Studio della matrice delle conduttanze. Appendice B.

Appendice B.

Studio della matrice delle conduttanze.

Il vettore della densità di corrente è legato a quello del campo elettrico attraverso la matrice delle conduttività, che è l’inverso della matrice delle resistività. In particolare, per una trave sottoposta a stress, si ha:

1 1 6 5 6 2 4 5 4 3 11 12 13 21 22 23 31 32 33 x x y y z z x y z j j j ρ ρ ρ ρ ε ρ ρ ρ ρ ε ρ ρ ρ ρ ε σ σ σ ε σ σ σ ε σ σ σ ε − + ∆ ∆ ∆ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜_{= ∆ + ∆ ∆} ⎟ ⎜ ⎟_⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ _{∆ ∆ + ∆} ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =_{⎜ ⎟ ⎜ ⎟}⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = z , dove: 11 12 13 x x y j =σ ε +σ ε +σ ε ; 21 22 23 y x y j =σ ε +σ ε +σ ε_z.

È un’ipotesi ragionevole supporre che la componente del campo elettrico diretta lungo l’asse z sia molto maggiore delle altre due, pertanto le espressioni delle densità di corrente si riducono a:

13 x

j =σ ε_z; (B.1)

23 y

j =σ ε_z. (B.2)

Si è calcolata la matrice delle conduttività, invertendo quella delle resistività; il risultato è il seguente: 11 12 13 21 22 23 31 32 33 σ σ σ σ σ σ σ σ σ ⎛ ⎞ ⎜ _{⎟ =} ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 3 4 4 5 3 6 6 5 2 5 4 6 2 2 4 5 3 6 6 1 3 1 3 5 4 1 4 5 6 2 2 5 2 5 4 6 4 1 4 5 6 1 2 1 2 6 1 det ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ = ⋅ ⎛ + ∆ + ∆ + ∆ ∆ − ∆ ∆ ∆ − ∆ ∆ − ∆ − ∆ − ∆ ∆ + ∆ ∆ ⎞ ⎜ ⎟ ⋅_⎜ ∆ ∆ − ∆ ∆ − ∆ + ∆ + ∆ + ∆ ∆ − ∆ − ∆ − ∆ ∆ + ∆ ∆ _⎟ ⎜ _{− ∆ − ∆ ∆ + ∆ ∆ − ∆ − ∆ ∆ + ∆ ∆ + ∆ + ∆ + ∆ ∆ − ∆} ⎟ ⎝ ⎠

dove “det” è il determinante della matrice non invertita, cioè:

(

)

(

)

3 2 2 2 2 1 2 3 1 2 1 3 2 3 4 5 6 2 2 2 1 2 3 1 4 2 5 3 6 4 5 6 det 2 ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ = + ∆ + ∆ + ∆ + ∆ ∆ + ∆ ∆ + ∆ ∆ − ∆ − ∆ − ∆ + + ∆ ∆ ∆ − ∆ ∆ − ∆ ∆ − ∆ ∆ + ∆ ∆ ∆

Si può assumere che:

3

det≅ρ

Infatti, poiché la resistenza a riposo è dell’ordine del centinaio di Ω e le variazioni di resistenza sono dell’ordine di 10

0 R 2 − _{Ω, si ottiene la seguente} relazione: - 116 -

ρ ρ ∆ _{≅ ~} 4 10− Si ottiene, dunque: ρ ∆ ~ 9 10−

I valori delle variazioni di resistenza sono molto inferiori, rispetto al valore della resistività: di conseguenza, l’espressione del determinante della matrice delle conduttività si riduce al solo termine ρ3.

Si prosegue prendendo gli elementi σ13 e σ23, e sostituendoli, rispettivamente,

nella (B.1) e nella (B.2). Si ottiene:

(

5 2 5 4 6

)

13 det x z j σ ε ρ ρ ρ ρ ρ ρ z − ∆ − ∆ ∆ + ∆ ∆ ε ≅ = ⋅ (B.3)

(

4 1 4 5 6

)

23 det y z j ≅σ ε = − ∆ − ∆ ∆ + ∆ ∆ρ ρ ρ ρ ρ ρ ⋅ (B.4) ε_z

Come si possono approssimare i numeratori della (B.3) e della (B.4)?

Con le osservazioni fatte sopra, si può ragionevolmente ipotizzare che gli unici termini significativi di ciascun denominatore siano ρ∆ e ρ₄ ρ∆ . Pertanto le ρ5

espressioni sopraindicate diventano:

(

5 2 5 4 6

)

5 5 13 3 2 det x z z z j σ ε ρ ρ ρ ρ ρ ρ ε ρ ρ ρ _z ρ ρ − ∆ − ∆ ∆ + ∆ ∆ − ∆ ∆ ≅ = ⋅ ≅ ⋅ε = − ⋅ε

(

4 1 4 5 6

)

4 4 23 3 2 det y z z z j σ ε ρ ρ ρ ρ ρ ρ ε ρ ρ ρ _z ρ ρ − ∆ − ∆ ∆ + ∆ ∆ − ∆ ∆ ≅ = ⋅ ≅ ⋅ε = − ⋅ε - 117 -

Infine si ottiene: z x j ε ρ ρ ⋅ ∆ − = ₂5 z y j ε ρ ρ ⋅ ∆ − = ₂4 - 118 -