Argomenti della lezione •

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Criteri di divisibilità

•

fattorizzazione

•

m.c.m. e M.C.D.

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frazioni ed espressioni

Quale cifra deve assumere la lettera c affinché i numeri

821c e 82c1

siano divisibili per 2?

Risposta

Un numero è divisibile per 2 se e solo se la cifra delle unità è 0, 2, 4, 6, 8.

Pertanto:

•

il numero 821c è divisibile per 2 se c assume uno dei valori precedenti;

•

il numero 82c1 ha la cifra delle unità uguale a 1. Di conseguenza non c’è alcun valore di c che lo rende divisibile per 2.

821c e 82c1

siano divisibili per 3?

Risposta

Un numero è divisibile per 3 se e solo se la somma delle sue cifre dà un numero divisibile per 3.

La somma delle cifre vale, per entrambi i numeri

8 + 2 + 1 + c = 11 + c

Affinché 11 + c, con c ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, sia un multiplo di 3 deve essere

11 + c = 12 ⇒ c = 12 − 11 = 1

oppure

11 + c = 15 ⇒ c = 15 − 11 = 4

e infine

11 + c = 18 ⇒ c = 18 − 11 = 7

Altre possibilità non vi sono perché 11 + c = 21 dà c = 21 − 11 = 10, valore non accettabile perché 10 non è una cifra. Quindi i numeri richiesti sono

• per 821c: 8211, 8214 e 8217; • per 82c1: 8211, 8241 e 8271.

Determinare il M.C.D. (Massimo Comun Divisore) ed il m.c.m (minimo comune multiplo) dei numeri 36, 90, 100.

Risposta

L’M.C.D. di un insieme di numeri naturali è il più grande numero che divide tutti i numeri dati.

Il m.c.m. di un insieme di numeri naturali è il più piccolo numero che è multiplo di tutti i numeri dati.

Determiniamo M.C.D. e m.c.m. usando la scomposizione (unica!) in fattori primi di ciascun numero. Abbiamo

36 2

18 2

9 3

3 3

1

⇒ 36 = 2²· 3²

90 2

45 3

15 3

5 5

1

⇒ 90 = 2 · 3²· 5

100 2

50 2

25 5

5 5

1

⇒ 100 = 2²· 5²

Quindi è

M.C.D.(36, 90, 100) = 2, m.c.m.(36, 90, 100) = 2²· 3²· 5² perché

•

per il M.C.D. si prendono solo i fattori comuni a tutti i numeri con l’esponente più basso;

•

per il m.c.m. si prendono tutti i fattori (comuni e non) a tutti i numeri con il grado più alto.

Determinare il M.C.D. (Massimo Comun Divisore) dei numeri 10002 e 9999.

Risposta

Sia k = M.C.D.(10002, 9999). Allora è

10002 = k · n₁ e 9999 = k · n₂

con n₁,n₂∈ N opportuni. Pertanto, effettuando la differenza tra i due numeri, risulta

10002 − 9999 = k · n₁− k · n₂ ⇔ 3 = k · (n₁− n₂)

Quindi, dato che k ∈ N, k è un divisore di 3 ossia è k = 1 oppure k = 3. Ora, sia 10002 che 9999 sono divisibili per 3. Pertanto, M.C.D.(10002, 9999) = 3.

Osservazione

Due numeri naturali il cui M.C.D. sia 1 si dicono primi tra loro.

Sia H un insieme di numeri interi positivi. Se in H non c’è alcun numero dispari, allora siamo certi che in H non c’è alcun numero che sia

[1] un multiplo di 3 [2] una potenza di 5 [3] divisibile per 7 e per 11

[4] il quadrato di un altro numero

Risposta

Poiché in H non ci sono numeri dispari vuol dire che ci sono solo numeri pari.

•

H può contenere multipli di 3, tutti quelli pari (ad esempio, 6).

•

Parimenti, H può contenere numeri divisibili per 7 e per 11 e che siano pari (ad esempio, 144 = 2 · 7 · 11).

•

H può contenere quadrati di altri numeri presenti in H oppure no (ad esempio, 16 = 4²).

•

Le potenze di 5, invece, terminano sempre per 5. Quindi sono numeri dispari e, pertanto, non possono stare in H. Pertanto, siamo certi che H non contiene potenze di 5.

Dimostrare che il numero N = n³− n, n ∈ N è sempre divisibile per 6.

Risposta Abbiamo

N = n³− n = n(n²− 1) = n(n − 1)(n + 1)

= (n − 1) · n · (n + 1)

Quindi N è il prodotto di tre interi consecutivi. Ne segue che

• almeno uno è pari;

• almeno uno è multiplo di tre.

Perciò, N ha tra suoi fattori 2 e 3. Di conseguenza, ha anche il fattore 6 = 2 · 3. Quindi è divisibile per 6.

Siano m, n numeri naturali dispari. Allora (m + 1) · n è un numero

[1] pari [2] dispari [3] sia pari che dispari

Risposta

Poiché m è dispari m + 1 risulta pari. Quindi, 2 è sicuramente uno dei fattori di m + 1 e, di conseguenza, anche di (m + 1) · n. Dunque, (m + 1) · n è pari.

