Teorema 2. Sia k un campo di q elementi. Allora (a) si ha che x q = x per ogni x ∈ k;

Algebra 2. Dieci teoremi sui campi finiti. Roma, dicembre 2015.

Teorema 1. Sia k un campo finito. Allora #k ` e una potenza di un numero primo.

Dimostrazione. Poich´ e k ` e finito, il suo sottocampo minimale ` e anche finito ed ` e quindi uguale a Z p per un certo numero primo p. Come consequenza k diventa uno spazio vetto- riale su Z _p di dimensione n per un certo intero n ≥ 1. Il campo k ha quindi p ⁿ elementi come richiesto.

Teorema 2. Sia k un campo di q elementi. Allora (a) si ha che x ^q = x per ogni x ∈ k;

(b) Il gruppo k ^∗ ` e ciclico di ordine q − 1.

Dimostrazione. (a) Poich` e #k ^∗ = q − 1, il Teorema di Lagrange implica che x ^q−1 = 1 per ogni x ∈ k ^∗ . Come consquenza si ha che x ^q = x per ogni x ∈ k.

(b) Ogni sottogruppo finito del gruppo moltiplicativo di un dominio ` e ciclico. In particolare il gruppo k <sup>∗</sup> ` e ciclico.

Teorema 3. Per ogni potenza q di un numero primo p esiste un campo finito di cardi- nalit` a q. Il campo F <sub>q</sub> ` e unico a meno di isomorfismi.

Dimostrazione. Sia q una potenza di p. Sia k un campo di spezzamento di X ^q − X su Z p e sia Z ⊂ k l’insieme degli zeri di X ^q − X. Allora Z ` e un sottocampo di k. Poich´ e k

`

e generato dagli zeri di X ^q − X, si ha che Z = k. Dal fatto che gli zeri di X ^q − X sono distinti, segue la cardinalit` a di k ` e q. Questo dimostra l’esistenza. Nell’altra direzione, ogni campo k di cardinalit` a q contiene un campo di spezzamento di X <sup>q</sup> − X. Siccome anche il campo di spezzamento ha cardinalit` a q, abbiamo uguaglianza. I campi di cardinalit` a q sono quindi tutti isomorfi.

Notazione. La notazione (non completamente corretta) per un campo di q elementi ` e F q . In particolare si ha che F p = Z p .

Richiamiamo che per un numero primo p e per un polinomio irriducibile f ∈ Z p [X]

di grado d l’anello Z p [X]/(f ) ` e un campo finito di cardinalit` a q = p ^d .

Esempio 1. L’unico polinomio irriducibile di grado 2 in Z ₂ [X] ` e X <sup>2</sup> + X + 1. Il campo F 4 = Z 2 [X]/(X <sup>2</sup> + X + 1) ` e l’insieme {0, 1, α, α + 1} dove α ` e uno zero del polinomio X ² + X + 1. Si ha quindi che α ² = α + 1.

Teorema 4. Sia p un primo e sia N ≥ 1. Siano K e K ⁰ due sottocampi di F _p

con

#K = p ⁿ e #K ⁰ = p ⁿ

. Allora si ha che K ⊂ K ⁰ se e solo se n divide n ⁰ . In particolare, per ogni divisore n di N il campo F _p

contiene un unico sottocampo di cardinalit` a p <sup>n</sup> . Dimostrazione. Se K ⊂ K <sup>0</sup> , allora K <sup>0</sup> ` e un K-spazio vettoriale e quindi #K ⁰ ` e una potenza di #K. Questo implica che n divide n ⁰ . Per dimostrare il viceversa osserviamo che per il Teorema 2 ogni x ∈ K soddisfa x ^p

= x e quindi x ^p

= x. Per la dimostrazione del Teorema 3, il campo K ⁰ ` e un campo di spezzamento del polinomio X ^p

− X su Z _p . Ne segue che x ∈ K ⁰ come richiesto.

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Teorema 5. Sia p un primo, sia q = p ⁿ e sia α ∈ F _q . Allora il grado del polinomio minimo di α su Z p divide n.

Dimostrazione. Sia f ∈ Z p [X] il polinomio minimo di α su Z p . Sia d = deg f . Abbiamo che Z _p (α) ⊂ F _q . Poich´ e Z _p (α) = Z _p [α] ∼ = Z p [X]/(f ) ha grado d su Z _p , il Teorema 4 implica che d divide n come richiesto.

Teorema 6. Sia p un primo, sia n ≥ 1 e sia q = p ⁿ . Allora (a) esiste un polinomio irriducibile f ∈ Z p [X] di grado n;

(b) esiste α ∈ F _q tale che F _q = Z _p (α).

