§ 1 - CONFRONTO LOCALE: I SIMBOLI DI LANDAU
Nello studio del comportamento di una funzione vicino ad un punto x 0 , dopo aver visto se la funzione ammette limite (finito, nullo o infinito), per x → x 0 , pu` o interessare come lafunzione tende atale valore.
Inoltre, se si studiano due funzioni f e g, entrambe definite in un intorno di x 0 escluso al pi` u il punto x 0 stesso, hainteresse studiare se c’`e relazione tra i loro limiti (ammesso che esistano), per x → x 0 . Le definizioni che seguono precisano proprio questa indagine.
Le funzioni f, g, h ... che consideriamo sono tutte definite e non nulle in un intorno U del punto x 0 , escluso al pi` u il punto x 0 stesso.
DEFINIZIONE 1
f (x) ` e equivalente a g(x) per x → x 0 (in simboli:f ∼ g (x → x 0 ) ) se :
x lim →x
0f (x) g(x) = 1
ESEMPI
a ) 3x 2 + 5x ∼ 5x, per x → 0 b) 3x 2 + 5x ∼ 3x 2 , per x → ±∞
c) sin x ∼ tan x ∼ x ∼ log (1 + x), per x → 0 d) 3x + √
x ∼ √
x, per x → 0 e) x 3 + sin x ∼ x 3 , per x → ±∞
f) log x ∼ (x − 1) , per x → 1
DEFINIZIONE 2
f (x) ` e dello stesso ordine di grandezza di g(x) per x → x 0 (in simboli:f g (x → x 0 ) ) se :
x lim →x
0f (x)
g(x) = l = 0 l ∈ R ESEMPI
a ) 1 − cos x x 2 per x → 0 b) sin 2x x per x → 0
c) 3x 3 − 5x 2 + x 5x 3 + 7x 2 − 1 x 3 per x → ±∞
d)
2x 2 + x |x| per x → ±∞
e) log x 2x − 2 per x → 1
Si osservi che se f e g sono entrambe infinitesime (oppure infinite) (per x → x 0 ) non `e detto che siano equivalenti, n´e dello stesso ordine di grandezza.
Si considerino, ad esempio, le due funzioni f (x) = x, g(x) = x 2 per x → 0 oppure per x → +∞
Le relazioni ∼ e forniscono quindi risultati nuovi se applicate alle funzioni infinitesime o infinite.
ALCUNE PROPRIETA’ DELLE RELAZIONI ∼ , (x → x 0 )
a) f ∼ f a’) f f
b) f ∼ g ⇒ g ∼ f b’) f g ⇒ g f
c) f ∼ g ∧ g ∼ h ⇒ f ∼ h c’) f g ∧ g h ⇒ f h
d) f → l = 0 ∧ g → l = 0 ⇒ f ∼ g d’) f → l = 0 ∧ g → m = 0 ⇒ f g
e) f → l ∧ g ∼ f ⇒ g → l e’) f → 0 (o f → +∞) ∧ g f ⇒ g → 0 (o g → +∞) f) f 1 ∼ g 1 ∧ f 2 ∼ g 2 ⇒ f 1 f 2 ∼ g 1 g 2 f’) f 1 g 1 ∧ f 2 g 2 ⇒ f 1 f 2 g 1 g 2
g) f 1 ∼ g 1 ∧ f 2 ∼ g 2
f 2 , g 2 = 0 in U(x 0 )
⇒ f 1 f 2 ∼ g 1
g 2
g’) f 1 g 1 ∧ f 2 g 2
f 2 , g 2 = 0 in U(x 0 )
⇒ f 1 f 2 g 1
g 2
h) f ∼ g ⇒ f g OSSERVAZIONI
a) L’implicazione h) non `e invertibile. Ad esempio, se f (x) = sin x e g(x) = x , si ha : f (x) ∼ g(x) (e quindi f (x) g(x)), per x → 0.
