I. Dunque A ` e l’anello delle coordinate di X = V (I) ⊂ k n . Sia U un aperto di X. Una funzione u : U → k si dice regolare se per ogni punto x di U vi sono un intorno aperto W e elementi g, h di A tali che

FUNZIONI REGOLARI SU VARIET ` A AFFINI

MAURIZIO CORNALBA

Sia k un campo algebricamente chiuso, e sia A una k-algebra di tipo finito senza nilpotenti.

Si pu` o rappresentare A (in modo tutt’altro che unico) come quoziente A = k[X 1 , . . . , X n ]/I, dove X ₁ , . . . , X _n sono indeterminate su k e I = √

I. Dunque A ` e l’anello delle coordinate di X = V (I) ⊂ k ⁿ . Sia U un aperto di X. Una funzione u : U → k si dice regolare se per ogni punto x di U vi sono un intorno aperto W e elementi g, h di A tali che

h(x) 6= 0 e u(x) = g(x)

h(x) per ogni x ∈ W .

La nozione di regolarit` a ` e dunque una nozione locale, nel senso che, se U = S U _i ` e un ricoprimento aperto di U , una funzione su U la cui restrizione a ogni U i sia regolare ` e a sua volta regolare. Inoltre, date funzioni regolari u _i su ogni aperto U _i con la propriet` a che le restrizioni di u i e u j a U i ∩U _j coincidano per ogni scelta di i e j, esiste una e una sola funzione regolare su U la cui restrizione a U _i sia u _i per ogni i. Infatti le funzioni u _i si incollano in una funzione u : U → k, che risulta regolare per quanto prima detto. Le funzioni regolari su U possono essere sommate e moltiplicate, e costituiscono una k-algebra.

Sia ora f un elemento di A. Poniamo D _f = X rV (f ) = {x ∈ X : f (x) 6= 0}. Gli aperti D f

costituiscono una base per la topologia di Zariski di X. Infatti, da un lato D _f ∩ D _f

= D _{f f}

, dall’altro ogni aperto di X ` e della forma U = X r V (I) per qualche ideale I e dunque, se f 1 , . . . , f ` sono generatori di I, si ha che

U = X r V (f 1 , . . . , f _` ) = X r \

i

V (f _i ) = [

i

D _f

.

Lemma 1. Siano a, f elementi di A. Se a(x) = 0 per ogni x ∈ D f , allora f a = 0.

Dimostrazione. Dato che f si annulla in ogni punto del complementare di D f , f a si annulla in ogni punto di X. In altre parole, V (f a) = X. Per il teorema degli zeri (Nullstellensatz), f a deve allora essere nilpotente, quindi nullo per le ipotesi su A.  Indichiamo con R _f l’anello delle funzioni regolari su D _f . Sia q = a/f ^N un elemento di A _f . Per ogni x ∈ D _f , poniamo u(x) = a(x)/f (x) ^N . ` E chiaro che u ` e una funzione regolare su D _f . Inoltre ` e immediato verificare che u non dipende dalla rappresentazione di q come frazione. Quindi la posizione α(q) = u individua una applicazione ben definita α : A f → R <sub>f</sub> . E ugualmente immediato verificare che α ` ` e un omomorfismo di anelli.

Lemma 2. α : A f → R _f ` e un isomorfismo.

Dimostrazione. Mostriamo in primo luogo che α ` e iniettivo. Se α(a/f ^N ) = 0, necessaria- mente a(x) = 0 per ogni x ∈ D f . Allora f a = 0 per il Lemma 1, e quindi a/f ^N = f a/f ^{N +1} = 0.

Date: 10 ottobre 2008.

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2 MAURIZIO CORNALBA

Ora mostriamo che α ` e suriettivo. Sia u una funzione regolare su D <sub>f</sub> . Ci` o significa che vi sono un ricoprimento finito D _f = D _f

∪ · · · ∪ D _f

ed elementi g _i , h _i di A tali che

h i (x) 6= 0 e u(x) = g i (x)

h _i (x) per ogni x ∈ D _f

. Dato che D _f

⊂ D _f e D _f

⊂ D _h

, si ha che D _f

= D _{f h}

_f

. Inoltre

g _i (x)

h i (x) = g _i (x)f (x)f _i (x) h i (x)f (x)f i (x)

Quindi, rimpiazzando f _i con h _i f f _i e g _i con g _i f f _i , si pu` o supporre che u(x) = g _i (x)

f i (x) per ogni x ∈ D _f

.

Ne segue in particolare che g _i (x)f _j (x) = g _j (x)f _i (x) per ogni x ∈ D _f

∩ D _f

= D _f

_f

. Quindi f i f j g i f j = f i f j g j f i per il Lemma 1. Rimpiazzando eventualmente g i con g i f i e f i con f _i ² possiamo dunque supporre che

(1) g _i f _j = g _j f _i per ogni i e ogni j .

Dato che V (f ) = V (f 1 ) ∩ · · · ∩ V (f ` ) = V (f 1 , . . . , f ` ), si ha che f ∈ p(f ₁ , . . . , f ` ) per il teorema degli zeri. In altri termini

f ^N = X a i f i ,

dove a _i ∈ A per ogni i, per qualche intero N . Ora poniamo v = P a _i g _i . Se x ∈ D _f

, si ha che

f (x) ^N g _i (x) = g _i (x) X

a _j (x)f _j (x) = X

a _j (x)g _j (x)f _i (x) = v(x)f _i (x) per la (1). Dunque

u(x) = g _i (x)

f _i (x) = v(x) f (x) ^N .

Questo mostra che u = α(v/f ^N ), e dunque che α ` e suriettivo.