Densit` a discrete

Densit` a

1(condizione) :=

(0 se “condizione” `e falsa 1 se “condizione” `e vera

Densit` a discrete

n k



:= 1(k ∈ {0, . . . , n}) n!

k!(n − k)!

Binomiale di parametri n ∈ N, p ∈ (0, 1) f (x) :=n

x



p^x(1 − p)^n−x µ = np σ²= np(1 − p)

Ipergeometrica di parametri n, a, N ∈ N, a ≤ N f (x) :=

a x

N −a n−x

N n

µ = na

N σ²= na N

 1 − a

N

 N − n N − 1



Poisson di parametro λ > 0 f (x) := λ^x

x!e^−λ1(x ∈ {0, 1, . . . }) µ = λ σ²= λ Geometrica di parametro p ∈ (0, 1)

f (x) := p(1 − p)^x−11(x ∈ {1, 2, . . . }) µ = 1

p σ²= 1 p² −1

p

Densit` a continue

Normale di parametri µ, σ² f (x) := 1

√

2πσ²exp



−(x − µ)² 2σ²



µ = µ σ²= σ²

Uniforme in (α, β), α < β f (x) := 1

β − α1(x ∈ (α, β)) µ = α + β

2 σ²=(β − α)² 12 Gamma di parametri α > 0, λ > 0

f (x) := λ^α

Γ(α)x^α−1e^−λx1(x > 0) µ = α

λ σ²= α λ² Esponenziale di parametro λ > 0

f (x) := λe^−λx1(x > 0) µ = 1

λ σ²= 1 λ² Weibull di parametri λ > 0, β > 0

f (x) := λβx^β−1e^−λxβ1(x > 0) µ = Γ

1 + ¹_β

λ^1/β σ²= Γ

1 +_β²

− Γ

1 + _β¹2

λ^2/β

Intervalli di confidenza 1 − α

Media

Varianza nota campione normale o numeroso



Xn− zα/2

σ0

√n, Xn+ zα/2

σ0

√n

 

Xn− zα

σ0

√n, +∞

 

−∞, Xn+ zα

σ0

√n



Varianza incognita campione normale o numeroso



X_n− t_α/2,n−1S_n

√n, X_n+ t_α/2,n−1S_n

√n

 

X_n− t_α,n−1S_n

√n, +∞

 

−∞, X_n+ t_α,n−1S_n

√n



Varianza

Media incognita campione normale (n − 1)S_n²

χ²_α/2,n−1 , (n − 1)S_n² χ²_{1−α/2,n−1}

! (n − 1)S_n² χ²_α,n−1 , +∞

!

0,(n − 1)S_n² χ²_1−α,n−1

!

Differenza tra medie µ

− µ

Varianze note campioni indipendenti normali o numerosi

Xn− Ym− z_α/2 rσ²_X

n +σ_Y²

m, Xn− Ym+ z_α/2 rσ²_X

n +σ_Y² m

!

Xn− Ym− zα

rσ_X² n +σ²_Y

m, +∞

!

−∞, Xn− Ym+ zα

rσ²_X n +σ²_Y

m

!

Varianze incognite campioni indipendenti numerosi

Xn− Ym− z_α/2 rS_X²

n +S_Y²

m, Xn− Ym+ z_α/2 rS_X²

n +S_Y² m

!

Xn− Ym− zα

rS_X² n +S_Y²

m, +∞

!

−∞, Xn− Ym+ zα

rS_X² n +S²_Y

m

!

Varianze incognite ma uguali campioni indipendenti normali S_P² :=(n − 1)S_X² + (m − 1)S_Y²

n + m − 2

Xn− Ym− t_α/2,n+m−2SP

r1 n+ 1

m, Xn− Ym+ t_α/2,n+m−2SP

r1 n+ 1

m

!

Xn− Ym− tα,n+m−2SP

r1 n + 1

m, +∞

!

−∞, Xn− Ym+ tα,n+m−2SP

r1 n+ 1

m

!

Dati accoppiati

Si considera il campione D₁:= X₁− Y₁, . . . , D_n := X_n− Y_n.

Test di ipotesi di livello ≤ α

Media

Varianza nota campione normale o numeroso Z0:= X_n− µ0

σ0

√n

ˆ H0: µ = µ0 contro H1: µ 6= µ0 rifiuto H0 se |Z0| > zα/2

ˆ H0: µ = µ₀ o H₀: µ ≥ µ₀ contro H₁: µ < µ₀ rifiuto H₀ se Z₀< −z_α

ˆ H0: µ = µ₀ o H₀: µ ≤ µ₀ contro H₁: µ > µ₀ rifiuto H₀ se Z₀> z_α

Varianza incognita campione normale o numeroso T₀:=X_n− µ0

Sn

√n

ˆ H0: µ = µ₀ contro H₁: µ 6= µ₀ rifiuto H₀ se |T₀| > tα/2,n−1

ˆ H0: µ = µ₀ o H₀: µ ≥ µ₀ contro H₁: µ < µ₀ rifiuto H₀ se T₀< −t_α,n−1

ˆ H0: µ = µ0 o H0: µ ≤ µ0 contro H1: µ > µ0 rifiuto H0 se T0> tα,n−1

Varianza

Media incognita campione normale

X₀²:= (n − 1)S_n² σ₀²

ˆ H0: σ²= σ²₀ contro H1: σ²6= σ₀²rifiuto H0se X₀²> χ²_α/2,n−1 o X₀²< χ²_{1−α/2,n−1}

