI) =

 



−λ 2 1

2 −λ 2

0 0 3 − λ

 

 = (3 − λ) 

λ ² − 4 

= 0 ⇔

⇐⇒ λ 1 = 3 , λ 2 = 2 , λ 3 = −2.

Poich´ e gli autovalori sono distinti, la matrice A `e diagonalizzabile.

Calcoliamo una base per V ₃ , autospazio associato all’autovalore λ ₁ = 3. Il sistema lineare omogeneo che rappresenta V 3 ` e:

(A − 3I) v = 0 ⇔

⎛

⎝ −3 2 1 2 −3 2

0 0 0

⎞

⎠

⎛

⎝ x y z

⎞

⎠ =

⎛

⎝ 0 0 0

⎞

⎠ ⇔

−3x + 2y + z = 0, 2 x − 3y + 2z = 0.

Si riduce a scalino la matrice dei coefficienti del sistema:

A =

 −3 2 1 2 −3 2

 . Effettuando la trasformazione r 2 → r 2 − 2

−3 r 1 = r 2 + 2

3 r 1 , si ricava la matrice:

A ⁽¹⁾ =

−3 2 1

0 − 5 3

8 3

 ,

quindi il sistema si semplifica come:

 −3x + 2y + z = 0,

− 5 3 y + 8

3 z = 0,

che, assumendo z come variabile libera, presenta le soluzioni:

⎧ ⎪

⎪ ⎨

⎪ ⎪

⎩ x = 7

5 z, y = 8

5 z, z = z.

Scegliendo z = 5, si ricava che una base per V ₃ ` e B _V

= {(7, 8, 5)}.

Calcoliamo una base per V 2 , autospazio associato all’autovalore λ 2 = 2. Il sistema lineare omogeneo che rappresenta V ₂ ` e:

( A − 2I) v = 0 ⇔

⎛

⎝ −2 2 1 2 −2 2

0 0 1

⎞

⎠

⎛

⎝ x y z

⎞

⎠ =

⎛

⎝ 0 0 0

⎞

⎠ ⇔

⎧ ⎨

⎩

−2x + 2y + z = 0, 2 x − 2y + 2z = 0, z = 0.

Riducendo a scalino la matrice dei coefficienti del sistema mediante la sostituzione r ₂ → r 2 + r 1 , si ricava:

A =

⎛

⎝ −2 2 1 0 0 3 0 0 1

⎞

⎠ , da cui il sistema diventa:

⎧ ⎨

⎩

−2x + 2y + z = 0, 3 z = 0,

z = 0 ⇔

x = y, z = 0, che, assumendo y come variabile libera, presenta le soluzioni:

⎧ ⎨

⎩

x = y, y = y, z = 0.

Supponendo y = 1, si ricava che una base per V ₂ ` e B _V

= {(1, 1, 0)}.

Calcoliamo una base per V ₋₂ , autospazio associato all’autovalore λ ₃ = −2. Il sistema lineare omogeneo che rappresenta V −2 ` e:

( A + 2I) v = 0 ⇔

⎛

⎝ 2 2 1 2 2 2 0 0 5

⎞

⎠

⎛

⎝ x y z

⎞

⎠ =

⎛

⎝ 0 0 0

⎞

⎠ ⇔

⎧ ⎨

⎩

2 x + 2y + z = 0, 2 x + 2y + 2z = 0, 5 z = 0,

che si semplifica facilmente, supponendo che x sia una variabile libera, come:

⎧ ⎨

⎩

x = x, y = −x, z = 0.

Scegliendo x = 1, si ricava che una base per V −2 ` e B V

= {(1, −1, 0)}.

Poich´ e A `e una matrice diagonalizzabile, esiste una base di autovettori che si ottiene unendo le basi degli autospazi. Tale base ` e:

B _R

= {(7, 8, 5) , (1, 1, 0) , (1, −1, 0)} .

Una matrice di diagonalizzazione P ha per colonne le basi degli autospazi. Quindi:

P =

⎛

⎝ 7 1 1 8 1 −1 5 0 0

⎞

⎠ .

La forma diagonale D `e:

D = P ⁻¹ AP =

=

⎛

⎝ 0 0 ¹ ₅

1 2 1 2 − ³ ₂

1 2 − ¹ _{2 10} ¹

⎞

⎠

⎛

⎝ 0 2 1 2 0 2 0 0 3

⎞

⎠

⎛

⎝ 7 1 1 8 1 −1 5 0 0

⎞

⎠ =

=

⎛

⎝ 3 0 0 0 2 0 0 0 −2

⎞

⎠ .