Dimostrazione. Sia α un generatore del gruppo ciclico F ^∗ _q . Allora si ha che Z _p (α) = F _q e quindi il grado del polinomio minimo di α ` e uguale a n. Questo dimostra il teorema.

Teorema 7. Sia p un primo e sia q = p ⁿ una potenza di p. Allora si ha che Y

f ∈Fp[X] irr.

deg f |n

f (X) = X ^q − X.

Dimostrazione. Sia F _q un campo di q elementi. Allora gli zeri di X ^q −X sono esattamente gli elementi di F q . D’altra parte, ogni α ∈ F q genera un sottocampo il cui grado ` e un divisore d di n. L’elemento α ` e zero del suo polinomio minimo su Z _p , il quale ha grado d.

Viceversa, se f ` e un polinomio irriducibile di grado un divisore d di n, allora il suo campo di spezzamento ` e isomorfo ad un sottocampo di F _q . Il polinomio f ha quindi d zeri in F _q . Teorema 8. Sia p un primo e sia f ∈ F p [X] un polinomio irriducibile di grado d. Sia α ∈ F _p

[X] uno zero di f . Allora si ha che

f (X) =

d−1

Y

i=0

(X − α ^p

).

Dimostrazione. Il campo F p (α) ` e un’estensione di grado d di F p . Quindi, d ` e la pi` u piccola potenza ≥ 1 tale che α ^p

= α. Questo implica che gli elementi

α, α ^p , . . . , α ^p

di F _p (α) sono distinti fra loro.

Scriviamo f = X ⁿ + . . . a 1 X + a 0 ∈ Z p [X]. Abbiamo che f (α ^p ) = α ^pn + . . . a 1 α ^p + a 0 ,

= (α ⁿ + . . . + a 1 α + a 0 ) ^p ,

= 0.

E quindi anche α ^p ` e zero di f . Ripetendo quest’argomento vediamo che α, α ^p , . . . , α ^p

sono d zeri di f . Poich´ e sono distinti fra loro, concludiamo che

f (X) =

d−1

Y

i=0

(X − α ^p

), come richiesto.

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Teorema 9. Sia p un primo e sia q = p ⁿ una potenza di p. Allora (a) la mappa ‘di Frobenius’ ϕ data da x 7→ x ^p ` e un automorfismo di F q ;

(b) Il gruppo Aut F q degli automorfismi di F q ` e il gruppo ciclico di ordine n generato da ϕ.

Dimostrazione. (a) La mappa di Frobenius ϕ ` e un omomorfismo di campi. Poich´ e F q ` e finito, il fatto che ϕ ` e iniettiva implica che ` e suriettiva. Osserviamo che il fatto che n ` e la pi` u piccola potenza tale che x ^p

= x per ogni x ∈ F q implica che l’ordine dell’automorfismo di Frobenius ` e uguale a n.

(b) Sia ψ un automorfismo di F q . Per il Teorema 6 (b) si ha che F q = F p (α) per un certo elemento α. Sia f = X ⁿ + . . . a ₁ X + a ₀ ∈ F _p [X] il polinomio minimo di α. Poich´ e ψ fissa il sottocampo primo F p , si ha che

f (ψ(α)) = ψ(α) ⁿ + . . . a ₁ ψ(α) + a ₀ ,

= ψ(α ⁿ + . . . + a ₁ α + a ₀ ),

= 0.

In altre parole, ψ(α) deve essere uno zero di f . Per il Teorema 8 si ha quindi che ψ(α) = α ^p

per un certo i = 0, 1, . . . d − 1. Dal fatto che F q = F p (α) si deduce che ψ(x) = x ^p

per ogni x ∈ F _q . Poich´ e x ^p

= ϕ ⁱ (x) per ogni x ∈ F _q , concludiamo che ψ = ϕ ⁱ come richiesto.

Teorema 10. (Corrispondenza di Galois per F q ) Sia p un primo e sia q una potenza di p.

Sia G = Aut F _q . Allora la mappa che ad un sottogruppo H ⊂ G associa il sottocampo F ^H _q = {x ∈ F q : σ(x) = x per ogni σ ∈ H} ` e una biiezione

{sottogruppi di G} ↔ {sottocampi di F q }.

Si ha che [G : H] = [F ^H _q : F _p ] per ogni sottogrupo H ⊂ G.

Dimostrazione. Scriviamo q = p ⁿ . Il gruppo G = hϕi ` e ciclico di ordine n. Per ogni divisore d di n il sottogruppo H = hϕ <sup>d</sup> i ` e l’unico sottogruppo H di G di indice d.

Similmente, il sottocampo di F q fissato da H ` e uguale a {x ∈ F q : x ^p

= x} e per il Teorema 4 esso ` e l’unico sottocampo di F q di cardinalit` a p ^d . Questo dimostra il teorema.

