Dalla conservazione del momento angolare alla seconda legge di Keplero
MODULO 3• Gravitazione universale UNITÀ 8• Dai modelli geocentrici al campo gravitazionale
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© SEI- 2012
La seconda legge di Keplero si può ricavare dalla legge di conservazione del momento angolare.
r2 r1
P1 Δs1 S
P’1 vP
1
P2 Δs2
P’2 vP
2
Consideriamo il sistema Terra-Sole, ipotizzando che le forze esercitate dagli altri pianeti siano trascurabili.
In un punto qualsiasi P1dell’orbita terrestre che dista dal Sole r1il momento angolare L1 del nostro pianeta, che può essere assimilato a un corpo pun- tiforme, è dato da:
L1= mTvP1r1
Analogamente in P2si trova il momento angolare L2: L2= mTvP2r2
La forza gravitazionale agisce lungo la congiungente Terra-Sole, per cui il mo- mento di tale forza rispetto a un asse passante per il Sole e perpendicolare all’orbita risulta nullo (M→= 0).
Essendo il momento della forza gravitazionale rispetto a S nullo, vale la legge della conservazione del momento angolare:
L1= L2
cioè:
mTvP1r1= mTvP2r2
e semplificando mT:
r1= r2 [1]
Indichiamo con Δs1= P1P1′e Δs2= P2P′2i due tratti dell’orbita percorsi dalla Terra nello stesso intervallo di tempo Δt e talmente piccoli da potere essere as- similati a segmenti rettilinei.
Consideriamo il triangolo SP1P1′: essendo la base P1P1′molto piccola possiamo approssimare SP1≅ SP′1≅ r1e quindi, trattandosi di un triangolo isoscele con una base molto minore rispetto ai lati obliqui, si ha che anche l’altezza del triangolo è approssimabile con il lato obliquo h ≅ SP1≅ r1.
Analogamente per il triangolo SP2P′2dove si ha SP2≅ SP′2≅ r2e come nel caso precedente il lato obliquo approssima anche l’altezza del triangolo.
vP2 vP1
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per cui, essendo si ha:
semplificando:
moltiplicando ambo i membri per :
infine:
Area SP1P′1= Area SP2P2′
Possiamo concludere che nello stesso intervallo di tempo Δt il raggio che con- giunge il Sole con la Terra descrive aree uguali. Si tratta della seconda legge di Keplero.
La dimostrazione è generalizzabile a qualsiasi intervallo di tempo e a qual- siasi pianeta.
Δ Δ
Δ Δ s
t r s
t r
1 1 2
⋅ = ⋅ 2
1 2 1
2
1
1 1 2 2 2
Δs ⋅ =r Δs ⋅r Δs r1⋅ =1 Δs2⋅r2
v s
t v s
P1= Δ1 P2= t2
Δ Δ
e Δ
Inoltre dalla relazione [1]:
vP1r1= vP2r2
supponendo che P1sia il perielio (minima distanza dal Sole) e P2l’afelio (mas- sima distanza dal Sole), si ha r1< r2⇒ vP1 > vP2; la velocità della Terra rag- giunge il massimo al perielio e il minimo all’afelio.
mT
r1 perielio
vP1
r2
afelio mT vP2
