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Le funzioni f, g, h ... che consideriamo sono tutte definite e non nulle in un intorno U del punto x 0 , escluso al pi` u il punto x 0 stesso.

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(1)

§ 1 - CONFRONTO LOCALE: I SIMBOLI DI LANDAU

Nello studio del comportamento di una funzione vicino ad un punto x 0 , dopo aver visto se la funzione ammette limite (finito, nullo o infinito), per x → x 0 , pu` o interessare come lafunzione tende atale valore.

Inoltre, se si studiano due funzioni f e g, entrambe definite in un intorno di x 0 escluso al pi` u il punto x 0 stesso, hainteresse studiare se c’`e relazione tra i loro limiti (ammesso che esistano), per x → x 0 . Le definizioni che seguono precisano proprio questa indagine.

Le funzioni f, g, h ... che consideriamo sono tutte definite e non nulle in un intorno U del punto x 0 , escluso al pi` u il punto x 0 stesso.

DEFINIZIONE 1

f (x) ` e equivalente a g(x) per x → x 0 (in simboli:f ∼ g (x → x 0 ) ) se :

x lim →x

0

f (x) g(x) = 1

ESEMPI

a ) 3x 2 + 5x ∼ 5x, per x → 0 b) 3x 2 + 5x ∼ 3x 2 , per x → ±∞

c) sin x ∼ tan x ∼ x ∼ log (1 + x), per x → 0 d) 3x +

x

x, per x → 0 e) x 3 + sin x ∼ x 3 , per x → ±∞

f) log x ∼ (x − 1) , per x → 1

DEFINIZIONE 2

f (x) ` e dello stesso ordine di grandezza di g(x) per x → x 0 (in simboli:f  g (x → x 0 ) ) se :

x lim →x

0

f (x)

g(x) = l = 0 l ∈ R ESEMPI

a ) 1 − cos x  x 2 per x → 0 b) sin 2x  x per x → 0

c) 3x 3 − 5x 2 + x  5x 3 + 7x 2 − 1  x 3 per x → ±∞

d) 

2x 2 + x  |x| per x → ±∞

e) log x  2x − 2 per x → 1

Si osservi che se f e g sono entrambe infinitesime (oppure infinite) (per x → x 0 ) non `e detto che siano equivalenti, n´e dello stesso ordine di grandezza.

Si considerino, ad esempio, le due funzioni f (x) = x, g(x) = x 2 per x → 0 oppure per x → +∞

Le relazioni ∼ e  forniscono quindi risultati nuovi se applicate alle funzioni infinitesime o infinite.

(2)

ALCUNE PROPRIETA’ DELLE RELAZIONI ∼ ,  (x → x 0 )

a) f ∼ f a’) f  f

b) f ∼ g ⇒ g ∼ f b’) f  g ⇒ g  f

c) f ∼ g ∧ g ∼ h ⇒ f ∼ h c’) f  g ∧ g  h ⇒ f  h

d) f → l = 0 ∧ g → l = 0 ⇒ f ∼ g d’) f → l = 0 ∧ g → m = 0 ⇒ f  g

e) f → l ∧ g ∼ f ⇒ g → l e’) f → 0 (o f → +∞) ∧ g  f ⇒ g → 0 (o g → +∞) f) f 1 ∼ g 1 ∧ f 2 ∼ g 2 ⇒ f 1 f 2 ∼ g 1 g 2 f’) f 1  g 1 ∧ f 2  g 2 ⇒ f 1 f 2  g 1 g 2

g) f 1 ∼ g 1 ∧ f 2 ∼ g 2



f 2 , g 2 = 0 in U(x 0 )

 f 1 f 2 g 1

g 2

g’) f 1  g 1 ∧ f 2  g 2



f 2 , g 2 = 0 in U(x 0 )

 f 1 f 2  g 1

g 2

h) f ∼ g ⇒ f  g OSSERVAZIONI

a) L’implicazione h) non `e invertibile. Ad esempio, se f (x) = sin x e g(x) = x , si ha : f (x) ∼ g(x) (e quindi f (x)  g(x)), per x → 0.

Invece, se f (x) = sin(3x) e g(x) = x, si ha f (x)  g(x) manon f(x) ∼ g(x), per x → 0.

b) Non vale la propriet` a additiva, n´ e per larelazione ∼ n´e per , cio`e se f 1 ∼ g 1 ∧ f 2 ∼ g 2 non `e detto che f 1 + f 2 ∼ g 1 + g 2 . Lastessacautelavale per larelazione . Ad esempio si considerino le funzioni f 1 (x) = x , g 1 (x) = x , f 2 (x) = x 2 − x , g 2 (x) = x 3 − x , per x → 0.