Siano m e n due numeri interi. Si supponga che 10 divida il prodotto m · n. Allora

[1] 10 divide m e n [2] 10 divide m o n [3] nessuna delle due precedenti risposte è corretta

Risposta

E’ vera la terza opzione. In generale, se un numero divide il prodotto di altri numeri non è detto che sia un divisore di qualcuno di essi (anche se potrebbe esserlo). Ad esempio, prendendo m = 2 ed n = 5 abbiamo

•

10 divide m · n = 2 · 5 = 10

•

10 non divide né m né n.

E’ data una sequenza di n numeri dispari consecutivi. Detto M il maggiore della sequenza ed m il minore, quale relazione è vera?

[1] m = M − n [2] m = M − 2n [3] m = M − 2n + 2 [4] m = M − n + 1

Risposta

Per qualche k ∈ N, gli n numeri dispari, essendo consecutivi, possono essere scritti come

s₁=2k + 1, s₂=2k + 3, s₃=2k + 5, s₄=2k + 7, · · · , s_n=2k +(2n − 1)

Quindi M = 2k + (2n − 1) e m = 2k + 1 per cui

M − m = [2k + (2n − 1)] − [2k + 1] = 2n − 2.

Dunque risulta m = M − 2n + 2.

[1] sempre pari [2] sempre dispari [3] sia pari che dispari

Risposta

Generalizziamo al caso n^p+n^qcon p, q ∈ N. Distinguiamo due casi

•

n pari: E’ n = 2 · k , k ∈ N. Di conseguenza risulta

n^p = (2 · k )^p = 2^p· k^p ⇒ n^p pari n^q = (2 · k )^q = 2^q· k^q ⇒ n^q pari

ff

⇒ n^p+n^q pari

•

n dispari: E’ n = 2 · k + 1, k ∈ N. Ricordiamo che se m, n, p ∈ N con n > m allora (n − m)|(n^p− m^p). Segue per m = 1 e tenendo conto che 1^p=1

(n − 1)|(n^p− 1^p) =n^p− 1 Pertanto abbiamo

• n − 1 = 2k ⇒ n − 1 pari

• n − 1|n^p− 1 ⇒ 2|n^p− 1 ⇒ n^p− 1 pari

• n^p= (n^p− 1) + 1 dispari

Quindi, per p, q ∈ N e n dispari risulta n^ped n^qdispari. Pertanto, n^p+n^qè pari.

In conclusione, qualunque siano p, q, ed n, la somma n^p+n^qè sempre pari!

Qual è il valore della seguente espressione?

−¹₂−³₄

−3 +³₄

[1] − 1

6 [2] 5

9 [3] 45

16 [4] − 1

9

Risposta Abbiamo

−¹₂−³₄

−3 +³₄ =

−2−3 4

−12+3 4

= −⁵

4

−⁹₄

= −5

4·

„

−4 9

«

= 5

9

Scrivendo per esteso il numero decimale 17, 3 · 10⁻⁵, quale cifra si trova al quarto posto dopo la virgola?

[1] 7 [2] 0 [3] 1 [4] 3

Risposta

Dobbiamo spostare la virgola di 5 posizioni verso sinistra aggiungendo eventuali zeri. Risulta

17, 3 · 10⁻⁵=0, 000173

Pertanto, al quarto posto si trova la cifra 1.

L’espressione

4 · 10⁻⁸ 5 · 10⁻³ è uguale a

[1] 8 · 10⁻¹² [2] 8 · 10⁻⁴ [3] 8 · 10⁻⁶ [4] 8 · 10⁻¹⁰

Risposta

Applicando la proprietà delle potenze risulta

4 · 10⁻⁸ 5 · 10⁻³ = 4

5· 10^{−8−(−3)}

= 4 ·2 5 ·2· 10⁻⁵

= 8

10· 10⁻⁵

= 8 · 10⁻⁵⁻¹

= 8 · 10⁻⁶.

L’espressione

− 2⁻² 3 4

è uguale a

[1] 1

3 [2] 16

3 [3] − 1

3 [4] − 3

16

Risposta

Abbiamo

− 2⁻² 3 4

=

− ¹ 22 3 4

= − 1 2²·4

3= −1 3.

Osserviamo che la risposta deve essere un numero negativo perché l’espressione iniziale è il rapporto del numero

negativo − 2⁻²e del numero positivo 3/4. Dunque, le risposte [1] e [2] sono escluse a priori.

Quale vale 12, 5 · 10⁻³· 8 · 10¹¹¹?

[1] 10¹¹⁰ [2] 1¹¹⁰ [3] 10³⁷ [4] 100 · 10⁻³³³ [5] 1000¹⁰⁸

Risposta

Applicando le proprietà delle potenze risulta subito

12, 5 · 10⁻³· 8 · 10¹¹¹=12, 5 · 8 · 10⁻³⁺¹¹¹=100, 0 · 10¹⁰⁸=10²· 10¹⁰⁸=10²⁺¹⁰⁸=10¹¹⁰.