Appendice A
Rigidezze e cedevolezze
Si consideri una generica trave laminata, ottenuta per impilamento di n lamine di materiale ortotropo.
A.1 Rigidezze di una lamina
Consideriamo una generica lamina di materiale fibro–rinforzato. Su di essa, come illustrato nel Capitolo 1, è possibile definire due sistemi di riferimento: un primo sistema di riferimento, {O : x1, x2, x3}, è defi- nito sistema di riferimento materiale, ed è orientato secondo le fibre; un secondo sistema di riferimento, {O : x, y, z}, coincide con il riferimento globale del laminato. I due sistemi di riferimento sono ruotati l’uno rispetto all’altro di un angolo θ (Figura 1.4 a Pagina 9).
Supposte note le costanti dell’ingegnere, si possono determinare le rigidezze ridotte della lamina applicando le Equazioni 1.30 a Pagina 8, ricordando che per un materiale ortotropo vale la seguente relazione tra i moduli elastici e i numeri di Poisson (Equazione 1.8):
ν21=E2
E1
ν12. (A.1)
Si ottiene quindi:
Q11= E1
1 − ν12ν21, Q22= E2
1 − ν12ν21, Q12= ν12E1
1 − ν12ν21,
(A.2)
e
Q44=G23, Q55=G31, Q66=G12.
(A.3)
Le rigidezze ridotte trasformate della lamina sono quindi determinate applicando le Equazioni 1.46 (che ripetiamo qui per comodità del lettore).
Qxx=Q11cos4θ + 2 (Q12+ 2Q66) sin2θ cos2θ +Q22sin4θ , Qxy= (Q11+Q22− 4Q66) sin2θ cos2θ +Q12 sin4θ + cos4θ , Qyy=Q11sin4θ + 2 (Q12+ 2Q66) sin2θ cos2θ +Q22cos4θ ,
Qxz= (Q11−Q12− 2Q66) sin θ cos3θ + (Q12−Q22+ 2Q66) sin3θ cos θ , Qxz= (Q11−Q12− 2Q66) sin3θ cos θ + (Q12−Q22+ 2Q66) sin θ cos3θ , Qzz= (Q11+Q22− 2Q12− 2Q66) sin2θ cos2θ +Q66 sin4θ + cos4θ .
(A.4)
121
122 APPENDICE A. RIGIDEZZE E CEDEVOLEZZE
A.2 Rigidezze equivalenti della trave laminata
La legge fondamentale dei laminati (Equazione 1.78) nella sua forma estesa è:
Nx Ny
Ns
Mx My
Ms
=
A11 A12 A16 B11 B12 B16
A12 A22 A26 B12 B22 B26
A16 A26 A66 B16 B26 B66
B11 B12 B16 D11 B12 B16
B12 B22 B26 D12 B22 B26
B16 B26 B66 D16 B22 B66
εx0 εy0 εxy0 χx
χy
χxy
. (A.5)
dove i coefficientiAij,Bij e Dij sono definiti secondo le Equazioni 1.75, 1.76 e 1.77, e dove le azioni sono definite in Figura 1.9 a Pagina 16.
Applicare queste relazioni ad una trave laminata (lo stato di tensione di una trave è per definizione piano), e introducendo la deformabilità a taglio, equivale a modificare l’Equazione 1.78 ottenendo:
Nx Qx
Mx
=
A 0 B
0 C 0
B 0 D
εx
γzx
χx
. (A.6)
Per brevità, si è omesso il pedice 11 per le grandezzeA11, B11 e D11 che compaiono nella Equazione A.6, e si è definita inoltre la rigidezza a taglio equivalente della trave laminata,C [Vinson e Chou, 1975].
Pertanto, numerando le lamine che costituiscono l’assemblaggio secondo quanto illustrato nella Figura 1.10, è possibile determinare il valore delle rigidezze equivalenti:
A = ∑n
k=1
(zk− zk−1)Qxx(θ ), B = 1
2
n
∑
k=1
z2k− z2k−1
Qxx(θ ), C =5
6
n
∑
k=1
(zk− zk−1)Qzx(θ ), D = 1
3
n
∑
k=1
z3k− z3k−1
Qxx(θ ).
(A.7)
A.3 Calcolo delle cedevolezze
Le rigidezze sono definite in funzione delle cedevolezze secondo le seguenti relazioni [Jones, 1999;
Timoshenko e Goodier, 1951; Vasiliev e Morozov, 2007; Vinson e Chou, 1975]:
A = d
ad − b2, B = − b
ad − b2, C =1
c,
D = a
ad − b2.
(A.8)
A.3. CALCOLO DELLE CEDEVOLEZZE 123
Invertendo le Equazioni A.8 si ottengono le espressioni delle cedevolezze in funzione delle rigidezze:
a = D
AD − B2, b = − B
AD − B2, c = 1
C,
d = A
AD − B2,
(A.9)