Osservazione. Costruiamo una chiusura algebrica di Z p come segue. Per ogni n ≥ 1, sia k _n un campo di spezzamento del polinomio X ^p

− X. I campi k _n formano un insieme parzialmento ordinato: si ha che k n ≤ k m se n divide m; in quel caso k n ` e isomorfo all’unico sottocampo di k <sub>m</sub> di p <sup>n</sup> elementi. I campi k <sub>n!</sub> formano un sottoinsieme cofinale ben ordinato. Per ogni n il campo k n! ` e isomorfo all’unico sottocampo di p ^n! elementi di k _(n+1)! .

Identificando k n! con quel sottocampo di k _(n+1)! , abbiamo quindi delle inclusioni Z p = k 1! ⊂ k 2! ⊂ k 3! ⊂ . . . ⊂ k n! ⊂ . . .

L’unione ` e una chiusura algebrica di Z p . Notazione: Z p .

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Tabella 1. Il campo F 16 .

α ⁱ additivo polinomio minimo ordine in F ^∗ ₁₆

− 0 X −

1 1 X + 1 1

α α X ⁴ + X + 1 15

α ² α ² X ⁴ + X + 1 15

α ³ α ³ X ⁴ + X ³ + X ² + X + 1 5

α ⁴ α + 1 X ⁴ + X + 1 15

α ⁵ α ² + α X ² + X + 1 3

α ⁶ α ³ + α ² X ⁴ + X ³ + X ² + X + 1 5

α ⁷ α ³ + α + 1 X ⁴ + X ³ + 1 15

α ⁸ = α ⁻⁷ α ² + 1 X ⁴ + X + 1 15

α ⁹ = α ⁻⁶ α ³ + α X ⁴ + X ³ + X ² + X + 1 5

α ¹⁰ = α ⁻⁵ α ² + α + 1 X ² + X + 1 3

α ¹¹ = α ⁻⁴ α ³ + α ² + α X ⁴ + X ³ + 1 15 α ¹² = α ⁻³ α ³ + α ² + α + 1 X ⁴ + X ³ + X ² + X + 1 5 α ¹³ = α ⁻² α ³ + α ² + 1 X ⁴ + X ³ + 1 15

α ¹⁴ = α ⁻¹ α ³ + 1 X ⁴ + X ³ + 1 15

Tabella 2. Il campo F ₂₇ .

β ⁱ additivo polinomio minimo ordine in F ^∗ ₂₇

− 0 X −

1 1 X − 1 1

β β X ³ − X + 1 26

β ² β ² X ³ + X ² + X − 1 13

β ³ β − 1 X ³ − X + 1 26

β ⁴ β ² − β X ³ + X ² − 1 13

β ⁵ −β ² + β − 1 X ³ − X ² + X + 1 26

β ⁶ β ² + β + 1 X ³ + X ² + X − 1 13

β ⁷ = −β ⁻⁶ β ² − β − 1 X ³ + X ² − X + 1 26 β ⁸ = −β ⁻⁵ −β ² − 1 X ³ − X ² − X − 1 13

β ⁹ = −β ⁻⁴ β + 1 X ³ − X + 1 26

β ¹⁰ = −β ⁻³ β ² + β X ³ + X ² − 1 13 β ¹¹ = −β ⁻² β ² + β − 1 X ³ + X ² − X + 1 26 β ¹² = −β ⁻¹ β ² − 1 X ³ + X ² − 1 13

β ¹³ = −1 −1 X + 1 2

β ¹⁴ = −β −β X ³ − X − 1 13

β ¹⁵ = −β ² −β ² X ³ − X ² + X + 1 26

β ¹⁶ = −β ³ −β + 1 X ³ − X − 1 13

β ¹⁷ = −β ⁴ −β ² + β X ³ − X ² + 1 26 β ¹⁸ = −β ⁵ β ² − β + 1 X ³ + X ² + X − 1 13 β ¹⁹ = −β ⁶ −β ² − β − 1 X ³ − X ² + X + 1 26 β ²⁰ = β ⁻⁶ −β ² + β + 1 X ³ − X ² − X − 1 13 β ²¹ = β ⁻⁵ β ² + 1 X ³ + X ² − X + 1 26

β ²² = β ⁻⁴ −β − 1 X ³ − X − 1 13

β ²³ = β ⁻³ −β ² − β X ³ − X ² + 1 26 β ²⁴ = β ⁻² −β ² − β + 1 X ³ − X ² − X − 1 13 β ²⁵ = β ⁻¹ −β ² + 1 X ³ − X ² + 1 26

NB. Poich´ e X ³ − X + 1 = (X − β)(X − β ³ )(X − β ⁹ ), si ha che β ¹³ = ββ ³ β ⁹ = −1.

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