attorno all’asse per stabilizzare la sua

INTRODUZIONE

Satellite per telecomunicazioni per il Messico Morelos-D, portato in orbita dalla navetta spaziale (1985).

Al satellite viene impresso un moto rotatorio

attorno all’asse per stabilizzare la sua

orientazione nel viaggio verso l’orbita

geostazionaria.

INTRODUZIONE

I moti rotatori di particelle e corpi rigidi attorno ad assi di rotazione fissi o mobili sono di grande importanza dal punto di vista tecnologico

Le variabili cinematiche necessarie per descrivere in modo appropriato questo tipo di moti sono già state introdotte

Verranno ora definite le appropriate grandezze dinamiche rotazionali, momento meccanico di una forza e momento angolare

Tramite queste grandezze sarà possibile esprimere, a partire dalle leggi del moto della particella, la relazione dinamica che legano i moti rotazionali di particelle e corpi rigidi alle loro cause

I moti risultanti potranno essere di grande complessità

Si mostrerà infine che, per un sistema isolato o per il quale i momenti meccanici delle forze esterne sono nulli, il momento angolare gode di una legge di conservazione analoga a quella della quantità di moto

Grandezze efficaci per la rotazione

IL MOMENTO MECCANICO DI UNA FORZA

Oltre al moto traslatorio i corpi rigidi possono essere animati da un moto di tipo rotatorio

Le grandezze dinamiche che generano i moti rotatori dei corpi sono sempre le forze e, più precisamente, i loro momenti meccanici

L’intensità della forza

Il suo punto di applicazione rispetto alla linea dei cardini La sua direzione rispetto alla linea dei cardini

minima efficacia

massima efficacia

efficacia nulla

momento di F rispetto al punto O

non è un vettore applicato

indica l’asse di rotazione

non c’è moto lungo z

DEFINIZIONE DI MOMENTO MECCANICO DI UNA FORZA SU UNA PARTICELLA

τ 

_O

= 

r ×  F

•  il modulo

•  la direzione perpendicolare al piano di r e F

•  il verso definito dalla regola della mano destra

τ = rF sin θ

Dimensioni ed unità di misura

[ ] τ ⁼ [ ] ^{r } _" ^{! F  #} _{$ = ML}

²

^T

⁻²

^{= kg ⋅ m}

2

s

²

= N ⋅ m

stesse unità del lavoro, NON si esprime in joule

regola della mano destra

CALCOLO DEL MOMENTO DI UNA FORZA

Il momento di una forza dipende non solo dal modulo e dalla direzione della forza ma anche dal suo punto di applicazione rispetto al punto di riferimento adottato

Il valore del momento di una forza corrisponde all’area del parallelogramma definito dai vettori posizione r e forza F

Quando r ed F sono paralleli l’area è nulla ed il momento della forza è nullo

Il modulo di t si può scrivere

τ = r sin ( θ ) ^{F = r}

^⊥

^F

τ = r F sin ( θ ) ^{= r F}

^⊥

braccio

componente efficace di F

ESEMPIO

Un pendolo è costituito da un corpo di massa m=0,17 kg all’estremità di una sbarretta rigida di lunghezza L=1,25 m e di massa trascurabile. Qual è il modulo del momento della forza peso rispetto al punto di sospensione? Qual è la direzione? Il verso cambia se q diventa negativo?

Il modulo del momento meccanico

τ = Lmgsinθ = 1, 25m

( ) (

^0,17kg

) (

^{9,80 ms−2}

)

^{sin10° =}

= 0, 36 N ⋅ m

La direzione è perpendicolare al piano di L e F Il verso dipende dal segno di q

Si vedrà che il momento meccanico produce una accelerazione angolare parallela al momento stesso Tende quindi a fare avvicinare il pendolo alla posizione di equilibrio.