DEFINIZIONE 3

f (x) ` e o-piccolo di g(x) per x → x 0 (in simboli: f = o(g) x → x 0 ) se

x lim →x

0

f (x) g(x) = 0 (Si dice anche che f ` e trascurabile rispetto a g per x → x 0 .) OSSERVAZIONE: f = o(1) ⇔ lim

x→x

0

f (x) = 0 , cio`e f = o(1) ⇔ f `e INFINITESIMA per x → x 0 . Analogamente, 1 = o(f ) ⇔ lim

x →x

0

f (x) = ∞ , cio`e 1 = o(f) ⇔ f `e INFINITA per x → x 0 . ESEMPI

a) x 2 = o(x) per x → 0 b) x = o(x 2 ) per x → ∞ c) 1 − cos x = o(x) per x → 0 d) 1

x 2 = o

 1 x



per x → ∞

ALCUNE PROPRIETA’ DELLA RELAZIONE o-piccolo (x → x 0 ) a) f = o(g) ∧ g = o(h) ⇒ f = o(h)

b) f 1 = o(g 1 ) ∧ f 2 = o(g 2 ) ⇒ f 1 f 2 = o(g 1 g 2 ) c) f 1  g 1 ∧ f 2 = o(g 2 ) ⇒ f 1 f 2 = o(g 1 g 2 ) d) f ∼ g ⇔ f − g = o(g)

Ad esempio:

per x → 0 1 − cos x = o(x) , sin(x 2 ) = o(x) ; quindi (1 − cos x) sin(x 2 ) = o(x 2 );

per x → 0 1 − cos x = o(x) e quindi x(1 − cos x) = o(x 2 );

per x → 0 sin x ∼ x e, equivalentemente, sin x = x + o(x);

(3)

L’introduzione dei concetti di funzione trascurabile e di funzione equivalente a un’altra consente di sempli- ficare il calcolo dei limiti. Valgono infatti le due propriet` aseguenti:

PRINCIPIO DI ELIMINAZIONE DEI TERMINI TRASCURABILI.

Supponiamo che f 1 (x) = o(f (x)) , g 1 (x) = o(g(x)) per x → x 0 . Allora

x→x lim

0

(f (x) + f 1 (x)) (g(x) + g 1 (x)) = lim

x→x

0

f (x) g(x)

L’applicazione del principio di eliminazione dei termini trascurabili, nel calcolo di un limite, consiste appunto nel trascurare in una somma, sia a numeratore che a denominatore, i termini trascurabili (ad esempio gli infinitesimi di ordine superiore, se f, g, f 1 , g 1 sono infinitesimi per x → x 0 , ovvero gli infiniti di ordine inferiore, se f, g, f 1 , g 1 sono infiniti per x → x 0 ).

Cos`ı, ad esempio, si ha:

x lim →0

(x + x 2 ) (2x − x 3 ) = lim

x →0

x 2x = 1

2 ; lim

x→+∞

(3 − x + x 2 )

(7 − 2x − x 3 ) = lim

x→+∞

x 2

−x 3 = −∞.

PRINCIPIO DI SOSTITUZIONE CON FUNZIONI EQUIVALENTI

Supponiamo che f 1 (x) ∼ f(x) , g 1 (x) ∼ g(x) per x → x 0 . Allora;

x→x lim

0

f (x)g(x) = lim

x→x

0

f 1 (x)g 1 (x) Inoltre, se



g, g 1 = 0 in U(x 0 )

 :

x→x lim

0

f (x) g(x) = lim

x→x

0

f 1 (x) g 1 (x)

Cio`e: nel calcolo del limite del prodotto (o quoziente) di funzioni si possono sostituire le funzioni con altre ad esse equivalenti.

Ad esempio:

x lim →0

sin 2 x

1 − cos x = lim

x →0

x 2

x

2

2

= 2

x→0 lim

tan 4x · log(1 + 6x) (1 − e 2x ) · sin 3x = lim

x→0

4x · 6x

−2x · 3x = −4

ATTENZIONE: non si pu` o usare nelle somme il principio di sostituzione con funzioni equivalenti.

