A Appendice al Capitolo 2

(1)

A Appendice al Capitolo 2

A

P

E

N

D

I

C

E

A

L

C

A

P

I

T

O

L

O

2

In questa appendice viene riportato lo sviluppo analitico di alcuni passaggi, relativi al modello teorico unidimensionale riportato nel Capitolo 2, non riportati nel lavoro di Tsujimoto et al.

(2)

Analisi della cavitazione in induttori mediante telecamera ad alta velocità

A.1 Determinazione dei coefficienti

F F

1

, ,

2

F

3

Come si è già detto nella Sezione 2.3.2, per poter arrivare alla (2.10), bisogna esprimere le perturbazioni

δ

W

₁ e

δα

₁con le perturbazioni di velocità

δ

u

₁ e

δ

v

₁. Per far ciò si può fare riferimento al triangolo delle velocità mostrato in Figura A.1.

Figura A.1 – Triangolo delle velocità per il calcolo dei coefficienti

F F

₁

, ,

₂

F

₃

Supponiamo che il triangolo formato dai tre vettori neri di Figura A.1 sia il triangolo delle velocità all’ingresso della girante in condizioni non perturbate. Se supponiamo di avere delle variazioni di velocità finite e pari a e nelle direzioni assiale e azimutale rispettivamente, il triangolo di velocità cambia e diventa quello formato dai vettori rossi (il vettore è stato omesso per non appesantire troppo la figura).

1

u

v

₁

1

U

Considerando il triangolo formato dai vettori U₁+u₁,

U

_T

−

v

₁ e è facile legare la velocità relativa alle variazioni di velocità e . Si ha infatti:

1

W

1

W

u

₁

v

₁

(

)

(

)

(

)

1 1, 1 1 1 cos 1 T 1 W = f u v = U +u

β

+ U −v sin

β

1

Calcolando il differenziale totale di si trova quindi la relazione che lega la perturbazione di velocità relativa

1

W

1

W

δ

alle perturbazioni di velocità

δ

u

₁ e

δ

v

₁. Si ha infatti 1 1 1 1 1 1 1 . . 1 1

cos

sin

condiz ni condiz ni medie medie

W

u

v

u

v

1

v

1

δ

=

∂

δ

+

∂

δ

=

β δ

−

∂

β δ

Considerando sempre lo stesso triangolo, si può facilmente verificare che sussiste la seguente relazione:

(

)

(

)

1 β ∗ 1 1 1 1 1 1 1 cos f u W, U u W

β

+

α

= = +

Considerando il primo membro di tale relazione funzione della sola variabile

α

₁ (

β

₁∗ è ovviamente una costante) e calcolando il differenziale totale dei due membri si ha:

1 1 1 1 2 1 1

1 sin

u

U

W

1

β δα

δ

−

=

−

176

(3)

Appendice A – Appendice al Capitolo 2

Dal triangolo delle velocità relativo alle condizioni imperturbate, si ha poi la seguente relazione: 1 1 1

cos

U

W

β

=

Sostituendo questa relazione e l’espressione di

δ

W

₁ trovata in precedenza nella penultima equazione si ha

2 2

1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1

sin

cos

u

cos

W

cos

u

cos

u

sin

U

δ

β δα

β

1 1

v

U

δ

⎡

⎤

−

=

−

=

−

_⎢

−

_⎥

⎣

⎦

Sommando i primi due termini quest’equazione assume la seguente forma

2 1 sin β 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1

sin

cos

1 cos

u

sin

cos

v

U

δ

β δα

β

⎡

β

⎤

β

−

=

_⎣

−

_⎦

+

dalla quale si può facilmente ricavare l’espressione di

δα

1. Si ha infatti 2

1 1

1 1 1 1

1 1

sin cos u cos v

U U

δ

δα

= −

β

−

β

Considerando l’espressione del numero di cavitazione data dalla (2.8), le definizioni di

M e K e le espressioni di

δα

₁ e

δ

W

₁ appena trovate e utilizzando la (2.9), si può facilmente ricavare la (2.10) e, di conseguenza, i coefficienti

F F

₁

, ,

₂

F

₃ dati nella (2.11).

A.2 Calcolo della derivata temporale in un sistema di riferimento

solidale alle pale

La derivata temporale in un sistema di riferimento solidale alle pale è data dalla seguente espressione: T

U

t

∗ ∗

y

∂

=

+

∂

Considerando rispettivamente la seconda equazione delle (2.2) e la prima delle (2.5) è quindi semplice trovare le seguenti espressioni (valide nei casi bidimensionale e unidimensionale rispettivamente)