Rigidezze delle molle:

(1)

ANALISI DINAMICA DI UN SISTE MA 3 DOF FORZATO SMORZATO - Dott. Ing. Simone Caffè - 15/04/2014 Geometria della macchina e dati di input:

Rigidezze delle molle:

k ₁ 3 10 ⋅ ⁶ N

⋅ m :=

k ₂ 8 10 ⋅ ⁵ N

⋅ m :=

k ₃ 8 10 ⋅ ⁶ N

⋅ m :=

Carichi nodali applicati e masse ad essi associate:

p ₁ := 3923 N ⋅ m ₁ := p ₁ ⋅ g ⁻ ¹ = 400 kg p ₂ := 19613 N ⋅ m ₂ := p ₂ ⋅ g ⁻ ¹ = 2000 kg p ₃ := 78453 N ⋅ m ₃ := p ₃ ⋅ g ⁻ ¹ = 8000 kg Forzante armonica applicata al nodo 4:

F ₀ := 1000 N ⋅

Pulsazione propria della forzante armonica: ω _F 30 rad

⋅ s :=

Forzante armonica applicata al nodo 4:

f t ( )

F ₀ ^⋅ cos ω ( ) _F ⋅ t 0 0

 

 



 

 



:=

Matrice delle masse:

Μ m ₁

0 0

0 m ₂

0 0 0 m ₃

 

 



 

 



400 0 0

0 2000

0 0 0 8000

 

 

 

 

= kg :=

Matrice delle rigidezze:

Κ k ₁

k ₁

− 0

k ₁

− k ₁ + k ₂

k ₂

−

0 k ₂

− k ₂ + k ₃

 

 



 

 



3 × 10 ⁶

− 3 × 10 ⁶ 0

− 3 × 10 ⁶ 3.8 × 10 ⁶

− 8 × 10 ⁵ 0

− 8 × 10 ⁵ 8.8 × 10 ⁶

 

 

 

 

 

 

N

⋅ m

= :=

Determinazione degli autovalori:

λ eigenvals Μ ( ⁻ ¹ ⋅ Κ ) ⁹⁰⁶⁹ ²⁹⁰

1140

 

 

 

 

rad s ²

⋅

= :=

La matrice diagonale degli autovalori è pari a:

Λ λ 1

0 0

0 λ 2

0 0 0 λ 0

 

 

 

 

 

 

290 0 0

0 1140

0 0 0 9069

 

 

 

 

rad s ²

⋅

= :=

Si ricavano ora le frequenze circolari proprie, le frequenze proprie di vibrazione ed i periodi propri:

ω ₁ λ

1 17.036 rad

⋅ s

=

:= f ₁

ω ₁

2 π ⋅ = 2.711 Hz ⋅

:= T ₁ := f ₁ ⁻ ¹ = 0.369 s

ω ₂ λ

2 33.759 rad

⋅ s

=

:= f ₂

ω ₂

2 π ⋅ = 5.373 Hz ⋅

:= T ₂ := f ₂ ⁻ ¹ = 0.186 s

ω ₃ λ

0 95.234 rad

⋅ s

=

:= f ₃

ω ₃

2 π ⋅ = 15.157 Hz ⋅

:= T ₃ := f ₃ ⁻ ¹ = 0.066 s

TABLE: Modal Periods And Frequencies (RISULTATI SAP)

OutputCase StepType StepNum Period Frequency CircFreq Eigenvalue T ext T ext Unitless Sec Cyc/sec rad/sec rad2/sec2

MODAL Mode 1 0.369 2.711 17.036 290

MODAL Mode 2 0.186 5.373 33.759 1140

MODAL Mode 3 0.066 15.157 95.234 9070

(2)

Determinazione degli autovettori:

Ψ eigenvecs Μ ( ⁻ ¹ ⋅ Κ ) ⁻ ^0.2049 ^0.9788

0.0026

−

0.7183

− 0.6905

− 0.0853

−

0.3987

− 0.3381

− 0.8525

 

 

 

 

= :=

Si estraggono gli autovettori e si razionalizzano rispetto al valore massimo di ciascuna componente:

ψ ₁ Ψ 〈 〉 ¹ − 0.7183 0.6905

− 0.0853

−

 

 

 

 

=

:= ψ ₂ Ψ 〈 〉 ² − 0.3987

0.3381

− 0.8525

 

 

 

 

=

:= ψ ₃ Ψ 〈 〉 ⁰ − 0.9788

0.2049 0.0026

−

 

 

 

 

= :=

Primo autovettore razionalizzato:

ϕ ₁ ψ ₁

max ψ ₁

0 ψ ₁

, 1 ψ ₁ , 2

( )

− 1 0.9613

− 0.1187

−

 

 

 

 

= :=

Secondo autovettore razionalizzato:

ϕ ₂ ψ ₂

max ψ ₂

0 ψ ₂

, 1 ψ ₂ , 2

( )

0.4677

− 0.3966

− 1

 

 

 

 

= :=

Terzo autovettore razionalizzato:

ϕ ₃ ψ ₃

max ψ ₃

0 ψ ₃

, 1 ψ ₃ , 2

( )