Invece, se f (x) = sin(3x) e g(x) = x, si ha f (x) g(x) manon f(x) ∼ g(x), per x → 0.
b) Non vale la propriet` a additiva, n´ e per larelazione ∼ n´e per , cio`e se f 1 ∼ g 1 ∧ f 2 ∼ g 2 non `e detto che f 1 + f 2 ∼ g 1 + g 2 . Lastessacautelavale per larelazione . Ad esempio si considerino le funzioni f 1 (x) = x , g 1 (x) = x , f 2 (x) = x 2 − x , g 2 (x) = x 3 − x , per x → 0.
DEFINIZIONE 3
f (x) ` e o-piccolo di g(x) per x → x 0 (in simboli: f = o(g) x → x 0 ) se
x lim →x
0f (x) g(x) = 0 (Si dice anche che f ` e trascurabile rispetto a g per x → x 0 .) OSSERVAZIONE: f = o(1) ⇔ lim
x→x
0f (x) = 0 , cio`e f = o(1) ⇔ f `e INFINITESIMA per x → x 0 . Analogamente, 1 = o(f ) ⇔ lim
x →x
0f (x) = ∞ , cio`e 1 = o(f) ⇔ f `e INFINITA per x → x 0 . ESEMPI
a) x 2 = o(x) per x → 0 b) x = o(x 2 ) per x → ∞ c) 1 − cos x = o(x) per x → 0 d) 1
x 2 = o
1 x
per x → ∞
ALCUNE PROPRIETA’ DELLA RELAZIONE o-piccolo (x → x 0 ) a) f = o(g) ∧ g = o(h) ⇒ f = o(h)
b) f 1 = o(g 1 ) ∧ f 2 = o(g 2 ) ⇒ f 1 f 2 = o(g 1 g 2 ) c) f 1 g 1 ∧ f 2 = o(g 2 ) ⇒ f 1 f 2 = o(g 1 g 2 ) d) f ∼ g ⇔ f − g = o(g)
Ad esempio:
per x → 0 1 − cos x = o(x) , sin(x 2 ) = o(x) ; quindi (1 − cos x) sin(x 2 ) = o(x 2 );
per x → 0 1 − cos x = o(x) e quindi x(1 − cos x) = o(x 2 );
per x → 0 sin x ∼ x e, equivalentemente, sin x = x + o(x);
L’introduzione dei concetti di funzione trascurabile e di funzione equivalente a un’altra consente di sempli- ficare il calcolo dei limiti. Valgono infatti le due propriet` aseguenti:
PRINCIPIO DI ELIMINAZIONE DEI TERMINI TRASCURABILI.
Supponiamo che f 1 (x) = o(f (x)) , g 1 (x) = o(g(x)) per x → x 0 . Allora
x→x lim
0(f (x) + f 1 (x)) (g(x) + g 1 (x)) = lim
x→x
0f (x) g(x)
L’applicazione del principio di eliminazione dei termini trascurabili, nel calcolo di un limite, consiste appunto nel trascurare in una somma, sia a numeratore che a denominatore, i termini trascurabili (ad esempio gli infinitesimi di ordine superiore, se f, g, f 1 , g 1 sono infinitesimi per x → x 0 , ovvero gli infiniti di ordine inferiore, se f, g, f 1 , g 1 sono infiniti per x → x 0 ).
Cos`ı, ad esempio, si ha:
x lim →0
(x + x 2 ) (2x − x 3 ) = lim
x →0
x 2x = 1
2 ; lim
x→+∞
(3 − x + x 2 )
(7 − 2x − x 3 ) = lim
x→+∞
x 2
−x 3 = −∞.
PRINCIPIO DI SOSTITUZIONE CON FUNZIONI EQUIVALENTI
Supponiamo che f 1 (x) ∼ f(x) , g 1 (x) ∼ g(x) per x → x 0 . Allora;
x→x lim
0f (x)g(x) = lim
x→x
0f 1 (x)g 1 (x) Inoltre, se
g, g 1 = 0 in U(x 0 )
:
x→x lim
0f (x) g(x) = lim
x→x
0f 1 (x) g 1 (x)
Cio`e: nel calcolo del limite del prodotto (o quoziente) di funzioni si possono sostituire le funzioni con altre ad esse equivalenti.