Ad esempio:

x→0 lim

tan x − sin x x 3 = lim

x→0

 tan x x 3 sin x

x 3

 = lim

x→0

 x x 3 x

x 3



= 0 Si hainvece:

x lim →0

tan x − sin x x 3 = lim

x →0

tan x(1 − cos x)

x 3 = lim

x →0

x · x 2

2

x 3 = 1

2

(4)

§ 2 - CONFRONTO DI INFINITESIMI E DI INFINITI

Consideriamo le funzioni f (x) e g(x) che per x → x 0 tendono azero (oppure ainfinito); hainteresse stabilire un confronto fradi esse per conoscere se unadelle due funzioni tende azero (o ainfinito) “pi` u rapidamente” dell’altra o entrambe tendono a zero (o a infinito) “nello stesso modo”. Si parla di ordine di infinitesimo (oppure di ordine di infinito) delle due funzioni , per x → x 0 , e lo si denotacon ord(f ) e ord(g) (oppure con Ord(f ) , Ord(g)).

Pi` u precisamente, se f (x) e g(x) sono due funzioni entrambe infinitesime (per x → x 0 ) e se g(x) = 0 in un intorno U(x 0 ), diamo le seguenti :

DEFINIZIONI

1) f ` e un INFINITESIMO DI ORDINE SUPERIORE a g se f = o(g), cio`e se lim

x →x

0

f (x) g(x) = 0.

2)f e g sono INFINITESIMI DELLO STESSO ORDINE se f  g, cio`e se lim

x →x

0

f (x)

g(x) = l = 0 3)f ` e un INFINITESIMO DI ORDINE INFERIORE a g se g = o(f ), cio`e se lim

x→x

0

g(x) f (x) = 0 ESEMPI

a) Siano f (x) = x 3 e g(x) = x 2 . Si vede subito che ord(f ) > ord (g) (per x → 0); infatti: lim

x →0

x 3 x 2 = 0 In generale, se p n (x) e q m (x) sono due polinomi di grado, rispettivamente, n ed m senzatermine noto (e dunque infinitesimi per x → 0), si ha:

ord (p n ) > ord (q m ) ⇔ n > m

b) Le due funzioni f (x) = 1 − cos x e g(x) = x 2 sono infinitesime dello stesso ordine per x → 0, poich´e

x→0 lim

1 − cos x x 2 = 1

2 c) ord (log x) = ord (x − 1), per x → 1. Infatti: lim

x→1

log x x − 1 = lim

t→0

log(1 + t)

t = 1

In modo analogo, se f (x) e g(x) sono due funzioni entrambe infinite (per x → x 0 ) e se g(x) = 0 in un intorno U(x 0 ), diamo le seguenti :

DEFINIZIONI

1) f `e INFINITO di ORDINE INFERIORE a g (e scriviamo Ord(f ) <Ord(g)) se f = o(g) , cio`e se

x lim →x

0

f (x) g(x) = 0

2) f e g sono INFINITI DELLO STESSO ORDINE (e scriviamo Ord(f ) = Ord(g)) se f  (g) , cio`e se

x→x lim

0

f (x)

g(x) = l = 0

3) f `e INFINITO di ORDINE SUPERIORE a g (e scriviamo Ord(f ) = Ord(g)) se g = o(f ), cio`e se

x→x lim

0

g(x)

f (x) = 0

(5)

ESEMPI

a) Siano f (x) = x 3 e g(x) = x 2 . Si vede subito che Ord(f ) > Ord (g) (per x → ∞).

In generale, se p n (x) e q m (x) sono due polinomi qualunque di grado, rispettivamente, n ed m , si ha : Ord (p n ) > Ord (q m ) ⇔ n > m e Ord (p n ) = Ord (q m ) ⇔ n = m

b) Ord(

x) < Ord(

3

x 2 ) < Ord(x) < Ord(

x 3 ) < . . . per x → +∞

c) Ord(tan x) = Ord

 1

x π 2



, per x π

2 . Infatti, operando la sostituzione x π

2 = t, si ha :

x lim

π2

tan x

x− 1

π2

= lim

t→0

tan(t + π 2 )

1 t

= − lim

t→0 (t cot t) = − lim

t→0



cos t · t sin t



= −1

Comportamento di Esponenziali e Logaritmi

Le funzioni esponenziali e logaritmo si comportano in modo particolare rispetto alle funzioni polinomiali.

Fissiamo l’attenzione sulle funzioni esponenziale e logaritmo con base a > 1.