Quando il pendolo è spostato dalla parte opposta rispetto alla verticale, il momento meccanico cambia verso e tende di nuovo a riportare il pendolo verso la posizione di equilibrio

indica l’asse di rotazione

non c’è moto lungo z

si prende l’angolo minore fra i vettori O è fermo in un riferimento inerziale

IL MOMENTO ANGOLARE DI UNA PARTICELLA

Nel trattamento del moto traslatorio è stata definita una grandezza dinamica fondamentale, la quantità di moto



p = m  v; 

P = M  v

_cm

Per quanto riguarda i moti rotatori si definisce una grandezza analoga fondamentale, il momento della quantità di moto o momento angolare

Definizione del momento angolare di una particella rispetto al punto O

l 

_O

= 

r ×  p

definito rispetto ad O il modulo

la direzione perpendicolare al piano di r e p il verso dalla regola della mano destra

l = rpsin θ

CALCOLO DEL VALORE DEL MODULO DI L

l = r sin ( θ ) ^{p = pr}

^⊥

l = r psin ( θ ) ^{= rp}

^⊥

braccio

componente efficace della q.d.m.

Quando q=0 , 180° il momento è nullo, r e p sono paralleli Relazione fra il momento della forza ed il momento angolare

l 

_O

=  r × 

p → d  l

_O

dt = d  r dt × 

p + 

r × d  p

dt → d  l

_O

dt = 

v × m 

( ) v ^{+ r ×  d} p  dt

d l_O dt = 

r × 

∑

F Seconda Legge del moto

τ 

_O

∑ ^{= d}

l 

_O

dt

t

ed l calcolati rispetto allo stesso punto O fermo in un riferimento inerziale

Analogo rotazionale della Seconda Legge del moto di Newton E’ una relazione vettoriale, equivale a tre relazioni scalari

Non è una nuova legge fondamentale, bensì una riformulazione delle leggi di Newton in forma più adatta al moto rotatorio

F 

∑ ^{= d}

p 

dt

SISTEMI DI PARTICELLE

Calcolo del momento angolare totale per un sistema di particelle

L =   l

₁

+ 

l

₂

+... + 

l

_N

=  l

_n

n=1 N

∑

tutti calcolati rispetto allo stesso punto O Derivata temporale del momento angolare totale

d L

dt = d l₁

dt + d l₂

dt +...d l_N

dt = d l_n

n=1 dt

N

∑

^{; d}

l_n dt = 

τ

n

per ogni particella

d  L

dt =  τ

_n

∑ ⁼ ∑ ^{τ }

^next

⁺ ∑ ^{τ }

^nint tutte le forze agenti esterne ed interne

Per la Terza Legge del Moto le forze interne sono a due a due opposte e sulla stessa retta d’azione I relativi momenti meccanici si annullano a coppie

r 

₁

× 

F

₁₂

+ 

r

₂

× 

F

₂₁

=  r

₁

− 

r

₂

( ) ^{× F }

¹²

^{= 0}

O r!1

r!2

F!12

F!21

r 

₁

−  r

₂

( )

paralleli

τ 

_ext

∑ ^{= d}

L  dt

Seconda Equazione Cardinale della dinamica dei sistemi

SISTEMI DI PARTICELLE

τ 

_ext

∑ ^{= d}

L  dt

Seconda Equazione Cardinale della dinamica dei sistemi

Il momento risultante delle forze esterne agenti su di un sistema di particelle è uguale alla derivata rispetto al tempo del momento angolare totale del sistema. Tali momenti sono calcolati rispetto allo

stesso punto O che è fermo in un sistema di riferimento inerziale

L’espressione è l’analogo rotazionale dell’equazione ottenuta per il moto traslazionale dei sistemi di particelle

F 

_ext

∑ ^{= d}

P  dt

Prima Equazione Cardinale della dinamica dei sistemi

Nelle due Equazioni Cardinali della dinamica dei sistemi, grazie alla Terza Legge del moto, le forze interne si annullano completamente e non hanno effetti dinamici

Poiché le forze interne sono moltissime e normalmente sconosciute, senza questa completa eliminazione la trattazione della dinamica dei sistemi sarebbe stata inaffrontabile

ANALOGIE FRA DINAMICA TRASLAZIONALE E ROTAZIONALE DEI SISTEMI

forza su una particella momento su un corpo rotante

F =  Δ  p

Δt ; Δ 

p = 

FΔt τ ^ = Δ 

L

Δt ; Δ  L = 

τ Δt

F 

_||

F_⊥

cambia solo il modulo di p cambia solo la direzione di p

τ 

_||

τ 

_⊥

cambia solo il modulo di L cambia solo la direzione di L moto circolare uniforme moto di trottole e giroscopi Una forza sempre perpendicolare alla velocità v non compie lavoro

Un momento meccanico sempre perpendicolare a L non compie lavoro

ESEMPIO DI DINAMICA ROTATORIA

L’equazione dinamica del moto rotatorio è stata ricavata rispetto ad un punto fermo in un sistema inerziale

Se il punto è in moto generico accelerato l’equazione non vale in questa forma ma in una forma più complessa

Tuttavia, se il punto è il c.m. del sistema l’equazione vale in ogni caso, anche se il c.m. sta accelerando

Il moto di un sistema può essere scomposto in un moto traslatorio puro del c.m. più un moto rotatorio attorno al c.m.