− 1 0.2094

0.0026

−

 

 

 

 

= :=

Si determinano le masse associate ad ogni singolo modo:

μ ₁ := ϕ ₁ ^T ⋅ Μ ⋅ ϕ ₁ = 2.361 × 10 ³ kg μ ₂ := ϕ ₂ ^T ⋅ Μ ⋅ ϕ ₂ = 8.402 × 10 ³ kg μ ₃ := ϕ ₃ ^T ⋅ Μ ⋅ ϕ ₃ = 487.761 kg

Infine si normalizzano gli autovettori rispetto alle masse:

Φ ₁ 1

μ ₁ ϕ ₁

⋅

0.0206

− 0.0198

− 0.0024

−

 

 

 

 

1 kg ^0.5

= :=

Φ ₂ 1

μ ₂ ϕ ₂

⋅

0.0051

− 0.0043

− 0.0109

 

 

 

 

1 kg ^0.5

= :=

Φ ₃ 1

μ ₃ ϕ ₃

⋅

0.0453

− 0.0095

0.0001

−

 

 

 

 

1 kg ^0.5

= :=

La matrice degli autovettori normalizzati risulta così definita:

φ Φ ₁

0 Φ ₁

1 Φ ₁

2 Φ ₂

0 Φ ₂

1 Φ ₂

2 Φ ₃

0 Φ ₃

1 Φ ₃

2  

 

 

 

 

 

0.0206

− 0.0198

− 0.0024

−

0.0051

− 0.0043

− 0.0109

0.0453

− 0.0095

0.0001

−

 

 

 

 

1 kg ^0.5

= :=

Determinazione delle matrici principali:

Matrice principale delle masse (UGUALE ALLA MATRICE IDENTITA'):

Μ _p φ ^T ⋅ Μ ⋅ φ 1 0 0

0 1 0

0 0 1

 

 

 

 

= :=

Matrice principale delle rigidezze (UGUALE ALLA MATRICE DEGLI AUTOVALORI):

Κ _p φ ^T ⋅ Κ ⋅ φ 290

0 − 0 0 1140

− 0

− 0 9069

 

 

 

 

rad s ²

⋅

= :=

Le equazioni risultano disaccoppiate se è possibile supporre lo smorzamento proporzionale o di Rayleigh:

(3)

Assumendo i seguenti valori:

α 1

:= s β := 0.004 s ⋅

Si determina la matrice dello smorzamento viscoso lineare:

C _v α Μ ⋅ + β Κ ⋅

0.012 0.012

− 0

0.012 − 0.017

0.003 −

0 0.003

− 0.043

 

 

 

 

kN s

⋅ mm

⋅

= :=

da cui si ottiene la:

Matrice principale dello smorzamento:

C _p φ ^T ⋅ C _v ⋅ φ

2.161 0

− 0 0 5.559

− 0

− 0 37.278

 

 

 

 

1 = s :=

Fattori di smorzamento modale e pulsazioni smorzate:

ξ ₁ 1.

2 α

ω ₁ + β ω ⋅ ₁

 



 

⋅  = 0.0634

:= ω _s1 ω ₁ ⋅ 1 − ξ ₁ ² 17.002 rad

⋅ s

= :=

ξ ₂ 1.

2 α

ω ₂ + β ω ⋅ ₂

 



 

⋅  = 0.0823

:= ω _s2 ω ₂ ⋅ 1 − ξ ₂ ² 33.644 rad

⋅ s

= :=

ξ ₃ 1.

2 α

ω ₃ + β ω ⋅ ₃

 



 

⋅  = 0.1957

:= ω _s3 ω ₃ ⋅ 1 − ξ ₃ ² 93.392 rad

⋅ s

= :=

Determinazione delle equazioni disaccoppiate del moto scritte nelle coordinate principali:

Pulsazione propria della forzante e periodo associato:

ω _F 30 rad

⋅ s

= f _F

ω _F

2 π ⋅ = 4.775 Hz ⋅

:= T _F := f _F ⁻ ¹ = 0.209 s

Numero di cicli:

n _cicli := 100

Tempo di integrazione:

t _F := n _cicli ⋅ T _F = 20.944 s

0 10 20

− 1 × 10 ³

− 500 0 500 1 10 × ³

F ₀ ^⋅ cos ω ( ) _F ⋅ t

t

(4)

(5)

Per risolvere il problema con Mathcad è necessario adimensionalizzare le matrici principali:

Matrice principale adimensionale delle masse:

Μ _{p_adm} Μ _p 1 0 0

0 1 0

0 0 1

 

 

 

 

= :=

Matrice principale adimensionale degli smorzamenti viscosi lineari:

C _{p_adm} C _p ⋅ s

2.161 0

− 0 0 5.559

− 0

− 0 37.278

 

 

 

 

= :=

Matrice principale adimensionale delle rigidezze:

Κ _{p_adm} Κ _p ⋅ s ² 290

0 − 0 0 1140

− 0

− 0 9069

 

 

 

 

= :=

Matrice adimensionale degli autovettori:

φ _adm φ kg ⋅ ^0.5

0.0206

− 0.0198

− 0.0024

−

0.0051

− 0.0043

− 0.0109

0.0453

− 0.0095

0.0001

−

 

 

 

 

= :=

Vettore adimensionale delle forze armoniche:

f _adm ( ) t F ₀

N ^⋅ cos ω  ( ) _F ⋅ s ^⋅ ^t 

0 0

 

 

 

 

 

 

:=

PRIMA EQUAZIONE DEL MOTO:

Given

Μ _{p_adm} 〈 〉 ⁰

  

 ₀ ^⋅ ^q ^1'' ^{( )} ^t  ^C ^p_adm ^{〈 〉} ⁰

 

 ₀ ^⋅ ^q ^1' ^{( )} ^t

+  Κ _{p_adm} 〈 〉 ⁰

 

 ₀ ^⋅ ^q ¹ ^{( )} ^t

+ φ _adm 〈 〉 ⁰ ^T

f _adm ( ) t

⋅

=

q ₁ ( ) 0 = 0 q _1' ( ) 0 = 0

q ₁ := Odesolve t 20 ( , )

SECONDA EQUAZIONE DEL MOTO:

Given

Μ _{p_adm} 〈 〉 ¹

  

 ₁ ^⋅ ^q ^2'' ^{( )} ^t  ^C ^p_adm ^{〈 〉} ¹

 

 ₁ ^⋅ ^q ^2' ^{( )} ^t

+  Κ _{p_adm} 〈 〉 ¹

 

 ₁ ^⋅ ^q ² ^{( )} ^t

+ φ _adm 〈 〉 ¹ ^T

f _adm ( ) t

⋅

=

q ₂ ( ) 0 = 0 q _2' ( ) 0 = 0

q ₂ := Odesolve t 20 ( , )

TERZA EQUAZIONE DEL MOTO:

Given

Μ _{p_adm} 〈 〉 ²

  

 ₂ ^⋅ ^q ^3'' ^{( )} ^t  ^C ^p_adm ^{〈 〉} ²

 

 ₂ ^⋅ ^q ^3' ^{( )} ^t

+  Κ _{p_adm} 〈 〉 ²

 

 ₂ ^⋅ ^q ³ ^{( )} ^t

+ φ _adm 〈 〉 ² ^T

f _adm ( ) t

⋅

=

q ₃ ( ) 0 = 0 q _3' ( ) 0 = 0

q ₃ := Odesolve t 20 ( , )

(6)

0 1 2 3 4

− 0.1

− 0.05 0 0.05 0.1

Tempo [s]

S pos ta m ent i ne ll e c oor di na te pr inc ipa li [ m ]

q ₁ ( ) t q ₂ ( ) t q ₃ ( ) t

t

TRASFORMAZIONE DA COORDINATE PRINCIPALI IN COORDINATE FISICHE:

Χ t ( ) φ _adm q ₁ ( ) t q ₂ ( ) t q ₃ ( ) t

 

 



 

 



⋅

0.0051026679949893756

− ⋅ q ₂ ( ) t + − 0.020580565883121796 ⋅ q ₁ ( ) t + − 0.045278984268071615 ⋅ q ₃ ( ) t 0.0043272213937230091

− ⋅ q ₂ ( ) t + 0.0094800817521536983 q ⋅ ₃ ( ) t + − 0.019784106069538943 ⋅ q ₁ ( ) t 0.0024431492954900009

− ⋅ q ₁ ( ) t + 0.010909499983552146 q ⋅ ₂ ( ) t + − 0.00011895499548721416 ⋅ q ₃ ( ) t

 

 



 

 



→ :=

nodo ₄ ( ) t Χ t ( )

0 → − 0.0051026679949893756 ⋅ q ₂ ( ) t + − 0.020580565883121796 ⋅ q ₁ ( ) t + − 0.045278984268071615 ⋅ q ₃ ( ) t :=

nodo ₃ ( ) t Χ t ( )

1 → − 0.0043272213937230091 ⋅ q ₂ ( ) t + 0.0094800817521536983 q ⋅ ₃ ( ) t + − 0.019784106069538943 ⋅ q ₁ ( ) t :=

nodo ₂ ( ) t Χ t ( )

2 → − 0.0024431492954900009 ⋅ q ₁ ( ) t + 0.010909499983552146 q ⋅ ₂ ( ) t + − 0.00011895499548721416 ⋅ q ₃ ( ) t :=

0 1 2 3 4

− 2 × 10

⁻

³

− 1 × 10

⁻

³ 0 1 10 ×

⁻

³ 2 10 ×

⁻

³

Tempo [s]

S pos ta m ent i V er ti ca li [ m ]

nodo ₄ ( ) t nodo ₃ ( ) t nodo ₂ ( ) t

t

(7)

RISULTATO DELLA TIME HISTORY ESEGUITA CON SAP

Rigidezze delle molle:

ANALISI DINAMICA DI UN SISTE MA 3 DOF FORZATO SMORZATO - Dott. Ing. Simone Caffè - 15/04/2014 Geometria della macchina e dati di input: