Molle multiple ??

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5.53. MOLLE MULTIPLE??

PROBLEMA 5.53

Molle multiple ??

Una massa m si muove nello spazio ed è collegata ad un estremo di N molle di lunghezza a riposo nulla.

La costante elastica della molla j-sima è k_j, e l’altro estremo è fissato ad un punto~r_j, fisso nello spazio.

Mostrare che il sistema è equivalente ad una massa m collegata ad un’unica molla di costante elastica k e lunghezza a riposo nulla, fissata ad un punto~r. Calcolare k e~r.

Soluzione

L’energia potenziale totale del sistema è data dalla somma delle energie potenziali di ciascuna molla

U(~r) =

∑

i

k_i

2|~^r−~^ri|² e sviluppando i calcoli otteniamo

U(~r) =

∑

i

k_i

2~r·~^r+

∑

i

k_i

2~r_i·~^ri−

∑

i

k_i 22~r·~^ri

= ¹

2 ~r·~^r

∑

i

k_i+

∑

i

k_i~r_i·~^ri−²~r·

∑

i

k_i~r_i

!

e introducendo

k=

∑

i

k_i

~_R= ^∑ⁱ^kⁱ~r_i

∑ ki

possiamo scrivere

U(~r) = ^k 2

~r·~^r−²~r· ~^R+ ~R· ~^R+ ¹

2

∑

i

k_i~r_i·~^ri− ~^R· ~^R

!

Il secondo membro è una costante irrilevante, il primo l’energia potenziale di una molla equivalente, di costante k e fissata in~_R

U(~r) = ^k 2

~r− ~^R²

180 versione del 22 marzo 2018