Si pu` o provare che:

- l’esponenziale ha ordine di infinito superiore a qualunque potenza di x, per x → +∞

- l’esponenziale ha ordine di infinitesimo superiore a qualunque potenza di |x| 1 , per x → −∞

- il logaritmo ha ordine di infinito inferiore a qualunque potenza di x, per x → +∞

- il logaritmo ha ordine di infinito inferiore a qualunque potenza di x 1 , per x → 0 + In simboli, ∀a > 1 , ∀k ∈ R + :

a) Ord (a x ) > Ord (x k ) per x → +∞ , ovvero lim

x→+∞

a x x k = +∞

b) ord (a x ) > ord

 1

|x|

k



per x → −∞ , ovvero lim

x→−∞

a x

|x| 1

k

== lim

x→−∞ |x| k a x = 0 c) Ord (log a x) < Ord (x k ) per x → +∞ , ovvero lim

x→+∞

log a x x k = 0 d) Ord (log a x) < Ord  1

x

k

 per x → 0 + , ovvero lim

x →0

+

log a x

1 x

k

== lim

x →0

+

x k log a x = 0 E’ facile dedurre che, se consideriamo basi 0 < a < 1, abbiamo, ∀k ∈ R + :

a) Ord (a x ) > Ord ( |x| k ) per x → −∞ , ovvero lim

x→−∞

a x

|x| k = + b) ord (a x ) > ord  1

x

k

 per x → +∞ , ovvero lim

x →+∞

a x

1 x

k

== lim

x →+∞ x k a x = 0 c) Ord (log a x) < Ord (x k ) per x → +∞ , ovvero lim

x →+∞

log a x x k = 0 d) Ord (log a x) < Ord  1

x

k

 per x → 0 + , ovvero lim

x→0

+

log a x

1 x

k

== lim

x→0

+

x k log a x = 0 OSSERVAZIONI

a) Esistono infiniti di ordine ancora maggiore di e x (ad esempio e e

x

) oppure di ordine inferiore alog x , come log (log x).

b) Se a > b > 1 si ha che Ord (a x ) > Ord (b x ) , per x → +∞ ,; infatti

x →+∞ lim a x

b x = lim

x →+∞

 a b

 x

= +∞ in quanto a b > 1

c) Le funzioni logaritmo invece hanno sempre lo stesso ordine di infinito, qualunque sia la base; infatti:

x →+∞ lim log a x

log b x = lim

x →+∞

log a x

log

a

x log

a

b

= log a b

(6)

§ 3 - ORDINE E PARTE PRINCIPALE RISPETTO AD UN CAMPIONE

Quando si renda utile non solo avere una misura relativa di infinitesimo o di infinito (confrontando cio`e traloro due funzioni f e g entrambe infinitesime o infinite in un punto x 0 ), ma anche poter “misurare lavelocit` a” con cui una singola funzione f tende azero - o ainfinito - per x → x 0 , si introduce una“unit` a di misura” degli infinitesimi o degli infiniti, dette infinitesimo campione e infinito campione.

Gli infinitesimi campione standard sono:

per x → x 0 u(x) = |x − x 0 | per x → ∞ u(x) = |x| 1 Gli infiniti campione standard sono:

per x → x 0 U (x) = |x−x 1

0

|

per x → ∞ U (x) = |x|

Diamo adesso la seguente :

Definizione. Si dice che f `e un infinitesimo di ordine α ∈ R + rispetto all’infinitesimo campione u(x) , (per x → x 0 ), se f (x)  [u(x)] α per x → x 0 , ovvero se lim

x→x

0

f (x)

[u(x))] α =  ,  = 0,  ∈ R.

Sotto tale ipotesi risulta anche:

f (x) = (u α (x)) + o(u α (x))

Lafunzione p(x) = (u α (x)) si dice parte principale di f (x) per x → x 0 , mentre con il termine o(u α (x)) si indicaun infinitesimo di ordine superiore ad α rispetto all’infinitesimo campione u(x).

In modo analogo, riguardo agli infiniti:

Definizione. Si dice che f `e un infinito di ordine α ∈ R + rispetto all’infinito campione U (x), (per x → x 0 ), se f (x)  [U(x)] α per x → x 0 , cio`e se lim

x →x

0

f (x)

[U (x)] α =  ,  = 0,  ∈ R.

Sotto tale ipotesi risulta anche:

f (x) =  (U α (x)) + o (U α (x))

Lafunzione P (x) =  (U α (x)) si dice parte principale di f (x) per x → x 0 , mentre con il termine o(U α (x)) si indicaun infinito di ordine inferiore ad α rispetto all’infinito campione U (x).