Nota importante sul punto di riferimento

momento di f diretto come l’asse

la ruota accelera

momento di mg ortogonale all’asse

la gravità fa ruotare l’asse lateralmente

MOMENTO ANGOLARE E VELOCITÀ ANGOLARE

Consideriamo una particella di massa m connessa rigidamente ad un albero r o t a n t e m e d i a n t e u n b r a c c i o r’ (assumiamo v costante e di lavorare in assenza di gravità)

ω  è parallela e concorde a z

Il momento angolare l=r x p non è parallelo a ω

l p u ò e s s e r e s c o m p o s t o i n u n a componente z parallela a ω e in una componente ad essa ortogonale

Persa l’analogia tra moto traslatorio e rotatorio (p

sempre parallelo a v, non cosi l)

MOMENTO ANGOLARE E VELOCITÀ ANGOLARE

Per una descrizione generale della dinamica rotazionale dei sistemi e dei corpi rigidi in particolare è necessario tener conto della natura vettoriale della velocità angolare e del momento angolare

l ed ω non paralleli

v =   ω × 

r

l =   r × 

cuscinetti ideali

p

v (modulo) costante Vettore velocità angolare ω

direzione asse di rotazione fissato dai cuscinetti modulo indipendente da O

ω = v / ! r = v / r sin ( θ )

http://www.surendranath.org/Applets/Dynamics/AngMom/

AngMomApplet.html

l = r mv

( )

Vettore momento angolare l direzione ortogonale a r e p dipendente da O, precede attorno a ω

modulo dipendente da O

Non c’è analogia con il moto lineare, p e v sono sempre paralleli (p=mv)

MOMENTO D’INERZIA DI UN CORPO RIGIDO (CENNI)

l

_z

= l sin θ = r mv ( ) ^{sin θ = r m !} ( ^{r ω} ) ^{sin θ = m ! r}

²

^ω

componente l_z di l lungo w

l

_z

= m ! ( r

²

) ^{ω → l}

^z

^{= I ω}

indipendente da O proporzionale a w

I = momento d’inerzia di “m” rispetto all’asse

Il momento d’inerzia non è una proprietà del corpo, dipende dalla posizione dell’asse di rotazione

Definizione generale di Momento d’Inerzia di un sistema rigido di particelle (corpo rigido) rispetto ad un asse di rotazione

I = m

_n

r

_n²

n=1 N

∑ ^{; L}

^z

^{= I ω}

^rn = distanza di “m” dall’asse

È possibile determinare sotto quali ipotesi il momento e la velocità angolari sono paralleli (L = Iω)?

MOMENTO D’INERZIA DI UN CORPO RIGIDO (CENNI)

sistema simmetrico

Quando i sistemi di particelle ruotano attorno ad assi di simmetria il momento angolare e la velocità angolare sono paralleli

Le componenti di l₁ e l₂ ortogonali all’asse di rotazione si cancellano reciprocamente

Al contrario le componenti parallele all’asse di rotazione si sommano

l è parallelo ad ω per qualsiasi posizione del punto di riferimento O

Il modulo di L è L=2(l_z)=2mr’² ω=I ω

Tutti i corpi rigidi simmetrici rispetto all’asse di rotazione hanno il momento angolare parallelo alla velocità angolare

I corpi rigidi che non presentano simmetria rispetto all’asse di rotazione e ruotanti attorno ad un asse fisso hanno non parallelo ad . Mantengono comunque



L

_z

= I 

 ω

L ^ω

^

Per questo sistema rigido

L = I  

ω ; 

p = m  v

analogia fra momento d’inerzia e massa

PARALLELISMO DI L E Ω DAL PUNTO DI VISTA DINAMICO

I corpi che ruotano attorno ad un asse di simmetria (L ed ω paralleli) possono ruotare liberamente senza bisogno della applicazione di momenti meccanici esterni per mantenere fisso l’asse di rotazione

