c) la funzione di ripartizione e la densit`a della variabile T

III Appello di Matematica C – Probabilit`a Cognome:

Laurea Triennale in Ingegneria Biomedica Nome:

8 settembre 2008 Matricola:

Tema A

Esercizio 1. Un collegamento internet pu`o passare attraverso due siti, A e B. Il sistema sceglie automaticamente di passare attraverso il sito che offre la connessione per primo. Il tempo neces- sario per stabilire la connessione col sito A `e descritto da una variabile aleatoria TA con legge (assolutamente continua) uniforme sull’intervallo [0, 40] secondi, mentre il tempo necessario per stabilire la connessione col sito B `e descritto da una variabile aleatoria TB con legge (assoluta- mente continua) uniforme sull’intervallo [0, 30] secondi. Supponendo che i due siti siano fra loro indipendenti, calcolare:

a) la probabilit`a che T_Asia inferiore a 15 secondi;

b) la probabilit`a che il tempo T necessario per stabilire il collegamento (T = min{T_A, T_B}) sia superiore a 15 secondi;

c) la funzione di ripartizione e la densit`a della variabile T . ( Sugg.: P (T ≤ t) = 1 − . . . ) Soluzione.

a)

P (T_A≤ 15) = Z 15

0

1

40dx = 15 40 = 3

8. b) Si ha che

P (T > 15) = P (min{T_A, T_B} > 15) = P (T_A> 15, T_B> 15) = P (T_A> 15) P (T_B > 15) . Dal punto a) P (TA> 15) = 1 − P (TA≤ 15) = ⁵₈, mentre

P (T_B > 15) = Z 30

15

1

30dx = 15 30 = 1

2, per cui

P (T > 15) = P (T_A> 15) P (T_B> 15) = 5 8

1 2 = 5

16.

c) Chiaramente F_T(t) = 0 per t ≤ 0 mentre F_T(t) = 1 per t ≥ 30. Inoltre per t ∈ [0, 30]

FT(t) = P (T ≤ t) = 1 − P (T > t) = 1 − P (TA> t) P (TB> t) . Si ha che

P (TA> t) = Z 40

t

1

40dx = 40 − t 40 , mentre

P (T_B > t) = Z ₃₀

t

1

30dx = 30 − t 30 , da cui

F_T(t) = 1 − (40 − t)(30 − t)

1200 .

Segue che f_T(t) = 0 per t 6∈ [0, 30], mentre per t ∈ (0, 30) si ha f_T(t) = F_T⁰(t) = 30 − t

1200 +40 − t

1200 = 35 − t 600 .

Esercizio 2. Sia C > 0 e sia p(x, y) la funzione definita da p(0, 0) = ¹₆, p(0, 1) = ¹₄, p(1, 0) = C, p(1, 1) = ¹₆, p(2, 0) = ¹₆, p(2, 1) = 0 (vedi tabella).

Y = 0 Y = 1

X = 0 1/6 1/4

X = 1 C 1/6

X = 2 1/6 0

a) Si determini C in modo che p(x, y) sia la densit`a discreta di una coppia di variabili aleatorie (X, Y ).

b) Si calcolino le densit`a marginali p_X e p_Y ed il valore atteso E[X − 2Y ].

c) Si calcoli il valore atteso condizionato E[Y | X = 1].

d) Le variabili X e Y sono indipendenti? Motivare la risposta.

Soluzione.

a) Occorre imporre cheP

x,yp(x, y) = 1.

1 = X

x,y

p(x, y) = 1 6 +1

4 + C +1 6+1

6 = 3 4 + C , da cui C = ¹₄.

b) Si ha che X(S) = {0, 1, 2} mentre Y (S) = {0, 1}. Dunque p_Y(0) = p(0, 0) + p(1, 0) + p(2, 0) = 7

12, p_Y(1) = p(0, 1) + p(1, 1) + p(2, 1) = 5 12, e con calcoli analoghi

p_X(0) = 5

12, p_X(1) = 5

12, p_X(2) = 1 6. Segue che

E(X) = 0 · p_X(0) + 1 · p_X(1) + 2 · p_X(2) = 3

4, E(Y ) = 0 · p_Y(0) + 1 · p_Y(1) = 5 12, da cui, usando la linearit`a del valore atteso,

E(X − 2Y ) = E(X) − 2E(Y ) = 3 4−10

12 = −1 12. c) Si ha che

p_{Y |X}(0|1) = p(1, 0)

pX(1) = 1/4 5/12 = 3

5, p_{Y |X}(1|1) = p(1, 1)

pX(1) = 1/6 5/12 = 2

5, quindi

E(Y |X = 1) = 0 · p_{Y |X}(0|1) + 1 · p_{Y |X}(1|1) = 2 5.

d) X e Y non sono indipendenti perch´e p(2, 1) = 0 6= ¹₆ ·₁₂⁵ = pX(2) · pY(1).

Esercizio 3 (Domanda teorica di probabilit`a). Si enunci e si dimostri il legame tra la densit`a discreta congiunta e le densit`a discrete marginali per due variabili discrete X, Y indipendenti.

Soluzione.