ESEMPI 1) f (x) =

x per x → 0 + `e un infinitesimo di ordine α = 1 2 rispetto all’infinitesimo campione x poich´e

x→0 lim

+

x

(x α ) = 1, se α = 1 2

2) Un polinomio di grado n , p n (x) = a n x n + a n −1 x n−1 + . . . a m x m , a m = 0, m = 0 `e infinitesimo di ordine m per x → 0 (rispetto all’infinitesimo campione u(x) = |x|) e lafunzione p(x) = a m x m `e lasua parte principale.

3) f (x) = sin x per x → 0 haordine di infinitesimo α = 1 rispetto all’infinitesimo campione x ; infatti

x lim →0

sin x

x = 1 . Lafunzione p(x) = x `e la parte principale di f (x) per x → 0.

(7)

4) Lafunzione f (x) =

x − 1 haordine di infinitesimo 1 2 per x → 1, rispetto all’infinitesimo campione x − 1; infatti: lim

x→1

+

x − 1

(x − 1) α = 1 se α = 1 2 . Invece, lafunzione f (x) =

x − 1 haordine di infinitesimo 1 per x → 1, rispetto all’infinitesimo campione x − 1; infatti: lim

x →1

x − 1 (x − 1) α = lim

x →1

(

x − 1)( x + 1) (x − 1) α (

x + 1) = lim

x →1

1

x + 1 lim

x →1

x − 1 (x − 1) α = 1

2 lim

x →1 (x − 1) 1 −α = 1 2 se α = 1.

5) f (x) = 3x − 5

8x 3 − x 2 + 7 per x → −∞ `e infinitesima di ordine 2 (rispetto all’infinitesimo campione u(x) =

|x| 1 ; infatti: lim

x→−∞

3x−5 8x

3

−x

2

+7

1

x α = 3

8 se α = 2. Lafunzione p(x) = 8x 3

2

`e la parte principale di f (x) per x → −∞.

6) f (x) =

x per x → +∞ `e un infinito di ordine α = 1 2 rispetto all’infinito campione U (x) = x poich´e

x→+∞ lim

x

(x α ) = 1, se α = 1 2 .

7) Un polinomio p n (x) = a n x n + a n −1 x n−1 + . . . a 1 x + a 0 , a n = 0 `e un infinito di ordine n per x → ∞ (rispetto all’infinito campione U (x) = |x|) e lafunzione P (x) = a n x n `e la sua parte principale.

8) f (x) = 3x 2 + arctan(3x) per x → +∞ `e un infinito di ordine 2 rispetto all’infinito campione x poich´e:

x→+∞ lim

3x 2 + arctan(3x)

x 2 = lim

x→+∞

 3x 2

x 2 + arctan(3x) x 2



= 3 Lafunzione P (x) = 3x 2 `e la parte principale di f (x) per x → +∞.

9) f (x) = 3x 6 − 5x 2

8x 4 − x 3 per x → 0 `e un infinito di ordine 1 (rispetto all’infinito campione U(x) = 1 x ; infatti:

x lim →0

3x

6

−5x

2

8x 

4

1 −x

3

x

 α = 5 se α = 1.

10) f (x) = tan x per x  π

2



`e un infinito di ordine 1 , rispetto all’infinito campione U (x) = | x− 1

π2

| , come risultadall’esempio c) del §2.

11) Ripensando a quanto detto nel §2 sul comportamento particolare delle funzioni esponenziale e logaritmo, possiamo affermare che, rispetto agli infinitesimi e agli infiniti campione standard:

∀a ∈ R, a > 1, ∀k ∈ R + ord(a x ) > k per x → −∞ ; Ord(a x ) > k per x → +∞

∀a ∈ R, 0 < a < 1, ∀k ∈ R + Ord(a x ) > k per x → −∞ ; ord(a x ) > k per x → +∞

∀a ∈ R, a > 0, ∀k ∈ R + ord(log a x) < k per x → 0 + ; Ord(log a x) < k per x → +∞.

OSSERVAZIONI

Esistono inoltre funzioni “inclassificabili” ripetto ai campioni standard, pur essendo comprese nelle limitazioni della scala.

Ad esempio f (x) = x log x:

rispetto al campione U (x) = x l’ordine di infinito di f (x) ( per x → +∞) `e > 1 , poich´e lim

x→+∞

x log x

x = +∞;

eppure l’ordine di f (x) `e minore di ogni numero > 1; infatti lim

x→+∞

x log x

x 1+ = lim

x→+∞

log x

x = 0, ∀ > 0.

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