Corso di Introduzione alla Topologia Algebrica - a.a. 2006-2007 Prova scritta del 26.2.2007 1. Sia Y uno spazio connesso e localmente connesso per archi. Siano α

Corso di Introduzione alla Topologia Algebrica - a.a. 2006-2007 Prova scritta del 26.2.2007

1. Sia Y uno spazio connesso e localmente connesso per archi. Siano α

: X

→ Y e α

: X

→ Y rivestimenti. Sia Z ⊂ X

× X

il sottospazio {(x, y) : α

(x) = α

(y)}. Indichiamo con β l’applicazione Z → Y definita da β(x, y) = α

(x) = α

(y), e con p

e p

le proiezioni da Z su X

e X

.

(a) Mostrare che β, p

e p

sono rivestimenti.

(b) Mostrare che, se α

ha grado finito h e α

ha grado finito k, allora β ha grado hk.

(c) Mostrare con un esempio che Z non ` e necessariamente connesso, anche quando X

e X

sono connessi.

(d) Supponiamo che α

e α

abbiano grado finito e che X

e X

siano connessi. Supponiamo anche che i gradi di α

e α

siano primi fra loro. Mostrare che Z ` e connesso.

2. (a) Sia X = S ∪ P ⊂ R

, dove S ` e la sfera unitaria {(x

, x

, x

, x

) : P x

= 1} e P ` e il piano {(x

, x

, x

, x

) : x

= x

= 0}. Calcolare i gruppi di omologia intera e il gruppo fondamentale di X.

(b) Costruire uno spazio topologico Y tale che H

(Y ) ∼ = Z se 0 ≤ q ≤ 3 e H

(Y ) ∼ = {0} se q > 3.

Soluzioni

1. (a) Sia y un punto di Y , e siano U e U

intorni aperti di y uniformemente rivestiti da α

e α

. Rimpiazzando U e U

con la loro intersezione, possiamo supporre che siano uguali.

Allora

α

(U ) = a

i∈I

U

, α

(U ) = a

j∈J

V

,

dove U

(risp., V

) ` e omeomorfo a U via α

(risp., α

). Poniamo W

= Z ∩ U

× V

. Allora W

` e aperto in Z e

β

(U ) = a

i∈I,j∈J

W

.

Inoltre W

→ U

` e un omeomorfismo. Infatti la sua inversa (continua) ` e y 7→ (γ

(y), η

(y)), dove γ

e η

sono inverse di U

→ U e V

→ U . Infine, sia x un punto di X

. Poniamo y = α

(x). Il punto x ` e contenuto in U

, per qualche i. Allora U

` e uniformemente rivestito da p

; infatti

p

(U

) = a

j

W

. Si ragiona in modo analogo per p

.

(b) Con le notazioni del punto precedente, h ` e la cardinalit` a di I, e k quella di J , mentre il grado di β ` e il numero delle possibili coppie (i, j), cio` e hk.

1

(c) Consideriamo il caso in cui X

= X

, α

= α

e α

ha grado > 1. Poniamo X = X

e α = α

. Poniamo poi A = {(x, x) : x ∈ X} e B = {(x, x

) ∈ Z : x 6= x

}. ` E chiaro che A non ` e vuoto, che A e B sono disgiunti, e che A ∪ B = Z; inoltre B non ` e vuoto perch` e α ha grado > 1. Mostriamo che A e B sono aperti. Sia (x, x

) un punto di Z, sia U un intorno uniformemente rivestito di α(x) = α(x

), e scriviamo α

(U ) = ` U

, dove gli U

sono omeomorfi a U via α. Esistono, unici, i e j tali che x ∈ U

e x

∈ U

. Allora Z ∩ U

× U

` e contenuto in A se x = x

e in B se x 6= x

.

Altra soluzione. Scegliamo X

= X

= S

, Y = RP

, e sia α

= α

: S

→ RP

il rivestimento universale. Z ` e un rivestimento di X

di grado 2, perch` e Z → Y ha grado 4. Quindi Z non ` e connesso perch` e X

` e semplicemente connesso.

(d) Mostreremo che, dati punti a, b ∈ Z, c’` e un cammino in Z che li congiunge. Sia γ un cammino in Y da β(a) a β(b), sia η un suo sollevamento a Z con punto iniziale in a, e sia a

il punto finale di η, di modo che β(a

) = β(b). Baster` a mostrare che si possono congiungere con un cammino a

e b; in altre parole, si potr` a supporre che β(a) = β(b).