Ad esempio:
x lim →0
sin 2 x
1 − cos x = lim
x →0
x 2
x
22
= 2
x→0 lim
tan 4x · log(1 + 6x) (1 − e 2x ) · sin 3x = lim
x→0
4x · 6x
−2x · 3x = −4
ATTENZIONE: non si pu` o usare nelle somme il principio di sostituzione con funzioni equivalenti.
Ad esempio:
x→0 lim
tan x − sin x x 3 = lim
x→0
tan x x 3 − sin x
x 3
= lim
x→0
x x 3 − x
x 3
= 0 Si hainvece:
x lim →0
tan x − sin x x 3 = lim
x →0
tan x(1 − cos x)
x 3 = lim
x →0
x · x 2
2x 3 = 1
2
§ 2 - CONFRONTO DI INFINITESIMI E DI INFINITI
Consideriamo le funzioni f (x) e g(x) che per x → x 0 tendono azero (oppure ainfinito); hainteresse stabilire un confronto fradi esse per conoscere se unadelle due funzioni tende azero (o ainfinito) “pi` u rapidamente” dell’altra o entrambe tendono a zero (o a infinito) “nello stesso modo”. Si parla di ordine di infinitesimo (oppure di ordine di infinito) delle due funzioni , per x → x 0 , e lo si denotacon ord(f ) e ord(g) (oppure con Ord(f ) , Ord(g)).
Pi` u precisamente, se f (x) e g(x) sono due funzioni entrambe infinitesime (per x → x 0 ) e se g(x) = 0 in un intorno U(x 0 ), diamo le seguenti :
DEFINIZIONI
1) f ` e un INFINITESIMO DI ORDINE SUPERIORE a g se f = o(g), cio`e se lim
x →x
0f (x) g(x) = 0.
2)f e g sono INFINITESIMI DELLO STESSO ORDINE se f g, cio`e se lim
x →x
0f (x)
g(x) = l = 0 3)f ` e un INFINITESIMO DI ORDINE INFERIORE a g se g = o(f ), cio`e se lim
x→x
0g(x) f (x) = 0 ESEMPI
a) Siano f (x) = x 3 e g(x) = x 2 . Si vede subito che ord(f ) > ord (g) (per x → 0); infatti: lim
x →0
x 3 x 2 = 0 In generale, se p n (x) e q m (x) sono due polinomi di grado, rispettivamente, n ed m senzatermine noto (e dunque infinitesimi per x → 0), si ha:
ord (p n ) > ord (q m ) ⇔ n > m
b) Le due funzioni f (x) = 1 − cos x e g(x) = x 2 sono infinitesime dello stesso ordine per x → 0, poich´e
x→0 lim
1 − cos x x 2 = 1
2 c) ord (log x) = ord (x − 1), per x → 1. Infatti: lim
x→1
log x x − 1 = lim
t→0
log(1 + t)
t = 1
In modo analogo, se f (x) e g(x) sono due funzioni entrambe infinite (per x → x 0 ) e se g(x) = 0 in un intorno U(x 0 ), diamo le seguenti :
DEFINIZIONI
1) f `e INFINITO di ORDINE INFERIORE a g (e scriviamo Ord(f ) <Ord(g)) se f = o(g) , cio`e se
x lim →x
0f (x) g(x) = 0
2) f e g sono INFINITI DELLO STESSO ORDINE (e scriviamo Ord(f ) = Ord(g)) se f (g) , cio`e se
x→x lim
0f (x)
g(x) = l = 0
3) f `e INFINITO di ORDINE SUPERIORE a g (e scriviamo Ord(f ) = Ord(g)) se g = o(f ), cio`e se
x→x lim
0g(x)
f (x) = 0
ESEMPI
a) Siano f (x) = x 3 e g(x) = x 2 . Si vede subito che Ord(f ) > Ord (g) (per x → ∞).