I corpi che non ruotano attorno ad un asse di simmetria (L ed ω non paralleli) hanno bisogno di momenti meccanici esterni per mantenere fisso l’asse di rotazione

L

ω 

ruotando a ω costante L non cambia modulo e

direzione

τ 

_ext

∑ ^{= d}

L 

dt = 0

nessun momento esterno

ω 

L

ruotando a ω costante L precede attorno a ω

τ 

_ext

∑ ^{= d}

L  dt ≠ 0

necessari momenti esterni

Il problema è particolarmente importante nella progettazione di organi meccanici in rotazione (rotori delle turbine, ruote delle automobili, ecc.) che devono sempre avere L ed ω paralleli

MOVIE

MOMENTO DELLE FORZE NEL MOTO CIRCOLARE DI UNA PARTICELLA

l varia con t, precede

v (modulo) costante

momento t generato da F

Sebbene l e ω non siano paralleli, il sistema rotante formato da una sola particella è compatibile con l’espressione della legge di moto angolare

τ =  d  l

Se v (modulo) è costante, varia solamente la componente di l perpendicolare all’asse di rotazione

dt

La variazione di tale componente è generata dal momento meccanico rispetto ad O della forza centripeta F fornita dal braccio di supporto della particella

τ  = 

r × 

F

MOMENTO DELLE FORZE NEL MOTO CIRCOLARE DI UNA PARTICELLA

Durante il moto rotatorio dl è sempre parallelo a τ come prevede la legge di moto angolare

Modulo dl, dl/dt

dl = l

_⊥

d ϕ = l

_⊥

ω ^{dt ; dl}

dt = l

_⊥

ω

l = mvr; l

_⊥

= mvr cos θ ; v = ω r = " ω ^{r sin} θ

l

_⊥

= m ω ^r

²

^sin θ ^cos θ → dl

dt = ω ^l

_⊥

= m ω

²

^r

²

^sin θ ^cos θ

τ = rF sin π 2 +θ

!

"

# $

%& = rF cosθ^{; F}centr = mv² '

r = mω²r = m' ω^{2r sin}θ

τ = m ω

²

^r

²

^sin θ ^cos θ

Modulo di τ

Quindi è verificata anche la relazione scalare

τ = dl

dt

CORPI SIMMETRICI E CORPI ASIMMETRICI

Questo sistema è “sbilanciato” nella rotazione attorno all’asse bloccato dai cuscinetti

I vettori ω ed L non sono paralleli L precede attorno ad ω

La precessione di L è compatibile con la legge di moto angolare

τ

ext

∑

^{= d}

L dt

Il momento meccanico esterno è applicato dai cuscinetti che reggono l’asse

Esso è originato dalla stessa forza che i cuscinetti devono applicare per generare la forza centripeta necessaria per tenere in rotazione le sfere.

Tale momento è ortogonale al piano di ω e di L e ruota con il sistema Essendo ortogonale ad ω non compie lavoro e non cambia l’energia cinetica del sistema in rotazione

Le forze F e –F generano uno sforzo asimmetrico sui cuscinetti che devono essere abbastanza robusti per sopportarlo.

Nei corpi simmetrici la rotazione avviene invece senza necessità di momenti esterni

DINAMICA DEI CORPI ROTANTI ATTORNO AD UN ASSE FISSO

•  Quando un corpo rigido ruota attorno ad un asse fisso vale la relazione

L

_z

= I ω

τ=

∑

^d

L

dt →

∑

τz =^dL_dt^{z →}

∑

^{τz =d I}

^{( )}

_dt^{ω = I d}_dt^ω

τ

_z

∑

^{= I}

^α

analogo della legge di moto traslazionale



∑ F ^{= M a }

^{cm I} è l’analogo di M, inerzia alla rotazione L non parallelo ad ω in generale

valori calcolati di I per solidi regolari in rotazione

rispetto all’asse

I esprime l’inerzia del corpo ad essere messo

in rotazione

più la massa è lontana dall’asse maggiore è l’inerzia alla rotazione

ESEMPIO

E’ più grande il momento angolare della Terra associato alla rotazione o quello associato alla rivoluzione attorno al Sole?

L

_rotaz

= 2

5 M

_Terra

R

_T²

2 π T =

= 2

5 ( 5, 98⋅10

²⁴

kg ) ( ^{6, 37 ⋅10}

⁶

^m )

²

_{8, 64 ⋅10} ^{2 π}

⁴

_s

( ) ⁼

= 7, 05⋅10

³³

kg ⋅ m

²

s

⁻¹

Moto di rotazione

L

_rotaz

= I

_Terra

ω ^{; I}

_Terra

= 2

5 M

_Terra

R

_T²

I di una sfera

Moto di rivoluzione

L

_orb

= R

_orb

p = R

_orb

Mv = R

_orb

M ( ω ^R

_orb

) ^{= MR}

^orb2

^{2 π}

T

L

_orb

= MR

_orb²

2 π

T = 5, 98⋅10 (

²⁴

kg ) ( ^{1, 50 ⋅10}

¹¹

^m )

²

_{3,16 ⋅10} ^{2 π}

⁷

_s

( ) = 2, 67 ⋅10

⁴⁰

kg ⋅ m

²

s

⁻¹

CONSERVAZIONE DEL MOMENTO ANGOLARE

Nei sistemi isolati o sui quali agisce un momento totale delle forze nullo vale la relazione seguente (i momenti sono calcolati rispetto ad un punto fisso in un sistema inerziale o rispetto al c.m. del sistema)

τ_ext

∑

^{= d}

L

dt → d L

dt = 0 → 

L = costante

Legge di Conservazione del Momento Angolare

Quando il momento risultante delle forze esterne agenti su un sistema è nullo, il vettore momento angolare totale del sistema rimane costante

Come per le leggi di conservazione dell’energia e della quantità di moto, anche la conservazione del momento angolare è un risultato di grande generalità.

Vale nell’ambito della Meccanica Classica, ma anche per i fenomeni relativistici e quantistici Per questa Legge non sono state trovate eccezioni

Il momento angolare delle singole particelle può variare ma il momento angolare totale deve rimanere costante

Essendo il momento angolare una quantità vettoriale, la sua conservazione fornisce tre equazioni indipendenti valide per lo studio di un sistema

dL_x

dt = 0; dL_y

dt = 0; dL_z dt = 0

La conservazione può essere applicata indipendentemente ad ognuna delle tre componenti

CONSERVAZIONE DEL MOMENTO ANGOLARE E MOMENTO D’INERZIA

Il momento angolare di un corpo rigido che ruota attorno ad un asse fisso z si scrive

L

_z

= I ω

Se il sistema non è rigido il momento d’inerzia può cambiare da I_i a I_f per una diversa distribuzione delle posizioni delle parti del sistema

τ

_z

∑ ^{= 0 → L}

^z

= costante → I

_i

ω

_i

= I

_f

ω

_f

La velocità angolare del sistema può quindi cambiare se viene modificato il momento d’inerzia, poiché il momento angolare totale deve rimanere costante

Questa espressione della legge di conservazione della quantità di moto vale per le rotazioni di un corpo attorno ad un asse fisso o attorno ad un asse passante per il c.m. e che si mantiene parallelo a se stesso

La conservazione del momento angolare regola una grande moltitudine di processi fisici

ESEMPI DI CONSERVAZIONE DEL MOMENTO ANGOLARE (PULSAR)

implosione una stella

(stella di neutroni)

I diminuisce di un fattore 10⁹, ω passa da una rotazione al mese a 1000 giri al secondo

Elettroni intrappolati nel campo magnetico emettono radiazione elettromagnetica (segnale)

ESEMPI DI CONSERVAZIONE DEL MOMENTO ANGOLARE

“Le tour fouetté”

grande momento d’inerzia

acquista un grande momento angolare

diminuisce I aumenta ω

L

_z

si conserva

ESEMPI DI CONSERVAZIONE DEL MOMENTO ANGOLARE

Il principio schematizzato

I

_i

ω

_i

= L ^I

f

ω

_f

= L

I

_f

< I

_i

→ ω

_f

> ω

_i

L’energia cinetica del sistema aumenta, da dove viene il lavoro necessario?

http://www.mhhe.com/physsci/physical/giambattista/cam/cam.html

ESEMPI DI CONSERVAZIONE DEL MOMENTO ANGOLARE

La tuffatrice

L iniziale

Mentre salta la tuffatrice si imprime un momento angolare iniziale

Durante il volo il momento angolare si conserva poiché la forza peso è applicata nel c.m./baricentro

La velocità angolare può essere aumentata/diminuita diminuendo o aumentando il momento d’inerzia del corpo

L si conserva

L si conserva I diminuisce

ω aumenta

I aumenta ω diminuisce

L iniziale I diminuisce ω aumenta I aumenta

ω diminuisce tuffo con rotazione

Le braccia modificano I

STABILITÀ DI OGGETTI ROTANTI NELLO SPAZIO

Un oggetto in moto con q.d.m. p=mv possiede una stabilità direzionale

Per poterne cambiare la direzione è necessaria una variazione di q.d.m. trasversale Δp

θ = arctan Δp

_⊥

p

#

$ % &

' (

Più grande è p più piccolo è l’angolo θ (la stessa forza deviante è meno efficace se agisce su corpi con p maggiore)

Il momento angolare stabilizza l’orientazione dell’asse di rotazione (stabilità di orientamento)

Un oggetto rotante possiede un determinato valore del momento angolare L

Un momento meccanico ortogonale ad L quindi all’asse di rotazione ne cambia la direzione di un angolo

θ = arctan ΔL

_⊥

L

#

$ % &

' (

STABILITÀ DI OGGETTI ROTANTI NELLO SPAZIO

Più grande è il momento angolare più piccola è la deviazione dell’asse dalla sua direzione Quando un corpo viene messo in rotazione attorno ad un asse di simmetria, si stabilizza l’orientazione dell’asse rendendo più difficile la sua modificazione da parte di forze e momenti esterni

Altri esempi sono il moto delle biciclette o i passaggi della palla ovale con rotazione attorno all’asse di simmetria principale

Orientazione delle astronavi nello spazio

Un sistema a momento angolare nullo può essere ruotato nello spazio con cambiamenti interni al sistema

Se L è nullo deve rimanere tale

Facendo ruotare un volano interno si genera un momento angolare che deve essere compensato dalla rotazione in senso opposto della navicella

Quando il volano viene arrestato anche la navicella si arresta ma il suo angolo di orientazione è cambiato

Normalmente le navicelle utilizzano dei propulsori a razzo per modificare l’assetto

Nel 1986 il Voyager 2 veniva messo in rotazione dalla partenza del registratore

LA RUOTA DELLA BICICLETTA

Se si considera lo studente+la ruota come uno stesso sistema si conclude che il momento angolare totale non può variare a seguito delle forze interne che cambiano l’orientazione del momento angolare della ruota.

Se si considerano lo studente e la ruota come sistemi singoli, lo studente deve applicare un momento meccanico per fare girare l’asse della ruota

Per la terza legge del moto lo studente è sottoposto ad un momento meccanico opposto che lo fa girare in senso inverso.

http://www.youtube.com/watch?v=UZlW1a63KZs

LA TROTTOLA

La trottola è l’esempio più familiare di un sistema nel quale un momento trasversale fa variare la direzione ma non il modulo del momento angolare

punto fisso

precessione

L’asse di rotazione si

m u o v e l e n t a m e n t e

intorno all’asse verticale

(precessione)

LA TROTTOLA

momento trasversale originato da Mg (normale a L: puo modificarne direzione ma non modulo)

τ = Mgr sin θ

L grande rotazione rapida

dL = τ dt

la precessione è causata dalla gravità

LA TROTTOLA

Modulo del momento della forza di gravità

τ = Mgr sinθ

Il momento della forza di gravità è ortogonale ad L e quindi ne varia la direzione ma non il modulo

Δ  L = 

τ Δt; 

L → 

L + Δ  L

Questo cambiamento di L determina un cambiamento dell’asse di rotazione ed il moto risultante di precessione

Calcolo della velocità angolare di precessione ω_P = Δϕ

Δt ; Δϕ = ΔL L sinθ ⁼

τΔt L sinθ

ω

P = Δ

ϕ

Δt =

τ

L sin

θ

⁼

Mgr sin

θ

L sin

θ

⁼

Mgr

L = Mgr I

ω

La velocità angolare di precessione è inversamente proporzionale al momento angolare della trottola Essa risulta indipendente dalla massa dell’oggetto rotante

http://faculty.ifmo.ru/butikov/Applets/Gyroscope.html

SOMMARIO DELLA DINAMICA ROTAZIONALE