ˆ H0: σ²= σ²₀ o H0: σ²≥ σ₀² contro H1: σ²< σ²₀ rifiuto H0 se X₀²< χ²_1−α,n−1

ˆ H0: σ²= σ²₀ o H₀: σ²≤ σ₀² contro H₁: σ²> σ²₀ rifiuto H₀ se X₀²> χ²_α,n−1

Differenza tra medie µ

− µ

Varianze note campioni indipendenti normali o numerosi Z₀:= Xn− Ym

qσ²_X n +^σ_m^Y2

ˆ H0: µX = µY contro H1: µX6= µY rifiuto H0 se |Z0| > zα/2

ˆ H0: µ_X = µ_Y o H₀: µ_X ≥ µ_Y contro H₁: µ_X< µ_Y rifiuto H₀ se Z₀< −z_α

ˆ H0: µX = µY o H0: µX ≤ µY contro H1: µX> µY rifiuto H0 se Z0> zα

Varianze incognite campioni indipendenti campioni numerosi Z₀:= X_n− Ym

qS_X² n +^S_m^2Y

ˆ H0: µX = µY contro H1: µX6= µY rifiuto H0 se |Z0| > z_α/2

ˆ H0: µX = µY o H0: µX ≥ µY contro H1: µX< µY rifiuto H0 se Z0< −zα

ˆ H0: µ_X = µ_Y o H₀: µ_X ≤ µY contro H₁: µ_X> µ_Y rifiuto H₀ se Z₀> z_α

Varianze incognite ma uguali campioni indipendenti normali T₀:= Xn− Ym

SP

q1 n+_m¹

, S_P² := (n − 1)S_X² + (m − 1)S²_Y n + m − 2

ˆ H0: µX = µY contro H1: µX6= µY rifiuto H0 se |T0| > t_α/2,n+m−2

ˆ H0: µ_X = µ_Y o H₀: µ_X ≥ µY contro H₁: µ_X< µ_Y rifiuto H₀ se T₀< −t_α,n+m−2

ˆ H0: µX = µY o H0: µX ≤ µY contro H1: µX> µY rifiuto H0 se T0> tα,n+m−2

Dati accoppiati

Si considera il campione D1:= X1− Y1, . . . , Dn := Xn− Yn.

Rapporto tra varianze σ

/σ

Medie incognite campioni indipendenti normali di numerosit`a n ed m rispettivamente F0:= S_X²

S_Y²

ˆ H0: σ²_X= σ²_Y contro H1: σ²_X6= σ_Y² rifiuto H0 se F0> fα/2,n−1,m−1o F0< f1−α/2,n−1,m−1

ˆ H0: σ²_X= σ²_Y o H0: σ²_X≥ σ_Y² contro H1: σ²_X< σ_Y² rifiuto H0 se F0< f1−α,n−1,m−1

ˆ H0: σ²_X= σ²_Y o H0: σ²_X≤ σ_Y² contro H1: σ²_X> σ_Y² rifiuto H0 se F0> fα,n−1,m−1

Test χ

Adattamento ad una densit`a completamente specificata

ˆ X1, . . . , X_n, campione da una funzione di massa P (X = i) := p_i, i = 1, . . . , k non nota

ˆ Ni:= “numero di volte che i appare in {X1, . . . , Xn}”

ˆ p⁰i, i = 1, . . . , k, numeri positivi tali che,Pk

i=1p⁰_i = 1.

X₀²:=

k

X

i=1

(Ni− np⁰_i)² np⁰_i =

k

X

i=1

N_i² np⁰_i

!

− n

H0: (p1, . . . , pk) = (p⁰₁, . . . , p⁰_k), contro H1: “H0`e falsa” rifiuto H0se X<sub>0</sub><sup>2</sup>> χ<sup>2</sup><sub>α,k−1</sub>. Adattamento ad una densit`a con m parametri incogniti

ˆ X1, . . . , X_n, campione da una funzione di massa P (X = i) := p_i, i = 1, . . . , k non nota

ˆ Ni:= “numero di volte che i appare in {X1, . . . , Xn}”

ˆ p⁰i(λ₁, . . . , λ_m), i = 1, . . . , k funzioni positive note ma dipendenti da λ₁, . . . , λ_m parametri incogniti e tali che,Pk

i=1p⁰_i = 1.

ˆ ˆp⁰i stimatore di p⁰_i, i = 1, . . . , k

X₀²:=

k

X

i=1

(Ni− nˆp⁰_i)² nˆp⁰_i =

k

X

i=1

N_i² nˆp⁰_i

!

− n

H₀: (p₁, . . . , p_k) = (p⁰₁(λ₁, . . . , λ_m), . . . , p⁰_k(λ₁, . . . , λ_m)) per qualche (λ₁, . . . , λ_m), contro H₁:

“H₀`e falsa” rifiuto H₀se X₀²> χ²_α,k−m−1.

Indipendenza

ˆ (X1, Y₁), . . . , (X_n, Y_n), campione da una funzione di massa P (X = i, Y = j) := p_i,j, i = 1, . . . , r, j = 1, . . . , s non nota

ˆ Ni,j := “numero di volte che (i, j) compare in {(X₁, Y₁), . . . , (X_n, Y_n)}”

ˆ Ni:= “numero di volte che i compare in {X₁, . . . , X_n}” =Ps j=1N_i,j

ˆ Mj:= “numero di volte che j compare in {Y1, . . . , Yn}” =Pr i=1Ni,j.

ˆ ˆpi:= Ni/n

ˆ ˆqj:= Mj/n

X_∗²:=

r

X

i=1 s

X

j=1

(Ni,j− nˆpiqˆj)² nˆp_iqˆ_j = n









r

X

i=1 s

X

j=1

N_i,j² N_iM_j



− 1





H0: X e Y sono indipendenti, contro H1: “H0`e falsa” rifiuto H0 se X_∗²> χ²α,(r−1)(s−1).