In generale, se p n (x) e q m (x) sono due polinomi qualunque di grado, rispettivamente, n ed m , si ha : Ord (p n ) > Ord (q m ) ⇔ n > m e Ord (p n ) = Ord (q m ) ⇔ n = m
b) Ord( √
x) < Ord( √
3x 2 ) < Ord(x) < Ord( √
x 3 ) < . . . per x → +∞
c) Ord(tan x) = Ord
1
x − π 2
, per x → π
2 . Infatti, operando la sostituzione x − π
2 = t, si ha :
x lim →
π2tan x
x− 1
π2= lim
t→0
tan(t + π 2 )
1 t
= − lim
t→0 (t cot t) = − lim
t→0
cos t · t sin t
= −1
Comportamento di Esponenziali e Logaritmi
Le funzioni esponenziali e logaritmo si comportano in modo particolare rispetto alle funzioni polinomiali.
Fissiamo l’attenzione sulle funzioni esponenziale e logaritmo con base a > 1.
Si pu` o provare che:
- l’esponenziale ha ordine di infinito superiore a qualunque potenza di x, per x → +∞
- l’esponenziale ha ordine di infinitesimo superiore a qualunque potenza di |x| 1 , per x → −∞
- il logaritmo ha ordine di infinito inferiore a qualunque potenza di x, per x → +∞
- il logaritmo ha ordine di infinito inferiore a qualunque potenza di x 1 , per x → 0 + In simboli, ∀a > 1 , ∀k ∈ R + :
a) Ord (a x ) > Ord (x k ) per x → +∞ , ovvero lim
x→+∞
a x x k = +∞
b) ord (a x ) > ord
1
|x|
kper x → −∞ , ovvero lim
x→−∞
a x
|x| 1
k== lim
x→−∞ |x| k a x = 0 c) Ord (log a x) < Ord (x k ) per x → +∞ , ovvero lim
x→+∞
log a x x k = 0 d) Ord (log a x) < Ord 1
x
kper x → 0 + , ovvero lim
x →0
+log a x
1 x
k== lim
x →0
+x k log a x = 0 E’ facile dedurre che, se consideriamo basi 0 < a < 1, abbiamo, ∀k ∈ R + :
a) Ord (a x ) > Ord ( |x| k ) per x → −∞ , ovvero lim
x→−∞
a x
|x| k = + ∞ b) ord (a x ) > ord 1
x
kper x → +∞ , ovvero lim
x →+∞
a x
1 x
k== lim
x →+∞ x k a x = 0 c) Ord (log a x) < Ord (x k ) per x → +∞ , ovvero lim
x →+∞
log a x x k = 0 d) Ord (log a x) < Ord 1
x
kper x → 0 + , ovvero lim
x→0
+log a x
1 x
k== lim
x→0
+x k log a x = 0 OSSERVAZIONI
a) Esistono infiniti di ordine ancora maggiore di e x (ad esempio e e
x) oppure di ordine inferiore alog x , come log (log x).
b) Se a > b > 1 si ha che Ord (a x ) > Ord (b x ) , per x → +∞ ,; infatti
x →+∞ lim a x
b x = lim
x →+∞
a b
x
= +∞ in quanto a b > 1
c) Le funzioni logaritmo invece hanno sempre lo stesso ordine di infinito, qualunque sia la base; infatti:
x →+∞ lim log a x
log b x = lim
x →+∞
log a x
log
ax log
ab
= log a b
§ 3 - ORDINE E PARTE PRINCIPALE RISPETTO AD UN CAMPIONE
Quando si renda utile non solo avere una misura relativa di infinitesimo o di infinito (confrontando cio`e traloro due funzioni f e g entrambe infinitesime o infinite in un punto x 0 ), ma anche poter “misurare lavelocit` a” con cui una singola funzione f tende azero - o ainfinito - per x → x 0 , si introduce una“unit` a di misura” degli infinitesimi o degli infiniti, dette infinitesimo campione e infinito campione.
Gli infinitesimi campione standard sono:
per x → x 0 u(x) = |x − x 0 | per x → ∞ u(x) = |x| 1 Gli infiniti campione standard sono:
per x → x 0 U (x) = |x−x 1
0