Scritto di Geometria
Corso di Ingegneria Civile e Ambientale A. A. 2014/15 – Prova scritta 25–06–2015d
Cognome e Nome: Matricola:
Vietato l’uso di calcolatori, appunti, libri,...
Durata della prova: 3 ore. Non `e consentito lasciare l’aula prima che siano trascorse due ore.
Scrivi in modo ordinato e motiva ogni risposta.
Risolvi il compito sostituendo ad a l’ultima cifra del tuo numero di matricola: a = (1) Determinare tre numeri cha presi a due a due danno come differenze
a + 5 , a + 7 , 2a + 12
e tali che la somma del pi`u grande col pi`u piccolo sia il triplo del medio.
(2) Scrivere le equazioni parametriche del seguente sottospazio affine di R3[t]
W = {p ∈ R3[t] : p(1) = 4 − a , p00(−1) = 8 − a} .
(3) Un vettore v risulta autovettore di autovalore λ = a − 92 per la matrice A e anche autovettore di autovalore µ = 112 − a per la matrice B. E possibile che v sia autovettore per la matrice` C = (AB + B2− A)? In caso affermativo, determina l’autovalore associato.
(4) Dire se la seguente matrice ammette come autovalore λ = −4 e, in caso affermativo, determinane l’autospazio V−4.
−3 3 2
2 2 4
−1 −3 −6
(5) Fornire una base dello spazio Sim2(R) ⊂ M2,2(R) delle matrici simmetriche 2×2. Data l’applicazione lineare Φ : Sim2(R) → Sim2(R), dove
Φ(S) = QTS Q con Q =
6 − a a − 7 a a − 4
mostrare che essa `e ben definita, ovvero che Φ(S) ∈ Sim2(R) per ogni S ∈ Sim2(R). Scrivere la matrice M associata a Φ tramite la base introdotta precedentemente.
Parte facoltativa: trovare un’espressione per l’inversa senza l’utilizzo della matrice M , basandosi solo sulla definizione di Φ. Quale interpretazione si potrebbe dare dell’applicazione Sim2(R)?
(6) Sono date le rette r1 e r2 in equazioni parametriche
r1:
x y z
=
4 − a 1 − a a − 1
+
2 − a 5 − a a − 4
| {z }
v
s r1:
x y z
=
1 2a − 12
−1
+
1 − a a − 3 a − 8
| {z }
w
t
Determina il punto di intersezione A. Considerate le nuove parametrizzazioni delle due rette espresse da P = A+σv e P = A+τ w, trovare i punti B e C sostituendo i valori σ = 1 e τ = 1 nelle rispettive equazioni. Dire quindi se il triangolo ABC cos`ı trovato risulta ottusangolo, acutangolo o rettangolo.
Soluzione
All’esame sono stati consegnate quattro versioni differenti. Gli esercizi 2 − 3 − 4 differivano di poco ma avevano risoluzione analoga nelle quattro versioni.
(1) Si risolve il sistema
x − y = a + 5 y − z = a + 7 x − z = 2a + 12 x − 3y + z = 0
La terza equazione `e sovrabbondante e si ottiene dalle prime due. Soluzione: (a + 3, −2, −a − 9).
(2) In generale, risolviamo l’esercizio per
W = {p ∈ R3[t] : p(1) = k , p00(−1) = 2h} .
Ponendo p(t) = a0+ a1t + a2t2+ a3t3 trovo p(1) = a + b + c + d e p00(−1) = 2c − 6d e quindi basta risolvere il sistema con associata la matrice completa
1 1 1 1 k
0 0 2 −6 2h
con soluzione
a0= k − h − α − 4β a1= α
a2= h + 3β a3= β
(α, β) ∈ R2
(3) Risolviamo l’esercizio per λ, µ generici: v `e autovettore per C con associato l’autovalore λµ + µ2− λ infatti
Cv = (AB + B2− A)v = (AB)v + (B2)v − Av = A(Bv) + B(Bv) + Av
= A(µv) + B(µv) + λv = λµv + µµv + λv = (λµ + µ2− λ)v.
A questo punto basta sostituire il valore richiesto.
(4) Si potrebbe calcolare il polinomio caratteristico e poi verificare che −4 ne `e una radice, ma si perde tempo. `E sufficiente mostrare che det(A − (−4)I) = 0 e poi calcolare l’autospazio. In questo caso, devo quindi calcolare
A + 4I =
1 3 2
2 6 4
−1 −3 −2
Noto facilente cha ha rango 1. Quindi la dimensione di V−4 risulta 2 con equazione cartesiana x + 3y + 2z = 0. Una sua base `e per esempio formata da (3, −1, 0) e (2, 0, −1).
(5) Scelgo la base formata F1=
1 0 0 0
, F2=
0 1 1 0
, F3=
0 0 0 1
Per mostrare che `e ben definita devo mostrare che la matrice Φ(F ) `e simmetrica:
Φ(F )T
= QTF QT
= QTFTQ = QTF Q = Φ(F ) .
La matrice richiesta risulta una matrice 3x3. Per trovare la prima colonna M1 di M calcolo Φ(F1) = QTF1Q e lo esprimo nella base precedente. Se pongo a = 0 trovo
Φ(F1) = QTF1Q =
36 −42
−42 49
= 36F1− 42F2+ 49F3quindi M1=
36
−42 49
2
Analogamente posso calcolare le altre colonne M2 e M3 tramite Φ(F2) = QTF2Q e Φ(F3) = QTF3Q.
Se Q =
α β γ δ
avremo M =
α2 2αγ γ2 αβ βγ + αδ γδ β2 2βδ δ2
Se M `e invertibile ovviamente Φ `e invertibile, quindi per esempio posso mostrare che det M 6= 0 (calcoli...) Oppure si pu`o notare che l’inversa risulta Φ−1(S) = (Q−1)TSQ−1 (dopo aver mostrato che Q `e invertibile), ad esempio si ha
Φ−1(Φ(F )) = (Q−1)T(QTF Q)Q−1= IF I = F
Quale interpretazione si potrebbe dare dell’applicazione Sim2(R)? Se S rappresenta un forma bi- lineare simmetrica di R2rispetto alla base canonica allora Φ(S) risulta la matrice che lo rappresenta rispetto alla base formata dai vettori v1= (6 − a, a) e v2= (a − 7, a − 4).
(6) Punto di intersezione A = (a, a − 9, 7 − a), da cui trovo B = A + v e C = A + w. A questo punto devo solo considerare i vettori ~AB = v, ~AC = w e ~BC = $ (l’ultimo va calcolato, ma `e facile). A questo punto devo solo fare i tre prodotti scalari fra questi vettori e controllare se almeno uno di essi mi viene negativo (ottusangolo) o nullo (rettangolo). Altrimenti risulta acutangolo. In particolare, per a = 3, 4 il triangolo viene ottusangolo, negli altri casi risulta acutangolo.
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