9. Esercizi di Geometria 1
(Semestre Invernale 2018/2019)
Dr. Matteo Penegini Prof. Arvid Perego
Esercizio 1. Dimostrare la seguente affermazione:
Uno spazio topologico X compatto e di Hausdorff `e uno spazio T4.
Esercizio 2. Dimostrare la seguente affermazione:
Siano X e Y due spazi topologici. Allora X × Y `e separabile se e solo se X e Y sono separabili.
Esercizio 3.
Si consideri la seguente famiglia di sottoinsiemi di R:
τ :=A ⊂ R | 0 /∈ A ∪ A ⊂ R | R r A `e numerabile . (1) Provare che τ `e una topologia su R.
(2) Stabilire se (R, τ ) `e separabile.
(3) Stabilire se (R, τ ) `e connesso.
(4) Stabilire se R r {0, 1} `e denso in (R, τ ).
(5) Stabilire se (R, τ ) `e compatto.
(6) Stabilire se (R, τ ) `e 1-numerabile.
Esercizio 4. Uno spazio topologico X si dice localmente compatto se ogni suo punto possiede un intorno compatto.
Dopo aver dato degli esempi di spazi localmente compatti, dimostrare le seguenti affermazioni.
Ogni sottospazio chiuso di uno spazio localmente compatto `e localmente com- patto. Il prodotto di due spazi localmente compatti `e localmente compatto.
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