Scriviamo a = (x

, x

) e b = (ξ

, ξ

). Baster` a mostrare che c’` e un cammino che congiunge (x

, x

) a (x

, ξ

). Infatti, scambiando i ruoli di X

e X

, questo mostra che esiste anche un cammino da (x

, ξ

) e (ξ

, ξ

). Poniamo y

= β(x

) = β(x

) = β(ξ

) = β(ξ

), G = π

(Y, y

), H = α

π

(X

, x

) e K = α

π

(X

, ξ

). Se poniamo h = [G : H] e k = [G : K], h ` e il grado di α

e k quello di α

. Ora

[G : H ∩ K] = [G : H][H : H ∩ K] = h[H : H ∩ K] = [G : K][K : H ∩ K] = k[K : H ∩ K] . Visto che h e k sono primi fra loro ne segue che h

 [K : H ∩ K] e k  

 [H : H ∩ K].

D’altra parte si verifica immediatamente che l’applicazione H/(H ∩ K) → G/K data da h(H ∩ K) 7→ hK ` e ben definita e iniettiva, e quindi [H : H ∩ K] ≤ k. Si conclude che [H : H ∩ K] = k, che [K : H ∩ K] = h, e che H/(H ∩ K) → G/K ` e biunivoca. In particolare, H → G/K ` e suriettiva. Visto il significato di G, H e K, questo si traduce nella seguente affermazione: dato un cammino γ in Y con estremi in y

, esistono un cammino η in X

con estremi in x

e un cammino σ in X

con estremi in ξ

tali che α

◦ η sia omotopo con estremi fissi a γ ∗ (α

◦ σ). Se scegliamo come γ un cammino della forma α

◦ ρ, dove ρ ` e un cammino in X

che congiunge x

a ξ

, questo si pu` o riscrivere come α

◦ η ∼ α

◦ (ρ ∗ σ). Sia ora τ il sollevamento a X

di α

◦ (ρ ∗ σ) con estremo iniziale in x

. Visto che α

◦ τ ∼ α

◦ η, anche τ `e un cammino chiuso. Quindi t 7→ (τ (t), ρ ∗ σ(t)) ` e un cammino in Z con estremo iniziale in (x

, x

) ed estremo finale in (x

, ξ

).

2. (a) Poniamo Z = S ∪ Q, dove Q = {(x

, x

, x

, x

) ∈ R

: x

= x

= 0, P x

≤ 1}. Z ` e un retratto di deformazione di X, quindi ha gli stessi gruppi di omologia e fondamentale di X. Una decomposizione cellulare di Z ` e la seguente: Z

= {p}, dove p = (1, 0, 0, 0), Z

= {(x

, x

, x

, x

) : x

= x

= 0, x

+ x

= 1}, Z

= Z ∩ {x

= 0}. Z

` e ottenuto attaccando una 1-cella ` a Z

e Z

si ottiene da Z

attaccando tre 2-celle f

, f

, f

, e cio` e le due calotte {(x

, x

, x

, 0) : x

+ x

+ x

= 1, x

> 0} e {(x

, x

, x

, 0) : x

+ x

+ x

= 1, x

< 0} e il disco {(x

, x

, 0, 0) : x

+ x

< 1}. Infine, Z = Z

si ottiene da Z

attaccando due 3-celle e

, e

, e cio` e le due calotte {(x

, x

, x

, x

) : P x

= 1, x

> 0} e

2

{(x

, x

, x

, x

) : P x

= 1, x

< 0}. Gli operatori bordo sono dati da:

∂` = 0 ,

∂f

= ∂f

= ∂f

= ` ,

∂e

= ∂e

= f

− f

.

Quindi H

(Z) ∼ = Z `e generato dalla classe di e

− e

, H

(Z) ∼ = Z `e generato dalla classe di f

− f

, che ` e uguale alla classe di f

− f

, mentre H

(Z) = {0}.

Per quanto riguarda il gruppo fondamentale, π

(Z

, p) → π

(Z, p) ` e suriettiva. Il gruppo π

(Z

, p) ` e ciclico infinito e generato dalla classe di `. D’altra parte l’inclusione di Z

in Z si fattorizza Z

,→ D ,→ Z, dove D ` e il disco {(x

, x

, 0, 0) : x

+ x

≤ 1}. Siccome D

` e semplicemente connesso la classe di ` in π

(Z, p) ` e banale. Quindi Z ` e semplicemente connesso.

(b) Sia Y lo spazio topologico ottenuto dall’unione disgiunta di X e S

identificando un punto x

∈ S

a p. Segue immediatamente dalla successione esatta di Mayer-Vietoris applicata a (un intorno di) X e a (un intorno di) S

in Y che e H

(Y ) = e H

(X) ⊕ e H

(S

) per ogni q. Quindi Y ha le propriet` a cercate.

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